আজ আমরা গণিতের দুটি অত্যন্ত সহায়ক নিয়ম শিখব। এই নিয়মগুলিকে বলা হয় সহযোগী সম্পত্তি এবং যোগের পরিবর্তনমূলক সম্পত্তি। তারা আমাদের বলে যে যখন আমরা সংখ্যা যোগ করি, তখন আমরা সংখ্যার ক্রম বা গ্রুপিং পরিবর্তন করতে পারি এবং তবুও একই উত্তর পেতে পারি। এই পাঠে স্পষ্ট উদাহরণ সহ সহজ ভাষায় এই ধারণাগুলি ব্যাখ্যা করা হবে যাতে সবাই বুঝতে পারে, এমনকি যদি আপনি কেবল গণিত শিখতে শুরু করেন।
যোগ হল গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অংশগুলির মধ্যে একটি। যখন আপনি সংখ্যা যোগ করেন, তখন আপনি সংখ্যাগুলিকে একসাথে যোগ করেন যাতে একসাথে কতগুলি সংখ্যা আছে তা বের করতে পারেন। এটিকে একটি ধাঁধার টুকরো একত্রিত করার মতো ভাবুন। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনার কাছে কয়েকটি আপেল থাকে এবং আপনি আরও কয়েকটি পান, তাহলে আপনি তাদের একসাথে যোগ করে দেখতে পারেন যে আপনার মোট কতগুলি আপেল আছে। আমাদের দৈনন্দিন জীবনে, যোগ আমাদের খেলনা, ক্যান্ডি, পেন্সিল এবং আরও অনেক কিছু গণনা করতে সাহায্য করে।
যোগের পরিবর্তনশীল বৈশিষ্ট্য আমাদের বলে যে আপনি যে ক্রমে দুটি সংখ্যা যোগ করেন তাতে ফলাফল পরিবর্তন হয় না। এর অর্থ হল সংখ্যাগুলি অদলবদল করলে একই যোগফল পাওয়া যায়। কল্পনা করুন আপনার কাছে 2টি ক্যান্ডি আছে এবং তারপরে আপনি আরও 3টি ক্যান্ডি পাবেন। আপনি প্রথমে 2টি এবং তারপরে 3টি গণনা করুন, অথবা 3টি প্রথমে এবং তারপরে 2টি, তবুও আপনার কাছে 5টি ক্যান্ডি থাকবে।
আপনি কমিউটেটিভ প্রোপার্টি এভাবে লিখতে পারেন:
\(\textrm{যেকোনো সংখ্যার জন্য } a \textrm{ এবং } b, \, a+b = b+a\) ।
এই নিয়মটি ছোট সংখ্যা বা এমনকি বড় সংখ্যা গণনা করার সময় খুবই কার্যকর কারণ এটি আপনাকে দেখায় যে ক্রমটি গুরুত্বপূর্ণ নয়। এটি বলার মতো যে আপনি আপনার খেলনাগুলি যেভাবেই মেঝেতে রাখুন না কেন, খেলনার সংখ্যা একই থাকে।
যোগের সহযোগী বৈশিষ্ট্য আমাদের বলে যে যখন আমরা তিন বা ততোধিক সংখ্যা একসাথে যোগ করি, তখন আমরা যেভাবে তাদের গোষ্ঠীবদ্ধ করি তা চূড়ান্ত যোগফলকে প্রভাবিত করে না। এর মানে হল যে আপনি যদি কিছু সংখ্যা একসাথে যোগ করেন, তাহলে আপনি প্রথমে তাদের যেকোনো দুটিকে গোষ্ঠীবদ্ধ করতে পারেন এবং তারপরে তৃতীয়টি পরে যোগ করতে পারেন, এবং উত্তরটি ঠিক একই রকম হবে।
