Danas ćemo naučiti dva vrlo korisna pravila u matematici. Ta se pravila nazivaju asocijativno svojstvo i komutativno svojstvo zbrajanja. Ona nam govore da kada zbrajamo brojeve, možemo promijeniti redoslijed ili grupiranje brojeva, a i dalje dobiti isti odgovor. Ova će lekcija objasniti ove ideje jednostavnim jezikom s jasnim primjerima kako bi ih svatko mogao razumjeti, čak i ako tek počinje učiti matematiku.
Zbrajanje je jedan od najvažnijih dijelova matematike. Kada zbrajate brojeve, slažete ih kako biste saznali koliko ih ima odjednom. Zamislite to kao slaganje dijelova slagalice. Na primjer, ako imate nekoliko jabuka i dobijete još nekoliko, zbrajate ih kako biste vidjeli koliko jabuka ukupno imate. U svakodnevnom životu, zbrajanje nam pomaže brojati igračke, slatkiše, olovke i mnoge druge stvari.
Komutativno svojstvo zbrajanja govori nam da redoslijed kojim zbrajate dva broja ne mijenja rezultat. To znači da zamjena brojeva daje isti zbroj. Zamislite da imate 2 bombona, a zatim dobijete još 3 bombona. Bez obzira brojite li prvo 2, a zatim 3, ili prvo 3, a zatim 2, i dalje ćete imati 5 bombona.
Komutativno svojstvo možete zapisati ovako:
\(\textrm{Za bilo koje brojeve } a \textrm{ i } b, \, a+b = b+a\) .
Ovo pravilo je vrlo korisno kada brojite male brojeve ili čak velike brojeve jer vam pokazuje da redoslijed nije važan. To je kao da kažete da bez obzira na koji način stavite igračke na pod, broj igračaka ostaje isti.
Asocijativno svojstvo zbrajanja govori nam da kada zbrojimo tri ili više brojeva, način na koji ih grupiramo ne utječe na konačni zbroj. To znači da ako zbrojite neke brojeve, prvo možete grupirati bilo koja dva od njih, a zatim kasnije zbrojiti treći, a odgovor će biti potpuno isti.
To možete vidjeti na primjeru:
\(\textrm{Za bilo koje brojeve } a, b, \textrm{ i } c, \, (a+b)+c = a+(b+c)\) .
Zamislite da imate zdjelu voća. Možda imate 1 jabuku, 2 banane i 3 naranče. Prvo možete dodati jabuke i banane, a zatim naranče. Ili možete prvo dodati banane i naranče, a zatim jabuku. U svakom slučaju, ukupan broj voća je isti.
Zbrajanje je zbrajanje. Kada zbrajate, spajate brojeve. Ponekad vam je lakše brojati promjenom redoslijeda brojeva. Komutativno svojstvo pokazuje da nije važno zbrajate li 3 + 5 ili 5 + 3 jer su oba jednaka 8.
Asocijativno svojstvo daje vam slobodu u grupiranju brojeva. Zamislite da imate tri hrpe blokova. Možete prebrojati blokove u prve dvije hrpe, a zatim dodati blokove u treću hrpu. Ili možete prebrojati blokove u posljednje dvije hrpe, a zatim dodati blokove u prvu hrpu. U svakom slučaju, dobit ćete isti zbroj. To olakšava matematiku jer možete odabrati grupiranje koje se čini najjednostavnijim.
Oba pravila vam pomažu da razmišljate o brojevima na fleksibilan način. Pokazuju vam da čak i ako promijenite stvari, matematika ostaje ista. To je vrlo važno jer znači da možete pronaći različite načine rješavanja problema i uvijek znati da je vaš odgovor točan.
Problem: Zbrojite 4 i 7 koristeći komutativno svojstvo.
Korak 1: Zapišite zbrajanje u izvornom obliku: \(4 + 7\) .
Korak 2: Zamijenite redoslijed brojeva: \(7 + 4\) .
Korak 3: Izračunajte oba izraza. Imamo:
Budući da oba načina daju odgovor 11, komutativno svojstvo funkcionira!
Problem: Riješite problem zbrajanja \((2+3)+5\) i pokažite da je isti kao \(2+(3+5)\) .
Korak 1: Zbrojite prva dva broja u grupi \((2+3)\) :
Korak 2: Sada dodajte rezultat broju 5:
Alternativno grupiranje: Sada pokušajte dodati drugačije grupiranje: \(2+(3+5)\) .
Korak 3: Prvo dodajte \(3+5\) :
Korak 4: Sada dodajte rezultat broju 2:
Oba grupiranja daju nam 10. To pokazuje da asocijativno svojstvo funkcionira jer \((2+3)+5 = 2+(3+5)\) .
Problem: Riješite problem \(1+(4+6)\) koristeći i komutativna i asocijativna svojstva.
Korak 1: Prvo riješite unutarnje zagrade: \(4+6\) :
Korak 2: Sada rezultatu dodajte 1:
Alternativna metoda: Upotrijebite drugačije grupiranje promjenom redoslijeda. Zamislite to kao \((1+4)+6\) .
