Ushbu dars koordinata geometriyasida tarjimalar g'oyasi bilan tanishtiriladi. Tarjima - bu nuqta yoki shaklni o'lchamini, shaklini yoki yo'nalishini o'zgartirmasdan to'rda bir joydan ikkinchi joyga ko'chirish usuli. Ushbu muhim tushunchani tushunishingizga yordam berish uchun oddiy til va aniq misollardan foydalanamiz.
Tarjima ob'ektni stol ustida siljitishga o'xshaydi. O'yinchoq mashinangiz borligini tasavvur qiling. Uni bosganingizda, mashina burilmasdan yoki ag'darilmasdan bir nuqtadan ikkinchisiga o'tadi. Tarjimalarda shaklning har bir qismi bir xil yo'nalishda bir xil masofada harakat qiladi. Bu shakl bir xil bo'lib qoladi, lekin yangi joyda paydo bo'lishini anglatadi.
Koordinata geometriyasida biz nuqtalarni panjara yordamida o'rganamiz. To'rda ikkita muhim chiziq mavjud: x o'qi (gorizontal) va y o'qi (vertikal). To'rdagi har bir nuqta x-koordinata va y-koordinataga ega. Nuqtani tarjima qilganda, biz bu raqamlarni oldindan aytib bo'ladigan tarzda o'zgartiramiz.
Tarjima tarjima vektori deb ataladigan narsadan foydalanadi. Bu vektor nuqta yoki shaklni qancha harakatlantirish kerakligini aytadi. Tarjima vektori ikki qismdan iborat: gorizontal va vertikal qism. Biz uni \( (h, k) \) shaklida yozamiz.
\( h \) raqami o'ngga (agar \( h \) musbat bo'lsa) yoki chapga (agar \( h \) manfiy bo'lsa) qancha masofaga o'tishimizni bildiradi. \( k \) raqami yuqoriga (agar \( k \) musbat bo'lsa) yoki pastga (agar \( k \) manfiy bo'lsa) qancha masofaga harakatlanishimizni bildiradi. Masalan, \( (3, -2) \) vektori 3 birlikni o'ngga va 2 birlikni pastga siljitishni bildiradi.
Nuqtani tarjima qilganda siz nuqta koordinatalariga tarjima vektorini qo'shasiz. Agar nuqta \( (x, y) \) shaklida yozilsa va tarjima vektori \( (h, k) \) bo'lsa, yangi nuqta quyidagicha bo'ladi:
\( (x + h, \, y + k) \)
Misol uchun, agar sizda \( (2, 3) \) nuqta bo'lsa va uni \( (1, 2) \) vektori bilan tarjima qilsangiz, yangi nuqta quyidagicha bo'ladi:
\( (2+1, \, 3+2) = (3, 5) \)
Ushbu oddiy qoida koordinatalar tarmog'idagi har bir tarjima uchun qo'llaniladi.
Tarjimalarni grafik qog'ozda ko'rishingiz mumkin. To'rda harakatni ko'rishga yordam beradigan gorizontal va vertikal chiziqlar mavjud. Shakl tarjima qilinganda, shaklning har bir nuqtasi bir xil tarjima vektori bo'ylab harakatlanadi. Bu shuni anglatadiki, butun shakl bir xil shaklda qoladi va avvalgidek, faqat panjaraning boshqa qismida ko'rinadi.
Bir burchagi \( (1, 1) \) , boshqa burchaklari esa \( (1, 2) \) , \( (2, 2) \) va \( (2, 1) \) da joylashgan kichik kvadratni tasavvur qiling. Agar siz ushbu kvadratni \( (3, -1) \) vektori bilan tarjima qilsangiz, har bir burchak x koordinatasiga 3 qo'shib, y koordinatasidan 1 ni ayirish orqali harakatlanadi. Masalan, \( (1, 1) \) burchagi \( (1+3, 1-1) = (4, 0) \) ga o'tadi.
Jarayonni amalda ko'rish uchun bitta nuqtani tarjima qilaylik. Nuqtani ko'rib chiqing \( (2, 3) \) . Biz ushbu nuqtani tarjima vektoridan foydalanib tarjima qilmoqchimiz \( (4, 5) \) . Ushbu oddiy qadamlarni bajaring:
1-qadam: Asl nuqtani aniqlang: \( (2, 3) \) .
2-qadam: Tarjima vektorini aniqlang: \( (4, 5) \) .
3-qadam: Gorizontal qiymatlarni qo'shing: \( 2 + 4 = 6 \) .
4-qadam: Vertikal qiymatlarni qo'shing: \( 3 + 5 = 8 \) .
