Bài học này giới thiệu ý tưởng về phép tịnh tiến trong hình học tọa độ. Phép tịnh tiến là cách di chuyển một điểm hoặc hình dạng từ nơi này sang nơi khác trên lưới mà không làm thay đổi kích thước, hình dạng hoặc hướng của nó. Chúng tôi sẽ sử dụng ngôn ngữ đơn giản và các ví dụ rõ ràng để giúp bạn hiểu khái niệm quan trọng này.
Phép tịnh tiến giống như trượt một vật trên bàn. Hãy tưởng tượng bạn có một chiếc ô tô đồ chơi. Khi bạn đẩy nó, chiếc ô tô di chuyển từ điểm này sang điểm khác mà không bị quay hoặc lật. Trong phép tịnh tiến, mọi phần của một hình dạng đều di chuyển cùng một khoảng cách theo cùng một hướng. Điều này có nghĩa là hình dạng vẫn giữ nguyên chính xác nhưng xuất hiện ở một vị trí mới.
Trong hình học tọa độ, chúng ta nghiên cứu các điểm bằng lưới. Lưới có hai đường quan trọng: trục x (ngang) và trục y (dọc). Mỗi điểm trên lưới có một tọa độ x và một tọa độ y. Khi chúng ta tịnh tiến một điểm, chúng ta thay đổi các số này theo cách có thể dự đoán được.
Phép tịnh tiến sử dụng một thứ gọi là vectơ tịnh tiến . Vectơ này cho bạn biết cần di chuyển điểm hoặc hình dạng bao nhiêu. Vectơ tịnh tiến có hai phần: phần nằm ngang và phần thẳng đứng. Chúng ta viết nó là \( (h, k) \) .
Số \( h \) cho chúng ta biết phải di chuyển bao xa về bên phải (nếu \( h \) là số dương) hoặc sang trái (nếu \( h \) là số âm). Số \( k \) cho chúng ta biết phải di chuyển bao xa lên (nếu \( k \) là số dương) hoặc xuống (nếu \( k \) là số âm). Ví dụ, vectơ \( (3, -2) \) có nghĩa là di chuyển 3 đơn vị sang phải và 2 đơn vị xuống dưới.
Khi bạn dịch chuyển một điểm, bạn thêm vectơ dịch chuyển vào tọa độ của điểm đó. Nếu một điểm được viết là \( (x, y) \) và vectơ dịch chuyển là \( (h, k) \) , thì điểm mới sẽ là:
\( (x + h, \, y + k) \)
Ví dụ, nếu bạn có một điểm \( (2, 3) \) và bạn dịch chuyển nó theo vectơ \( (1, 2) \) , điểm mới sẽ là:
\( (2+1, \, 3+2) = (3, 5) \)
Quy tắc đơn giản này được sử dụng cho mọi phép tịnh tiến trong lưới tọa độ.
Bạn có thể thấy các phép dịch chuyển trên giấy kẻ ô vuông. Một lưới có các đường ngang và dọc giúp bạn thấy được chuyển động. Khi một hình dạng được dịch chuyển, mọi điểm của hình dạng đó đều di chuyển theo cùng một vectơ dịch chuyển. Điều này có nghĩa là toàn bộ hình dạng vẫn giữ nguyên hình dạng và trông giống hệt như trước, chỉ khác là ở một phần khác của lưới.
Hãy tưởng tượng một hình vuông nhỏ có một góc tại \( (1, 1) \) , và các góc còn lại tại \( (1, 2) \) , \( (2, 2) \) , và \( (2, 1) \) . Nếu bạn tịnh tiến hình vuông này bằng vectơ \( (3, -1) \) , mỗi góc di chuyển bằng cách thêm 3 vào tọa độ x và trừ 1 khỏi tọa độ y. Ví dụ, góc \( (1, 1) \) di chuyển đến \( (1+3, 1-1) = (4, 0) \) .
Chúng ta hãy dịch chuyển một điểm duy nhất để xem quá trình diễn ra. Hãy xem xét điểm \( (2, 3) \) . Chúng ta muốn dịch chuyển điểm này bằng cách sử dụng vectơ dịch chuyển \( (4, 5) \) . Thực hiện theo các bước đơn giản sau:
Bước 1: Xác định điểm gốc: \( (2, 3) \) .
Bước 2: Xác định vectơ dịch chuyển: \( (4, 5) \) .
Bước 3: Cộng các giá trị theo chiều ngang: \( 2 + 4 = 6 \) .