আপনি এটি একটি উদাহরণ দিয়ে দেখতে পারেন:
\(\textrm{যেকোনো সংখ্যার জন্য } a, b, \textrm{ এবং } c, \, (a+b)+c = a+(b+c)\)
কল্পনা করুন আপনার কাছে এক বাটি ফলের টুকরো আছে। আপনার কাছে হয়তো ১টি আপেল, ২টি কলা এবং ৩টি কমলা আছে। আপনি প্রথমে আপেল এবং কলা যোগ করতে পারেন, তারপর কমলা যোগ করতে পারেন। অথবা আপনি প্রথমে কলা এবং কমলা যোগ করতে পারেন, তারপর আপেল যোগ করতে পারেন। যেভাবেই হোক, মোট ফলের সংখ্যা একই।
যোগ মানে যোগফল তৈরি করা। যখন আপনি যোগ করেন, তখন আপনি সংখ্যাগুলিকে একসাথে রাখেন। কখনও কখনও, সংখ্যার ক্রম পরিবর্তন করে গণনা করা আপনার পক্ষে সহজ হতে পারে। পরিবর্তনীয় বৈশিষ্ট্য আপনাকে দেখায় যে আপনি 3 + 5 বা 5 + 3 যোগ করলে কোনও সমস্যা হয় না কারণ উভয়ই 8 এর সমান।
অ্যাসোসিয়েটিভ প্রোপার্টি আপনাকে সংখ্যাগুলিকে গ্রুপ করার স্বাধীনতা দেয়। কল্পনা করুন আপনার কাছে তিনটি ব্লকের গাদা আছে। আপনি প্রথম দুটি গাদাতে ব্লকগুলি গণনা করতে পারেন এবং তারপরে তৃতীয় গাদাতে ব্লকগুলি যোগ করতে পারেন। অথবা আপনি শেষ দুটি গাদাতে ব্লকগুলি গণনা করতে পারেন এবং তারপরে প্রথম গাদাতে ব্লকগুলি যোগ করতে পারেন। যেভাবেই হোক, আপনার মোট পরিমাণ একই হবে। এটি গণিতকে সহজ করে তোলে কারণ আপনি সবচেয়ে সহজ মনে হয় এমন গ্রুপিং বেছে নিতে পারেন।
দুটি নিয়মই আপনাকে সংখ্যা সম্পর্কে নমনীয়ভাবে চিন্তা করতে সাহায্য করে। এগুলি আপনাকে দেখায় যে আপনি যদি জিনিসগুলি পরিবর্তন করেন, তবুও গণিত একই থাকে। এটি খুবই গুরুত্বপূর্ণ কারণ এর অর্থ হল আপনি একটি সমস্যা সমাধানের বিভিন্ন উপায় খুঁজে পেতে পারেন এবং সর্বদা জানেন যে আপনার উত্তরটি সঠিক।
সমস্যা: কমিউটেটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করে 4 এবং 7 যোগ করো।
ধাপ ১: যোগটি তার মূল আকারে লিখুন: \(4 + 7\) ।
ধাপ ২: সংখ্যাগুলির ক্রম পরিবর্তন করুন: \(7 + 4\) ।
ধাপ ৩: উভয় রাশি গণনা করুন। আমাদের আছে:
যেহেতু উভয় পদ্ধতিই উত্তর ১১ দেয়, তাই পরিবর্তনীয় বৈশিষ্ট্য কাজ করে!
