امروز قرار است دو قانون بسیار مفید در ریاضی یاد بگیریم. این قوانین خاصیت شرکت‌پذیری و خاصیت جابجایی جمع نامیده می‌شوند. این قوانین به ما می‌گویند که وقتی اعداد را با هم جمع می‌کنیم، می‌توانیم ترتیب یا گروه‌بندی اعداد را تغییر دهیم و همچنان به همان جواب برسیم. این درس این ایده‌ها را به زبان ساده و با مثال‌های واضح توضیح می‌دهد تا همه بتوانند آن را درک کنند، حتی اگر تازه شروع به یادگیری ریاضی کرده‌اید.
جمع یکی از مهم‌ترین بخش‌های ریاضی است. وقتی اعداد را جمع می‌کنید، آنها را کنار هم قرار می‌دهید تا بفهمید چند تا هستند. آن را مانند کنار هم قرار دادن قطعات یک پازل در نظر بگیرید. برای مثال، اگر تعدادی سیب دارید و چند سیب دیگر هم دارید، آنها را با هم جمع می‌کنید تا ببینید در مجموع چند سیب دارید. در زندگی روزمره، جمع به ما کمک می‌کند اسباب‌بازی‌ها، آب‌نبات‌ها، مدادها و بسیاری چیزهای دیگر را بشماریم.
خاصیت جابجایی جمع به ما می‌گوید که ترتیب جمع دو عدد، نتیجه را تغییر نمی‌دهد. این بدان معناست که جابجایی اعداد، حاصل جمع یکسانی را می‌دهد. تصور کنید که ۲ آبنبات دارید و سپس ۳ آبنبات دیگر دریافت می‌کنید. چه اول ۲ آبنبات و سپس ۳ آبنبات را بشمارید، چه اول ۳ آبنبات و سپس ۲ آبنبات، همچنان ۵ آبنبات خواهید داشت.
می‌توانید خاصیت جابجایی را به صورت زیر بنویسید:
\(\textrm{برای هر عددی } a \textrm{ و } b, \, a+b = b+a\) .
این قانون وقتی اعداد کوچک یا حتی اعداد بزرگ را می‌شمارید بسیار مفید است زیرا به شما نشان می‌دهد که ترتیب مهم نیست. مثل این است که بگوییم مهم نیست اسباب‌بازی‌هایتان را به کدام سمت روی زمین بچینید، تعداد اسباب‌بازی‌ها ثابت می‌ماند.
خاصیت انجمنی جمع به ما می‌گوید که وقتی سه یا چند عدد را با هم جمع می‌کنیم، نحوه گروه‌بندی آنها تاثیری بر حاصل جمع نهایی ندارد. این بدان معناست که اگر چند عدد را با هم جمع کنید، می‌توانید ابتدا دو عدد دلخواه از آنها را گروه‌بندی کنید و سپس عدد سوم را بعداً با هم جمع کنید و جواب دقیقاً یکسان خواهد بود.
می‌توانید این را با یک مثال ببینید:
\(\textrm{برای هر عددی } a, b, \textrm{ و } c, \, (a+b)+c = a+(b+c)\) .
تصور کنید یک کاسه میوه دارید. ممکن است ۱ سیب، ۲ موز و ۳ پرتقال داشته باشید. می‌توانید ابتدا سیب‌ها و موزها را اضافه کنید و سپس پرتقال‌ها را اضافه کنید. یا می‌توانید ابتدا موزها و پرتقال‌ها را اضافه کنید و سپس سیب را اضافه کنید. در هر صورت، تعداد کل میوه‌ها یکسان است.
جمع در مورد بدست آوردن مجموع است. وقتی جمع می‌زنید، اعداد را کنار هم قرار می‌دهید. گاهی اوقات، ممکن است با تغییر ترتیب اعداد، شمارش آسان‌تر شود. خاصیت جابجایی به شما نشان می‌دهد که فرقی نمی‌کند ۳ + ۵ یا ۵ + ۳ را جمع کنید، زیرا هر دو برابر با ۸ می‌شوند.
خاصیت انجمنی به شما در گروه‌بندی اعداد آزادی عمل می‌دهد. تصور کنید که سه دسته بلوک دارید. می‌توانید بلوک‌های دو دسته اول را بشمارید و سپس بلوک‌های دسته سوم را با هم جمع کنید. یا می‌توانید بلوک‌های دو دسته آخر را بشمارید و سپس بلوک‌های دسته اول را با هم جمع کنید. در هر صورت، در نهایت به یک مجموع یکسان می‌رسید. این کار ریاضی را آسان‌تر می‌کند زیرا می‌توانید گروه‌بندی‌ای را انتخاب کنید که ساده‌ترین به نظر برسد.