5-qadam: Yangi nuqtani yozing: \( (6, 8) \) .
Shunday qilib, tarjimadan keyin \( (2, 3) \) nuqta \( (6, 8) \) ga aylanadi.
Keling, uchburchakni tarjima qilaylik. Faraz qilaylik, uchburchakning \( (1, 2) \) , \( (3, 4) \) va \( (5, 2) \) nuqtalarida uchta uchi bor. Biz tarjima vektoridan foydalanamiz \( (2, -1) \) . Buni qanday qilish kerak:
1-qadam: Birinchi cho'qqi uchun \( (1, 2) \) :
Yangi cho'qqi = \( (1+2, \, 2-1) = (3, 1) \) .
2-qadam: Ikkinchi cho'qqi uchun \( (3, 4) \) :
Yangi cho'qqi = \( (3+2, \, 4-1) = (5, 3) \) .
3-qadam: Uchinchi cho'qqi uchun \( (5, 2) \) :
Yangi cho'qqi = \( (5+2, \, 2-1) = (7, 1) \) .
Uchburchakning yangi uchlari \( (3, 1) \) , \( (5, 3) \) va \( (7, 1) \) dir.
Keling, to'rtburchakni qanday tarjima qilishni ko'rib chiqaylik. Faraz qilaylik, sizda burchaklari \( (0, 0) \) , \( (0, 3) \) , \( (4, 3) \) va \( (4, 0) \) boʻlgan toʻrtburchaklar mavjud. Biz ushbu to'rtburchakni vektor yordamida tarjima qilmoqchimiz \( (3, 2) \) . Quyidagi amallarni bajaring:
1-qadam: burchak uchun \( (0, 0) \) :
Yangi burchak = \( (0+3, \, 0+2) = (3, 2) \) .
2-qadam: burchak uchun \( (0, 3) \) :
Yangi burchak = \( (0+3, \, 3+2) = (3, 5) \) .
3-qadam: Burchak uchun \( (4, 3) \) :
Yangi burchak = \( (4+3, \, 3+2) = (7, 5) \) .
4-qadam: Burchak uchun \( (4, 0) \) :
Yangi burchak = \( (4+3, \, 0+2) = (7, 2) \) .
To'rtburchak \( (3, 2) \) , \( (3, 5) \) , \( (7, 5) \) va \( (7, 2) \) nuqtalarida yangi burchaklarga o'tadi.
Tarjimalar faqat matematik masalalar uchun emas. Biz ularni kundalik hayotimizda ko'ramiz. Tasavvur qiling-a, mebelning bir qismini xonaning bir tomonidan boshqasiga ko'chirish. Mebel bir xil bo'lib qoladi, lekin o'z joyini o'zgartiradi. Bu real hayotdan tarjima qilingan.
Yana bir misol - o'yin maydonchasidagi slayd. Siz siljiganingizda, siz yuqoridan pastga to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanasiz. Siz aylanmaysiz yoki ag'darilmaysiz; siz shunchaki geometriyadagi tarjima kabi bir joydan ikkinchi joyga o'tasiz.
Kompyuter o'yinlari va animatsiyalarida belgilar va ob'ektlar doimiy ravishda harakatlanadi. Ob'ektni shaklini o'zgartirmasdan siljitadigan har bir harakat tarjimadir. Bu kompyuterga hamma narsa tartibli harakatlanadigan silliq animatsiyalarni ko'rsatishga yordam beradi.
Tarjimalar ular bilan ishlashni osonlashtiradigan maxsus xususiyatlarga ega:
Qaytish yo'q: ob'ekt o'z yo'nalishini o'zgartirmaydi yoki burilmaydi. U shunchaki yangi joyga siljiydi.
Ko'zgu yo'q: ob'ekt ag'darilmaydi. U xuddi shunday qoladi, faqat boshqa joyda.
Hajmida o'zgarish yo'q: ob'ekt kattaroq yoki kichikroq bo'lmaydi. Uning o'lchami va shakli avvalgidek qoladi.
Ushbu xususiyatlar tarjimalarning qattiq harakat turi ekanligini ko'rsatadi. Qattiq harakatlar shaklni o'zgarmasdan saqlaydi va faqat uning pozitsiyasi o'zgaradi.
Koordinata tekisligi x va y o'qlaridan tashkil topgan. Har bir nuqta o'zining x-koordinatasi va y-koordinatasi bilan joylashgan. Tarjimani amalga oshirganimizda, vektor qiymatlarini qo'shish orqali bu koordinatalarni o'zgartiramiz.