সমস্যা: যোগ সমস্যা \((2+3)+5\) সমাধান করুন এবং দেখান যে এটি \(2+(3+5)\) এর সমান।
ধাপ ১: \((2+3)\) গ্রুপিং-এর প্রথম দুটি সংখ্যা যোগ করুন :
ধাপ ২: এবার ফলাফল ৫ তে যোগ করুন:
বিকল্প গ্রুপিং: এখন একটি ভিন্ন গ্রুপিং যোগ করার চেষ্টা করুন: \(2+(3+5)\) ।
ধাপ ৩: প্রথমে \(3+5\) যোগ করুন :
ধাপ ৪: এবার ফলাফলটি ২ তে যোগ করুন:
উভয় গ্রুপিং আমাদের ১০ দেয়। এটি দেখায় যে সহযোগী বৈশিষ্ট্য কাজ করে কারণ \((2+3)+5 = 2+(3+5)\) ।
সমস্যা: পরিবর্তনশীল এবং সহযোগী উভয় বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে \(1+(4+6)\) সমস্যাটি সমাধান করুন।
ধাপ ১: প্রথমে বন্ধনীর ভেতরের অংশটি সমাধান করুন: \(4+6\) :
ধাপ ২: এবার ফলাফলে ১ যোগ করুন:
বিকল্প পদ্ধতি: ক্রম পরিবর্তন করে একটি ভিন্ন গ্রুপিং ব্যবহার করুন। এটিকে \((1+4)+6\) হিসাবে ভাবুন।
ধাপ ৩: প্রথমে \(1+4\) গণনা করুন :
ধাপ ৪: তারপর ফলাফলে ৬ যোগ করুন:
উভয় পদ্ধতি একই উত্তর দেয়: ১১. এটি দেখায় কিভাবে পরিবর্তনমূলক এবং সহযোগী বৈশিষ্ট্য একসাথে কাজ করে যোগকে সহজ করে তোলে।
পরিবর্তনশীল এবং সহযোগী বৈশিষ্ট্যের ধারণাগুলি কেবল স্কুলের জন্য নয় - এগুলি আমাদের দৈনন্দিন জীবনে খুবই কার্যকর। যখন আপনি জিনিসপত্র গণনা করেন, যেমন আপনার খেলনা বা খাবার, তখন এই নিয়মগুলি আপনাকে দ্রুত এবং ক্রম বা গোষ্ঠীকরণ সম্পর্কে কম চিন্তার সাথে যোগ করতে সহায়তা করে।
কল্পনা করুন আপনি দুপুরের খাবারের জন্য টেবিল সাজাচ্ছেন। আপনাকে প্লেট, কাঁটাচামচ এবং চামচ গুনতে হবে। আপনি চামচের আগে কাঁটাচামচ গুনবেন নাকি আগে চামচ গুনবেন তাতে কিছু যায় আসে না - পরিবর্তনীয় বৈশিষ্ট্য আপনাকে বলে যে মোট টুকরোর সংখ্যা একই হবে।
আরেকটি উদাহরণ হল যখন আপনি আপনার বন্ধুদের সাথে ক্যান্ডি ভাগ করেন। ধরুন আপনার কাছে 3টি ক্যান্ডি, 4টি ক্যান্ডি এবং বিভিন্ন বাটি থেকে 2টি ক্যান্ডি আছে। অ্যাসোসিয়েটিভ প্রোপার্টি আপনাকে প্রথমে যেকোনো দুটি বাটি থেকে ক্যান্ডি যোগ করার স্বাধীনতা দেয় এবং তারপর তৃতীয়টি যোগ করতে পারে। আপনি (3+4)+2 অথবা 3+(4+2) যোগ করুন, আপনি এখনও একই মোট পাবেন।
মুদি দোকানের ক্ষেত্রেও এটি সত্য। আপনি যখন বিভিন্ন ফল বা সবজির দাম যোগ করেন, তখন আপনি সেগুলিকে যেকোনো ক্রমে যোগ করতে পারেন অথবা এমনভাবে গ্রুপ করতে পারেন যাতে গণনা সহজ হয়। এতে মোট খরচের কোনও পরিবর্তন হয় না। এই বৈশিষ্ট্যগুলি অনেক দৈনন্দিন গণনাকে সহজ এবং দ্রুত করে তোলে।