هر دو قانون به شما کمک می‌کنند تا به روشی انعطاف‌پذیر در مورد اعداد فکر کنید. آنها به شما نشان می‌دهند که حتی اگر شرایط را تغییر دهید، ریاضیات ثابت می‌ماند. این بسیار مهم است زیرا به این معنی است که می‌توانید راه‌های مختلفی برای حل یک مسئله پیدا کنید و همیشه بدانید که پاسخ شما صحیح است.
مسئله: با استفاده از خاصیت جابجایی‌پذیری، اعداد ۴ و ۷ را جمع کنید.
مرحله ۱: جمع را به شکل اصلی آن بنویسید: \(4 + 7\) .
مرحله ۲: ترتیب اعداد را تغییر دهید: \(7 + 4\) .
مرحله ۳: هر دو عبارت را محاسبه کنید. داریم:
از آنجایی که هر دو روش جواب ۱۱ را می‌دهند، خاصیت جابجایی برقرار است!
مسئله: مسئله جمع \((2+3)+5\) را حل کنید و نشان دهید که با \(2+(3+5)\) برابر است.
مرحله ۱: دو عدد اول را در گروه‌بندی \((2+3)\) جمع کنید:
مرحله ۲: حالا حاصل را با ۵ جمع کنید:
گروه‌بندی جایگزین: حالا سعی کنید یک گروه‌بندی متفاوت اضافه کنید: \(2+(3+5)\) .
مرحله ۳: ابتدا \(3+5\) را جمع کنید:
مرحله ۴: حالا حاصل را با ۲ جمع کنید:
هر دو گروه‌بندی عدد ۱۰ را به ما می‌دهند. این نشان می‌دهد که خاصیت انجمنی کار می‌کند زیرا \((2+3)+5 = 2+(3+5)\) .
مسئله: مسئله‌ی \(1+(4+6)\) با استفاده از خواص جابجایی و شرکت‌پذیری حل کنید.
مرحله 1: ابتدا داخل پرانتز را حل کنید: \(4+6\) :
مرحله ۲: حالا عدد ۱ را به حاصل اضافه کنید:
روش جایگزین: با تغییر ترتیب، از یک گروه‌بندی متفاوت استفاده کنید. آن را به صورت \((1+4)+6\) در نظر بگیرید.
مرحله ۳: ابتدا \(1+4\) را محاسبه کنید:
مرحله ۴: سپس عدد ۶ را به حاصل اضافه کنید:
هر دو روش پاسخ یکسانی می‌دهند: 11. این نشان می‌دهد که چگونه ویژگی‌های جابجایی و شرکت‌پذیری با هم کار می‌کنند تا جمع را آسان‌تر کنند.
ایده‌های مربوط به ویژگی‌های جابجایی و شرکت‌پذیری فقط برای مدرسه نیستند - آنها در زندگی روزمره ما بسیار مفید هستند. وقتی چیزهایی مانند اسباب‌بازی‌ها یا خوراکی‌های خود را می‌شمارید، این قوانین به شما کمک می‌کنند تا سریع‌تر و با نگرانی کمتری در مورد ترتیب یا گروه‌بندی، جمع کنید.
تصور کنید که در حال چیدن میز ناهار هستید. باید بشقاب‌ها، چنگال‌ها و قاشق‌ها را بشمارید. فرقی نمی‌کند که چنگال‌ها را قبل از قاشق‌ها بشمارید یا اول قاشق‌ها را - خاصیت جابجایی به شما می‌گوید که تعداد کل قطعات یکسان خواهد بود.
مثال دیگر زمانی است که شما آب‌نبات‌ها را با دوستانتان به اشتراک می‌گذارید. فرض کنید ۳ آبنبات، ۴ آبنبات و ۲ آبنبات از کاسه‌های مختلف دارید. خاصیت انجمنی به شما این آزادی را می‌دهد که ابتدا آب‌نبات‌های هر دو کاسه را با هم جمع کنید و سپس آبنبات سوم را اضافه کنید. چه (۳+۴)+۲ را جمع کنید و چه ۳+(۴+۲)، باز هم نتیجه یکسانی خواهید گرفت.
این موضوع در فروشگاه مواد غذایی نیز صادق است. وقتی قیمت میوه‌ها یا سبزیجات مختلف را جمع می‌زنید، می‌توانید آنها را به هر ترتیبی که می‌خواهید جمع کنید یا آنها را به گونه‌ای گروه‌بندی کنید که محاسبات آسان‌تر شود. این کار هزینه کل را تغییر نمی‌دهد. این ویژگی‌ها بسیاری از محاسبات روزمره را ساده و سریع می‌کنند.