Masalan, nuqta \( (x, y) \) da bo'lsa va biz tarjima vektoridan \( (h, k) \) foydalansak, yangi nuqta \( (x+h, y+k) \) ga aylanadi. Xuddi shu qoida bitta nuqta yoki uchburchak yoki to'rtburchak kabi butun shaklni harakatlantirayotganingizda ham amal qiladi.
Aniq panjara tarjimalarni tasavvur qilishga yordam beradi. To'rga nuqta chizing, so'ngra vektorni qo'shing va yangi nuqtani chizing. Bu sizga nuqta qanchalik uzoq va qaysi yo'nalishda harakat qilganini aniq ko'rsatib beradi.
Ba'zan siz shaklni bir joyda ko'rishingiz va keyin uni boshqa joyda ko'rishingiz mumkin. Asl holatidagi nuqtaning koordinatalarini yangi pozitsiyadagi nuqta bilan taqqoslash orqali tarjima vektorini aniqlashingiz mumkin.
Masalan, nuqta \( (2, 5) \) dan \( (7, 8) \) ga oʻtsa, tarjima vektori quyidagicha aniqlanadi:
X-koordinatalarini ayirish: \( 7 - 2 = 5 \) .
Y-koordinatalarini ayirish: \( 8 - 5 = 3 \) .
Bu erda tarjima vektori \( (5, 3) \) .
To‘rdan foydalanish tarjimalarni amalda ko‘rishning foydali usuli hisoblanadi. To'r ustida ishlaganingizda, siz asl nuqtani ham, yangi nuqtani ham belgilashingiz mumkin. Ushbu ko'rgazmali yordam nuqta qanchalik harakatlanganligini tushunishni osonlashtiradi.
Ko'pgina matematik muammolar grafik qog'oz yoki raqamli panjaralardan foydalanadi. Siz qo'lda chizasizmi yoki kompyuter dasturidan foydalanasizmi, har doim esda tutingki, tarjima shaklning har bir qismini bir xil miqdorda siljitadi.
To‘rlar bilan mashq qilganingizda, keyinchalik geometriyadagi murakkabroq harakatlarni tushunish uchun mustahkam poydevor yaratasiz.
Tarjima bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun quyidagi aniq qadamlarni bajaring:
1-qadam: Muammoni diqqat bilan o'qing va nima tarjima qilinayotganini aniqlang.
2-qadam: Har bir nuqta yoki cho'qqining asl koordinatalarini yozing.
3-qadam: Muammoda keltirilgan tarjima vektorini aniqlang.
4-qadam: Har bir x-koordinataga vektorning gorizontal komponentini qo'shing.
5-qadam: Har bir y-koordinataga vektorning vertikal komponentini qo'shing.
6-qadam: Tarjima qilingan nuqtalarni ifodalovchi yangi koordinatalarni yozing.
Ushbu bosqichma-bosqich usul har qanday tarjima muammosi uchun ishlaydi va ularni oson va to'g'ri hal qilishga yordam beradi.
Tarjimalar ko'plab real vaziyatlarda qo'llaniladi. Mana bir nechta misollar:
Kompyuter grafikasi va animatsiya: video o'yinlar va multfilmlarda personajlar va ob'ektlar tarjimalar yordamida ekran bo'ylab ko'chiriladi. Sahnalar o'zgarganda ularning pozitsiyalari doimiy ravishda yangilanadi.
Robototexnika: Robotlar ko'pincha bir nuqtadan ikkinchisiga o'tishlari kerak. Tarjimalardan foydalanib, robotlar ob'ektlarni olish yoki bo'sh joyni kezish uchun qo'llarini yoki g'ildiraklarini qanchalik uzoq va qaysi yo'nalishda harakatlantirishni hisoblab chiqadi.
Arxitektura va dizayn: Binolarni loyihalashda yoki naqsh yaratishda me'morlar va dizaynerlar elementlarni takrorlash uchun tarjimalardan foydalanadilar. Bu ularning ishlari davomida naqshlarning izchil va mutanosib bo'lishini ta'minlaydi.
Kundalik harakatlar: Kitobni stol bo'ylab surganingizda, siz haqiqiy tarjimani bajarasiz. Kitob shakli va hajmini o'zgartirmasdan oddiygina bir joydan ikkinchi joyga ko'chiriladi.
Bu misollarning barchasi tarjimalarning ko‘p sohalarda amaliy va foydali ekanligini ko‘rsatadi. Ular ob'ektning yaxlitligini saqlashga yordam beradi va shunchaki uning o'rnini o'zgartiradi.