এই বৈশিষ্ট্যগুলি বোঝা ভবিষ্যতে আপনার সমাধান করা বিভিন্ন ধরণের গণিত সমস্যার জন্য একটি শক্তিশালী ভিত্তি তৈরি করতে সাহায্য করে। এগুলি ছোট ছোট শর্টকাটের মতো যা আপনাকে সংখ্যাগুলিকে এমনভাবে পুনর্বিন্যাস করতে দেয় যা গণনা করা সহজ। আপনি যখন এই বৈশিষ্ট্যগুলি শিখবেন এবং ব্যবহার করবেন, তখন আপনি সংখ্যার মধ্যে প্যাটার্ন দেখতে শুরু করবেন এবং গণিত সম্পর্কে আরও ভাল চিন্তাভাবনা বিকাশ করবেন।
এই বৈশিষ্ট্যগুলিকে সংখ্যার সাথে খেলা খেলার নিয়ম হিসেবে ভাবুন। পরিবর্তনশীল বৈশিষ্ট্য হল আপনার খেলনাগুলিকে একটি তাকে পুনর্বিন্যাস করার মতো। আপনি যেভাবেই সারিবদ্ধ করুন না কেন, মোট খেলনার সংখ্যা একই থাকে। সহযোগী বৈশিষ্ট্য হল আপনার খাবারগুলিকে বন্ধুদের সাথে ভাগ করে নেওয়ার আগে গ্রুপ করার মতো। আপনি কোন খাবারগুলিকে একসাথে গ্রুপ করবেন তা বিবেচ্য নয় - চূড়ান্ত ভাগ সর্বদা একই থাকে।
এই ধারণাগুলি খুবই শক্তিশালী। এমনকি যখন আপনি সংখ্যার একটি দীর্ঘ তালিকা দেখতে পান, তখনও আপনি সমস্যাটিকে ছোট এবং সহজ অংশে বিভক্ত করার জন্য পরিবর্তনশীল এবং সহযোগী বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করতে পারেন। এটি আপনার কাজকে দ্রুত এবং কম চাপযুক্ত করে তোলে।
কল্পনা করুন আপনি বিল্ডিং ব্লক নিয়ে খেলছেন। প্রতিটি ব্লকের একটি করে সংখ্যা আছে। আপনি আপনার ব্লকের সংখ্যার মোট সংখ্যা জানতে চান। কখনও কখনও, বিভিন্ন ক্রমে বা বিভিন্ন গ্রুপে ব্লক যোগ করা প্রথমে বিভ্রান্তিকর মনে হতে পারে। কিন্তু যখন আপনি কমিউটেটিভ প্রোপার্টি মনে রাখবেন, তখন আপনি কোনও সমস্যা ছাড়াই ব্লকের ক্রম পরিবর্তন করতে পারেন। এবং, যখন আপনি অ্যাসোসিয়েটিভ প্রোপার্টি মনে রাখবেন, তখন আপনি আপনার পছন্দ মতো ব্লকগুলিকে গ্রুপ করতে পারেন। আপনি যেভাবেই করুন না কেন, আপনার ব্লকের মোট সংখ্যা ঠিক একই থাকে।
আপনার রঙিন মার্বেলের সংগ্রহ বাছাই করার সময় আপনি এটি দেখতে পাবেন। আপনি কিছু মার্বেল একসাথে গুনতে পারেন এবং তারপর অন্যগুলি গুনতে পারেন, অথবা আপনি বিভিন্ন গ্রুপ মিশ্রিত করতে পারেন। যোগের নিয়মগুলি গ্যারান্টি দেয় যে যোগফল উভয় ক্ষেত্রেই সঠিক হবে। গণিত শুরু করা যে কারও জন্য এটি একটি খুব আশ্বস্তকারী ধারণা।