Bước 4: Cộng các giá trị theo chiều dọc: \( 3 + 5 = 8 \) .
Bước 5: Viết điểm mới: \( (6, 8) \) .
Do đó, sau khi tịnh tiến, điểm \( (2, 3) \) trở thành \( (6, 8) \) .
Bây giờ, chúng ta hãy tịnh tiến một tam giác. Giả sử tam giác có ba đỉnh tại \( (1, 2) \) , \( (3, 4) \) , và \( (5, 2) \) . Chúng ta sử dụng vectơ tịnh tiến \( (2, -1) \) . Đây là cách bạn thực hiện:
Bước 1: Đối với đỉnh đầu tiên \( (1, 2) \) :
Đỉnh mới = \( (1+2, \, 2-1) = (3, 1) \) .
Bước 2: Đối với đỉnh thứ hai \( (3, 4) \) :
Đỉnh mới = \( (3+2, \, 4-1) = (5, 3) \) .
Bước 3: Đối với đỉnh thứ ba \( (5, 2) \) :
Đỉnh mới = \( (5+2, \, 2-1) = (7, 1) \) .
Các đỉnh mới của tam giác là \( (3, 1) \) , \( (5, 3) \) , và \( (7, 1) \) .
Hãy xem cách dịch chuyển một hình chữ nhật. Giả sử bạn có một hình chữ nhật có các góc tại \( (0, 0) \) , \( (0, 3) \) , \( (4, 3) \) , và \( (4, 0) \) . Chúng ta muốn dịch chuyển hình chữ nhật này bằng vectơ \( (3, 2) \) . Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đối với góc \( (0, 0) \) :
Góc mới = \( (0+3, \, 0+2) = (3, 2) \) .
Bước 2: Đối với góc \( (0, 3) \) :
Góc mới = \( (0+3, \, 3+2) = (3, 5) \) .
Bước 3: Đối với góc \( (4, 3) \) :
Góc mới = \( (4+3, \, 3+2) = (7, 5) \) .
Bước 4: Đối với góc \( (4, 0) \) :
Góc mới = \( (4+3, \, 0+2) = (7, 2) \) .
Hình chữ nhật di chuyển đến các góc mới tại \( (3, 2) \) , \( (3, 5) \) , \( (7, 5) \) , và \( (7, 2) \) .
Bản dịch không chỉ dành cho các bài toán. Chúng ta thấy chúng trong cuộc sống hàng ngày. Hãy tưởng tượng việc di chuyển một món đồ nội thất từ bên này sang bên kia phòng. Đồ nội thất vẫn giữ nguyên nhưng thay đổi vị trí. Đây là bản dịch thực tế.
Một ví dụ khác là một cầu trượt trong sân chơi. Khi bạn trượt, bạn di chuyển theo đường thẳng từ trên xuống dưới. Bạn không quay tròn hay lật ngược; bạn chỉ di chuyển từ nơi này sang nơi khác, giống như một phép tịnh tiến trong hình học.
Trong trò chơi máy tính và hoạt hình, nhân vật và vật thể liên tục chuyển động. Mọi chuyển động làm dịch chuyển vật thể mà không làm thay đổi hình dạng của nó đều là một phép dịch chuyển. Điều này giúp máy tính hiển thị hoạt hình mượt mà trong đó mọi thứ chuyển động theo một cách có trật tự.
Bản dịch có những đặc tính đặc biệt giúp bạn dễ dàng sử dụng:
Không quay: Vật thể không quay hoặc thay đổi hướng. Nó chỉ trượt đến một vị trí mới.
Không có phản xạ: Vật thể không bị lật ngược. Nó vẫn giữ nguyên, chỉ ở vị trí khác.
Không thay đổi kích thước: Vật thể không lớn hơn hay nhỏ đi. Kích thước và hình dạng của nó vẫn giữ nguyên như trước.
Những tính chất này cho thấy phép tịnh tiến là một loại chuyển động cứng . Chuyển động cứng giữ nguyên hình dạng và chỉ thay đổi vị trí.
Mặt phẳng tọa độ được tạo thành từ trục x và trục y. Mỗi điểm được định vị theo tọa độ x và tọa độ y của nó. Khi chúng ta thực hiện phép tịnh tiến, chúng ta thay đổi các tọa độ này bằng cách thêm các giá trị vectơ.
Ví dụ, nếu một điểm ở \( (x, y) \) và chúng ta sử dụng vectơ tịnh tiến \( (h, k) \) , điểm mới sẽ trở thành \( (x+h, y+k) \) . Quy tắc này áp dụng cho dù bạn đang di chuyển một chấm đơn lẻ hay toàn bộ một hình dạng như hình tam giác hoặc hình chữ nhật.