Ushbu darsda sof tarjimalarga e'tibor qaratgan bo'lsak-da, tarjimalar ba'zan boshqa harakatlar bilan birlashtirilishi mumkinligini bilish muhimdir. Ba'zi muammolarda siz aylanish yoki aks ettirishni ham ko'rishingiz mumkin. Biroq, sof tarjimada faqat harakat bor; burish, aylantirish yoki o'lchamini o'zgartirish yo'q.
Sof tarjimalarga e'tibor qaratib, siz asosiy harakat haqida mustahkam tushunchaga ega bo'lishingiz mumkin. Keyinchalik, o'qishni davom ettirish bilan siz tarjimalarni boshqa turdagi transformatsiyalar bilan qanday birlashtirishni o'rganasiz.
Bir qog'ozga yurak yoki yulduz kabi kichik shaklni chizishni o'ylab ko'ring. Endi shaklni qog'ozning boshqa qismiga siljitishni tasavvur qiling. Shaklni tashkil etuvchi har bir nuqta bir xil yo'nalishda bir xil masofada harakat qiladi. Bu harakat koordinata geometriyasida shaklni tarjima qilishga o'xshaydi.
Kundalik hayotingizda bir pozitsiyadan ikkinchi holatga o'zgarmagan holda ko'chirilayotgan narsalarni ko'rsangiz, harakatdagi tarjimalarga guvoh bo'lasiz. Ushbu oddiy fikr koordinatalar panjarasida shakllar qanday harakat qilishini tushunishning asosiy qismidir.
Mana tarjimalar haqidagi asosiy fikrlarni qisqacha ko'rib chiqish:
Ta'rif: Tarjima nuqta yoki shaklni o'lchamini, shaklini yoki yo'nalishini o'zgartirmasdan harakatlantiradi.
Tarjima vektori: \( (h, k) \) vektori sizga qancha va qaysi yo'nalishda harakat qilish kerakligini ko'rsatadi. \( h \) raqami ob'ektni gorizontal, \( k \) esa vertikal harakat qiladi.
Formula: \( (x, y) \) nuqtani tarjima qilish uchun yangi nuqtani olish uchun vektorni qo'shing: \( (x+h, \, y+k) \) .
Muvofiqlik: tarjima qo'llanilganda shakldagi har bir nuqta bir xil miqdorda harakatlanadi.
Haqiqiy dunyoda foydalanish: kompyuter grafikasi va robototexnikadan kitobni siljitish kabi kundalik harakatlargacha, tarjimalar keng tarqalgan harakat turidir.
Tarjimalar bilan ishlashda ushbu fikrlarni yodda tuting. Ular nafaqat geometriyani, balki matematikadan tashqari ko'plab ilovalarni ham tushunishga yordam beradi.
Ushbu darsda biz koordinatalar geometriyasida tarjimalar bilan tanishdik. Biz ushbu asosiy fikrlarni o'rganib chiqdik:
Tarjima nuqta yoki shaklni o'lchamini, shaklini yoki yo'nalishini o'zgartirmasdan harakatlantiradi.
\( (h, k) \) shaklida yozilgan tarjima vektori gorizontal va vertikal harakatni ko'rsatadi.
Tarjima formulasi oddiy: tarjimadan keyin \( (x,y) \) nuqta \( (x+h, y+k) \) ga aylanadi.
Tarjima qo'llanilganda, shakldagi barcha nuqtalar ob'ektni buzilmasdan, teng ravishda harakatlanadi.
Tarjimalar kompyuter grafikasi, robototexnika va dizayn kabi ko'plab real ilovalarda foydalidir.
Tarjimalarni mashq qilish va turli masalalarda bosqichlarni qo'llash orqali siz koordinatalar geometriyasidan foydalanishga ishonchingiz ko'proq bo'ladi. Esda tutingki, tarjima shunchaki ob'ektning o'rnini o'zgartiradi, shu bilan birga u haqida hamma narsa bir xil bo'ladi.
Ushbu dars sizga tarjimalar bilan tanishtirdi. Ushbu g'oyalar yordamida siz ob'ektlar qanday harakatlanishi va tarmoqda o'zaro ta'siri haqida ko'proq bilib olishingiz mumkin. Ushbu amallarni bajaring va tez orada tarjimalar bilan ishlash ham oddiy, ham yoqimli ekanligini bilib olasiz.
Geometriya va uning atrofimizdagi dunyoni tushunishimizga yordam beradigan ko'plab usullari haqida ko'proq kashf qilishdan zavqlaning. O'rganishni davom ettirsangiz, bu tushunchalar aylanishlar, aks ettirishlar va murakkabroq o'zgarishlar kabi boshqa mavzular uchun qurilish bloklari bo'lib xizmat qiladi.