আরেকটি মজার উপায় হল কল্পনা করা যে আপনি একটি ফলের সালাদ তৈরি করছেন। আপনি যেকোনো ক্রমে আপেল, কলা এবং স্ট্রবেরি যোগ করতে পারেন, অথবা কিছু ফল একসাথে গ্রুপ করে বাটিতে যোগ করতে পারেন। যেভাবেই হোক, আপনার কাছে এখনও একই ফলের সালাদ থাকবে। পরিবর্তনশীল সম্পত্তি আপনাকে ক্রম পরিবর্তন করতে দেয় (আপেল, কলা, তারপর স্ট্রবেরি বা স্ট্রবেরি, আপেল, তারপর কলা) এবং সহযোগী সম্পত্তি আপনাকে সিদ্ধান্ত নিতে দেয় যে কোন ফলগুলি প্রথমে একসাথে মেশাতে হবে। প্রতিটি ক্ষেত্রে, আপনি একই পরিমাণ ফল পাবেন।
এই বৈশিষ্ট্যগুলি পরবর্তীতে যখন আপনি বড় সংখ্যা সম্পর্কে চিন্তা করেন তখনও সাহায্য করে। যদিও আজ আমরা সহজ সংখ্যা ব্যবহার করছি, একই নিয়মগুলি বড় সংখ্যার জন্যও কাজ করে। এটি গণিত শেখাকে মজাদার করে তোলে কারণ আপনি যখন ছোটবেলায় যে নিয়মগুলি শিখবেন তা আপনার বয়স বাড়ার সাথে সাথে আপনাকে অনুসরণ করবে এবং আরও জটিল সমস্যার মুখোমুখি হবে।
যখন আপনি টাকা গুনছেন, আপনার কাছে কতগুলি স্টিকার আছে তা পরিকল্পনা করছেন, অথবা রান্নাঘরে সাহায্য করার সময়ও, আপনি প্রায়শই জিনিসপত্র একসাথে যোগ করেন। কমিউটেটিভ প্রোপার্টি আপনাকে বলে যে আপনি যদি একটি জিনিসের দাম অন্যটির আগে যোগ করেন তবে তাতে কিছু যায় আসে না - মোট দাম একই থাকে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি ৫ ডলারে একটি খেলনা এবং ৭ ডলারে একটি বই কিনছেন, তাহলে আপনি এগুলি \(5+7\) অথবা \(7+5\) হিসাবে যোগ করতে পারেন। যেভাবেই হোক, আপনি ১২ ডলার খরচ করবেন।
সহযোগী বৈশিষ্ট্যটিও একইভাবে কাজ করে। যখন আপনি আপনার দুপুরের খাবার প্যাক করেন, তখন আপনি বিভিন্ন খাবার একসাথে রাখতে পারেন। আপনি সেগুলিকে যেকোনো ক্রমে গ্রুপ করতে পারেন। যদি আপনার কাছে 3টি স্যান্ডউইচ, 2টি আপেল এবং 4টি কলা থাকে, তাহলে আপনি প্রথমে স্যান্ডউইচ এবং আপেল যোগ করতে পারেন এবং তারপর কলা যোগ করতে পারেন। অথবা আপনি প্রথমে আপেল এবং কলা যোগ করতে পারেন এবং তারপর স্যান্ডউইচ যোগ করতে পারেন। মোট খাদ্য সামগ্রীর সংখ্যা সর্বদা 9 হবে। এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করলে আপনি দ্রুত জিনিসপত্র যোগ করতে এবং যদি আপনি নিশ্চিত না হন তবে আপনার কাজ পরীক্ষা করতে সাহায্য করতে পারেন।
এমনকি গেম এবং ধাঁধার ক্ষেত্রেও, এই বৈশিষ্ট্যগুলি খুবই কার্যকর। অনেক ধাঁধা আপনাকে বিভিন্ন উপায়ে সংখ্যাগুলিকে একত্রিত করতে বলে। যদি আপনি বুঝতে পারেন যে আপনি আপনার পছন্দ মতো সংখ্যাগুলিকে মিশ্রিত এবং গোষ্ঠীভুক্ত করতে পারেন, তাহলে আপনি দ্রুত ধাঁধা সমাধান করতে পারবেন এবং গণিতের সাথে আরও মজা করতে পারবেন। প্রতিবার আপনি যখন এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করেন, তখন আপনি আপনার চিন্তাভাবনাকে একটি কৌতুকপূর্ণ এবং সৃজনশীল উপায়ে তীক্ষ্ণ করছেন।