Một lưới rõ ràng giúp bạn hình dung các phép dịch chuyển. Vẽ điểm trên lưới, sau đó thêm vectơ và vẽ điểm mới. Điều này sẽ cho bạn thấy chính xác điểm đã di chuyển xa đến đâu và theo hướng nào.
Đôi khi, bạn có thể thấy một hình dạng ở một nơi rồi lại thấy nó ở một nơi khác. Bạn có thể tìm ra vectơ dịch chuyển bằng cách so sánh tọa độ của một điểm ở vị trí ban đầu với một điểm ở vị trí mới.
Ví dụ, nếu một điểm di chuyển từ \( (2, 5) \) đến \( (7, 8) \) , thì vectơ tịnh tiến được xác định bởi:
Trừ các tọa độ x: \( 7 - 2 = 5 \) .
Trừ các tọa độ y: \( 8 - 5 = 3 \) .
Vectơ dịch chuyển ở đây là \( (5, 3) \) .
Sử dụng lưới là một cách hữu ích để xem bản dịch đang hoạt động. Khi bạn làm việc trên lưới, bạn có thể đánh dấu cả điểm gốc và điểm mới. Công cụ hỗ trợ trực quan này giúp bạn dễ dàng hiểu được mức độ dịch chuyển của một điểm.
Nhiều bài toán sử dụng giấy kẻ ô hoặc lưới kỹ thuật số. Cho dù bạn vẽ bằng tay hay sử dụng chương trình máy tính, hãy luôn nhớ rằng phép tịnh tiến di chuyển mọi phần của hình dạng theo cùng một lượng.
Khi thực hành với lưới, bạn sẽ xây dựng được nền tảng vững chắc để hiểu các chuyển động phức tạp hơn trong hình học sau này.
Để giải quyết các vấn đề liên quan đến bản dịch, hãy làm theo các bước rõ ràng sau:
Bước 1: Đọc kỹ đề bài và xác định nội dung cần dịch.
Bước 2: Viết ra tọa độ ban đầu của mỗi điểm hoặc đỉnh.
Bước 3: Xác định vectơ dịch chuyển được cung cấp trong bài toán.
Bước 4: Thêm thành phần nằm ngang của vectơ vào mỗi tọa độ x.
Bước 5: Thêm thành phần dọc của vectơ vào mỗi tọa độ y.
Bước 6: Viết tọa độ mới biểu diễn các điểm đã dịch chuyển.
Phương pháp từng bước này áp dụng cho mọi vấn đề dịch thuật và giúp bạn giải quyết chúng một cách dễ dàng và chính xác.
Bản dịch được sử dụng trong nhiều tình huống thực tế. Sau đây là một số ví dụ:
Đồ họa máy tính và hoạt hình: Trong trò chơi điện tử và phim hoạt hình, các nhân vật và vật thể được di chuyển trên màn hình bằng cách sử dụng bản dịch. Vị trí của chúng được cập nhật liên tục khi các cảnh thay đổi.
Robot: Robot thường cần di chuyển từ điểm này sang điểm khác. Bằng cách sử dụng phép dịch chuyển, robot tính toán khoảng cách và hướng di chuyển cánh tay hoặc bánh xe để nhặt đồ vật hoặc di chuyển trong không gian.
Kiến trúc và Thiết kế: Khi thiết kế các tòa nhà hoặc tạo ra các mẫu, kiến trúc sư và nhà thiết kế sử dụng phép dịch để lặp lại các yếu tố. Điều này đảm bảo rằng các mẫu vẫn nhất quán và cân xứng trong suốt tác phẩm của họ.
Chuyển động hàng ngày: Khi bạn trượt một cuốn sách trên bàn, bạn đang thực hiện một bản dịch thực tế. Cuốn sách chỉ đơn giản được di chuyển từ vị trí này sang vị trí khác mà không thay đổi hình dạng hoặc kích thước của nó.
Tất cả các ví dụ này cho thấy rằng phép dịch thực tế và hữu ích trong nhiều lĩnh vực. Chúng giúp duy trì tính toàn vẹn của đối tượng trong khi chỉ cần thay đổi vị trí của nó.