درک این ویژگی‌ها به ایجاد پایه‌ای قوی برای انواع مختلف مسائل ریاضی که در آینده حل خواهید کرد، کمک می‌کند. آنها مانند میانبرهای کوچکی هستند که به شما امکان می‌دهند اعداد را به روش‌هایی که محاسبه آنها آسان‌تر است، دوباره مرتب کنید. وقتی این ویژگی‌ها را یاد می‌گیرید و استفاده می‌کنید، شروع به دیدن الگوها در اعداد می‌کنید و روش بهتری برای تفکر در مورد ریاضی پیدا می‌کنید.
این ویژگی‌ها را به عنوان قوانینی برای بازی با اعداد در نظر بگیرید. ویژگی جابجایی مانند چیدمان مجدد اسباب‌بازی‌هایتان روی قفسه است. مهم نیست که چگونه آنها را در یک ردیف قرار دهید، تعداد کل اسباب‌بازی‌ها ثابت می‌ماند. ویژگی انجمنی مانند گروه‌بندی تنقلات شما قبل از تقسیم آنها با دوستانتان است. فرقی نمی‌کند کدام تنقلات را با هم گروه‌بندی کنید - سهم نهایی همیشه یکسان است.
این ایده‌ها بسیار قدرتمند هستند. حتی وقتی فهرستی طولانی از اعداد برای جمع می‌بینید، می‌توانید از ویژگی‌های جابجایی و انجمنی برای شکستن مسئله به بخش‌های کوچک‌تر و آسان‌تر استفاده کنید. این کار باعث می‌شود کار شما سریع‌تر و کم‌استرس‌تر شود.
تصور کنید که با بلوک‌های ساختمانی بازی می‌کنید. روی هر بلوک یک عدد وجود دارد. می‌خواهید مجموع اعداد روی بلوک‌هایتان را بدانید. گاهی اوقات، جمع کردن بلوک‌ها به ترتیب‌های مختلف یا در گروه‌های مختلف ممکن است در ابتدا گیج‌کننده به نظر برسد. اما وقتی خاصیت جابجایی را به خاطر بسپارید، می‌توانید ترتیب بلوک‌ها را بدون هیچ مشکلی تغییر دهید. و وقتی خاصیت انجمنی را به خاطر بسپارید، می‌توانید بلوک‌ها را به هر روشی که دوست دارید گروه‌بندی کنید. مهم نیست که چگونه این کار را انجام دهید، تعداد کل بلوک‌های شما دقیقاً یکسان باقی می‌ماند.
ممکن است هنگام مرتب کردن مجموعه تیله‌های رنگارنگ خود، این را ببینید. می‌توانید برخی از تیله‌ها را با هم بشمارید و سپس بقیه را بشمارید، یا می‌توانید گروه‌های مختلف را با هم مخلوط کنید. قوانین جمع تضمین می‌کند که مجموع در هر دو صورت صحیح خواهد بود. این ایده برای هر کسی که تازه ریاضی را شروع کرده، بسیار اطمینان‌بخش است.
یک راه جالب دیگر برای فکر کردن به این موضوع این است که تصور کنید در حال درست کردن سالاد میوه هستید. می‌توانید سیب، موز و توت‌فرنگی را به هر ترتیبی اضافه کنید، یا چند میوه را با هم گروه‌بندی کنید و سپس آنها را به کاسه اضافه کنید. در هر صورت، هنوز همان سالاد میوه را دارید. خاصیت جابجایی به شما امکان می‌دهد ترتیب را تغییر دهید (سیب، موز، سپس توت‌فرنگی یا توت‌فرنگی، سیب، سپس موز) و خاصیت انجمنی به شما امکان می‌دهد تصمیم بگیرید کدام میوه‌ها را ابتدا با هم مخلوط کنید. در هر صورت، مقدار کل میوه یکسانی به دست می‌آورید.
این ویژگی‌ها همچنین وقتی بعداً به اعداد بزرگتر فکر می‌کنید، به شما کمک می‌کنند. اگرچه امروزه از اعداد ساده استفاده می‌کنیم، اما همین قوانین برای اعداد بزرگتر نیز کار می‌کنند. این امر یادگیری ریاضی را سرگرم‌کننده می‌کند زیرا قوانینی که در جوانی یاد می‌گیرید، با بزرگتر شدن و مواجهه با مسائل پیچیده‌تر، همراه شما خواهند بود.