এই পাঠে আমরা শিখেছি যে যোগ হল সংখ্যাগুলিকে একত্রিত করা। পরিবর্তনশীল বৈশিষ্ট্য আমাদের দেখায় যে সংখ্যাগুলির ক্রম উত্তর পরিবর্তন করে না। উদাহরণস্বরূপ, আপনি \(4+7\) অথবা \(7+4\) লিখুন না কেন, ফলাফল একই। সহযোগী বৈশিষ্ট্য আমাদের বলে যে তিন বা ততোধিক সংখ্যা যোগ করার সময়, সংখ্যাগুলিকে কীভাবে গ্রুপ করা হয় তা গুরুত্বপূর্ণ নয়। আপনি \((2+3)+5\) অথবা \(2+(3+5)\) গণনা করুন না কেন, যোগফল অপরিবর্তিত থাকে।
এই দুটি বৈশিষ্ট্য গণিতকে সহজ এবং মজাদার করে তুলতে খুবই সহায়ক। এগুলি আপনাকে সংখ্যার ক্রম বা গ্রুপিং পরিবর্তন করার সুযোগ দেয় যখন আপনি তাদের একসাথে যোগ করেন। এই ধারণাটি কেবল শ্রেণীকক্ষে নয়, দৈনন্দিন জীবনেও কার্যকর। যখনই আপনি আপনার খেলনা গণনা করেন, আপনার খাবার ভাগ করে নেন, বা কেনাকাটায় সাহায্য করেন, তখন আপনি অজান্তেই এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করছেন।
মনে রাখবেন, গণিত এমন কিছু সহায়ক নিয়মে পরিপূর্ণ যা চ্যালেঞ্জিং সমস্যাগুলিকে সহজ করে তুলতে পারে। পরিবর্তনশীল এবং সহযোগী বৈশিষ্ট্যগুলি আপনার গণিতের টুলবক্সের ছোট হাতিয়ারের মতো। একবার আপনি কীভাবে এগুলি কাজ করে তা শিখে ফেললে, আপনি দ্রুত এবং আত্মবিশ্বাসের সাথে সমস্যাগুলি সমাধান করতে এগুলি ব্যবহার করতে পারেন। অনুশীলনের মাধ্যমে এবং আপনার চারপাশের জগতে এই বৈশিষ্ট্যগুলি লক্ষ্য করার মাধ্যমে, আপনি একজন শক্তিশালী এবং আরও আত্মবিশ্বাসী গণিতবিদ হয়ে উঠবেন।
মনে রাখার জন্য গুরুত্বপূর্ণ বিষয়:
এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, আপনি নিশ্চিত হতে পারেন যে আপনার উত্তরগুলি সঠিক, আপনি সংখ্যার ক্রম বা গ্রুপ পরিবর্তন করলেই হবে। এই নিয়মগুলি মনে রাখবেন, এবং আপনি দেখতে পাবেন যে যোগ করা কেবল সহজই নয় বরং অনেক মজাদারও!
এখন যেহেতু আপনি যোগের পরিবর্তনশীল এবং সহযােগী বৈশিষ্ট্যগুলি জানেন, তাই আপনি সংখ্যা নিয়ে কাজ করার জন্য শক্তিশালী সরঞ্জামগুলি শিখেছেন। গণিত এবং দৈনন্দিন সমস্যাগুলি অন্বেষণ করার সময় এই সরঞ্জামগুলি ব্যবহার করে উপভোগ করুন। মনে রাখবেন, গণিতের জাদু হল এটি সর্বদা সত্য থাকে, আপনি এটিকে যেভাবেই দেখুন না কেন।