Trong khi chúng ta tập trung vào phép tịnh tiến thuần túy trong bài học này, điều quan trọng là phải biết rằng phép tịnh tiến đôi khi có thể kết hợp với các chuyển động khác. Trong một số bài toán, bạn cũng có thể thấy phép quay hoặc phép phản chiếu. Tuy nhiên, trong phép tịnh tiến thuần túy, chỉ có chuyển động; không có phép quay, lật hoặc thay đổi kích thước.
Bằng cách tập trung vào các phép dịch thuần túy, bạn có thể xây dựng được sự hiểu biết vững chắc về chuyển động cơ bản. Sau này, khi bạn tiến bộ trong quá trình học, bạn sẽ học cách kết hợp các phép dịch với các loại phép biến đổi khác.
Hãy xem xét việc vẽ một hình dạng nhỏ, như hình trái tim hoặc hình ngôi sao, trên một tờ giấy. Bây giờ, hãy tưởng tượng trượt hình dạng đó đến một phần khác của tờ giấy. Mỗi điểm tạo nên hình dạng đó di chuyển cùng một khoảng cách theo cùng một hướng. Hành động này tương tự như việc tịnh tiến hình dạng trong hình học tọa độ.
Khi bạn nhìn thấy các vật thể trong cuộc sống hàng ngày của mình được di chuyển từ vị trí này sang vị trí khác mà không thay đổi, bạn đang chứng kiến sự chuyển dịch trong hành động. Ý tưởng đơn giản này là một phần quan trọng để hiểu cách các hình dạng hoạt động trên lưới tọa độ.
Sau đây là tóm tắt nhanh về những điểm chính về bản dịch:
Định nghĩa: Phép tịnh tiến di chuyển một điểm hoặc hình dạng mà không làm thay đổi kích thước, hình dạng hoặc hướng của nó.
Vectơ dịch chuyển: Vectơ \( (h, k) \) cho bạn biết bạn phải di chuyển bao xa và theo hướng nào. Số \( h \) di chuyển vật thể theo chiều ngang và \( k \) di chuyển vật thể theo chiều dọc.
Công thức: Để tịnh tiến một điểm \( (x, y) \) , hãy thêm vectơ để có được điểm mới: \( (x+h, \, y+k) \) .
Tính nhất quán: Mỗi điểm trong một hình dạng sẽ di chuyển cùng một lượng khi áp dụng phép tịnh tiến.
Ứng dụng trong thực tế: Từ đồ họa máy tính và robot đến các hành động hàng ngày như trượt một cuốn sách, chuyển động dịch chuyển là một loại chuyển động phổ biến.
Hãy ghi nhớ những điểm này khi làm việc với phép dịch. Chúng sẽ giúp bạn hiểu không chỉ hình học mà còn nhiều ứng dụng ngoài toán học.
Trong bài học này, chúng ta đã học về phép tịnh tiến trong hình học tọa độ. Chúng ta đã khám phá những ý tưởng trung tâm sau:
Phép tịnh tiến di chuyển một điểm hoặc hình dạng mà không làm thay đổi kích thước, hình dạng hoặc hướng của nó.
Vectơ tịnh tiến, được viết là \( (h, k) \) , thể hiện chuyển động theo chiều ngang và chiều dọc.
Công thức tịnh tiến rất đơn giản: một điểm \( (x,y) \) trở thành \( (x+h, y+k) \) sau khi tịnh tiến.
Tất cả các điểm trong một hình dạng đều di chuyển như nhau khi áp dụng phép tịnh tiến, giữ cho vật thể nguyên vẹn.
Bản dịch hữu ích trong nhiều ứng dụng thực tế như đồ họa máy tính, robot và thiết kế.
Bằng cách thực hành phép tịnh tiến và áp dụng các bước vào nhiều bài toán khác nhau, bạn sẽ tự tin hơn khi sử dụng hình học tọa độ. Hãy nhớ rằng phép tịnh tiến chỉ đơn giản là thay đổi vị trí của một vật thể trong khi vẫn giữ nguyên mọi thứ khác về vật thể đó.
Bài học này đã giới thiệu cho bạn về bản dịch. Với những ý tưởng này, bạn có thể khám phá thêm về cách các đối tượng di chuyển và tương tác trên lưới. Thực hành các bước này và bạn sẽ sớm thấy rằng làm việc với bản dịch vừa đơn giản vừa thú vị.
Hãy khám phá thêm về hình học và nhiều cách mà nó giúp chúng ta hiểu thế giới xung quanh. Khi bạn tiếp tục học, những khái niệm này sẽ đóng vai trò là nền tảng cho các chủ đề khác như phép quay, phép phản xạ và các phép biến đổi phức tạp hơn.