وقتی پول می‌شمارید، برنامه‌ریزی می‌کنید که چند برچسب دارید، یا حتی وقتی در آشپزخانه کمک می‌کنید، اغلب چیزها را با هم جمع می‌کنید. خاصیت جابجایی به شما می‌گوید که فرقی نمی‌کند هزینه یک کالا را قبل از دیگری جمع کنید - مجموع ثابت می‌ماند. برای مثال، اگر یک اسباب‌بازی را به قیمت ۵ دلار و یک کتاب را به قیمت ۷ دلار می‌خرید، می‌توانید آنها را به صورت \(5+7\) یا \(7+5\) جمع کنید. در هر صورت، ۱۲ دلار خرج می‌کنید.
خاصیت انجمنی نیز به همین ترتیب عمل می‌کند. وقتی ناهار خود را بسته‌بندی می‌کنید، ممکن است اقلام غذایی مختلفی را کنار هم قرار دهید. می‌توانید آنها را به هر ترتیبی گروه‌بندی کنید. اگر 3 ساندویچ، 2 سیب و 4 موز دارید، می‌توانید ابتدا ساندویچ‌ها و سیب‌ها را اضافه کنید و سپس موز را اضافه کنید. یا می‌توانید ابتدا سیب‌ها و موزها را اضافه کنید و سپس ساندویچ‌ها را اضافه کنید. تعداد کل اقلام غذایی همیشه 9 خواهد بود. استفاده از این ویژگی‌ها می‌تواند به شما کمک کند تا به سرعت موارد را جمع کنید و اگر مطمئن نیستید، کار خود را بررسی کنید.
حتی در بازی‌ها و پازل‌ها، این ویژگی‌ها بسیار مفید هستند. بسیاری از پازل‌ها از شما می‌خواهند که اعداد را به روش‌های مختلف ترکیب کنید. اگر بفهمید که می‌توانید اعداد را به هر شکلی که دوست دارید ترکیب و گروه‌بندی کنید، می‌توانید پازل‌ها را سریع‌تر حل کنید و از ریاضی لذت بیشتری ببرید. هر بار که از این ویژگی‌ها استفاده می‌کنید، مهارت‌های تفکر خود را به شیوه‌ای بازیگوشانه و خلاقانه تقویت می‌کنید.
در این درس، یاد گرفتیم که جمع، کنار هم قرار دادن اعداد است. خاصیت جابجایی به ما نشان می‌دهد که ترتیب اعداد، جواب را تغییر نمی‌دهد. برای مثال، چه بنویسید \(4+7\) یا \(7+4\) ، نتیجه یکسان است. خاصیت انجمنی به ما می‌گوید که هنگام جمع کردن سه یا چند عدد، نحوه گروه‌بندی اعداد مهم نیست. چه \((2+3)+5\) محاسبه کنید و چه \(2+(3+5)\) ، حاصل جمع بدون تغییر باقی می‌ماند.
این دو ویژگی در آسان و سرگرم‌کننده کردن ریاضی بسیار مفید هستند. آنها به شما این امکان را می‌دهند که هنگام جمع کردن اعداد، ترتیب یا گروه‌بندی آنها را تغییر دهید. این ایده نه تنها در کلاس درس، بلکه در زندگی روزمره نیز مفید است. هر زمان که اسباب‌بازی‌های خود را می‌شمارید، خوراکی‌های خود را به اشتراک می‌گذارید یا در خرید کمک می‌کنید، بدون اینکه حتی بدانید، از این ویژگی‌ها استفاده می‌کنید.
به یاد داشته باشید، ریاضی پر از قوانین مفیدی است که می‌توانند مسائل چالش‌برانگیز را ساده‌تر کنند. خواص جابجایی و شرکت‌پذیری مانند ابزارهای کوچکی در جعبه ابزار ریاضی شما هستند. وقتی یاد بگیرید که چگونه کار می‌کنند، می‌توانید از آنها برای حل سریع و با اطمینان مسائل استفاده کنید. با تمرین و با توجه به این خواص در دنیای اطرافتان، به یک ریاضیدان قوی‌تر و با اعتماد به نفس‌تر تبدیل خواهید شد.
نکات کلیدی برای به خاطر سپردن:
با استفاده از این ویژگی‌ها، می‌توانید مطمئن باشید که پاسخ‌هایتان صحیح هستند، صرف نظر از اینکه ترتیب یا گروه‌بندی اعداد را تغییر دهید. این قوانین را در نظر داشته باشید و متوجه خواهید شد که جمع نه تنها آسان است، بلکه بسیار سرگرم‌کننده نیز هست!
حالا که خواص جابجایی و شرکت‌پذیری جمع را می‌دانید، ابزارهای قدرتمندی برای کار با اعداد آموخته‌اید. از استفاده از این ابزارها در حین کاوش بیشتر در ریاضیات و مسائل روزمره لذت ببرید. به یاد داشته باشید، جادوی ریاضی این است که همیشه درست می‌ماند، مهم نیست چطور به آن نگاه کنید.