Korak 3: Prvo izračunajte \(1+4\) :
Korak 4: Zatim rezultatu dodajte 6:
Oba načina daju isti odgovor: 11. Ovo pokazuje kako komutativna i asocijativna svojstva djeluju zajedno kako bi olakšala zbrajanje.
Ideje komutativnih i asocijativnih svojstava nisu samo za školu - vrlo su korisne u našem svakodnevnom životu. Kada brojite stvari, poput igračaka ili grickalica, ova pravila vam pomažu da brže zbrajate i s manje brige o redoslijedu ili grupiranju.
Zamislite da postavljate stol za ručak. Trebate prebrojati tanjure, vilice i žlice. Nije važno brojite li vilice prije žlica ili prvo žlice - komutativno svojstvo govori vam da će ukupan broj komada biti isti.
Drugi primjer je kada dijelite bombone s prijateljima. Pretpostavimo da imate 3 bombona, 4 bombona i 2 bombona iz različitih zdjelica. Asocijativno svojstvo daje vam slobodu da prvo zbrojite bombone iz bilo koje dvije zdjelice, a zatim dodate treću. Bez obzira zbrojite li (3+4)+2 ili 3+(4+2), i dalje ćete dobiti isti zbroj.
To vrijedi i u trgovini. Kada zbrajate cijenu različitog voća ili povrća, možete ih dodati bilo kojim redoslijedom ili ih grupirati na način koji olakšava izračun. To ne mijenja ukupnu cijenu. Ova svojstva čine mnoge svakodnevne izračune jednostavnima i brzima.
Razumijevanje ovih svojstava pomaže u izgradnji snažnih temelja za mnoge vrste matematičkih problema koje ćete rješavati u budućnosti. Oni su poput malih prečaca koji vam omogućuju preuređivanje brojeva na načine koji se lakše izračunavaju. Kada naučite i koristite ova svojstva, počinjete uočavati obrasce u brojevima i razvijate bolji način razmišljanja o matematici.
Zamislite ova svojstva kao pravila za igranje igre s brojevima. Komutativno svojstvo je kao preslagivanje igračaka na polici. Bez obzira kako ih poredate, ukupan broj igračaka ostaje isti. Asocijativno svojstvo je kao grupiranje grickalica prije dijeljenja s prijateljima. Nije važno koje grickalice grupirate - konačni udio je uvijek isti.
Ove ideje su vrlo moćne. Čak i kada vidite dugi popis brojeva za zbrajanje, možete koristiti komutativna i asocijativna svojstva kako biste problem razbili na manje, lakše dijelove. To čini vaš rad bržim i manje stresnim.
Zamislite da se igrate s građevinskim blokovima. Svaki blok ima broj na sebi. Želite znati ukupan broj brojeva na svojim blokovima. Ponekad zbrajanje blokova različitim redoslijedom ili u različitim grupama može u početku izgledati zbunjujuće. Ali kada se sjetite komutativnog svojstva, možete promijeniti redoslijed blokova bez ikakvih problema. A kada se sjetite asocijativnog svojstva, možete grupirati blokove na bilo koji način. Bez obzira na to kako to radite, ukupan broj na vašim blokovima ostaje potpuno isti.
Ovo možete vidjeti kada sortirate svoju kolekciju šarenih kuglica. Možete prebrojati neke kuglice zajedno, a zatim prebrojati druge ili možete miješati različite skupine. Pravila zbrajanja jamče da će zbroj biti točan u oba slučaja. To je vrlo ohrabrujuća ideja za svakoga tko počinje s matematikom.
Drugi zabavan način razmišljanja o tome je zamisliti da pripremate voćnu salatu. Možete dodati jabuke, banane i jagode bilo kojim redoslijedom ili grupirati neko voće zajedno, a zatim ga dodati u zdjelu. U svakom slučaju, i dalje imate istu voćnu salatu. Komutativno svojstvo omogućuje vam promjenu redoslijeda (jabuke, banane, zatim jagode ili jagode, jabuke, pa banane), a asocijativno svojstvo omogućuje vam da odlučite koje voće prvo pomiješati. U svakom slučaju dobivate istu ukupnu količinu voća.
Ova svojstva također pomažu kada kasnije razmišljate o većim brojevima. Iako danas koristimo jednostavne brojeve, ista pravila vrijede i za veće brojeve. To učenje matematike čini zabavnim jer će vas pravila koja naučite dok ste mladi pratiti kako odrastate i suočavate se sa složenijim problemima.
Kada brojite novac, planirate koliko naljepnica imate ili čak kada pomažete u kuhinji, često zbrajate stvari. Komutativno svojstvo govori vam da nije važno zbrajate li cijenu jedne stavke prije druge - ukupan iznos ostaje isti. Na primjer, ako kupujete igračku za 5 dolara i knjigu za 7 dolara, možete ih zbrojiti kao \(5+7\) ili \(7+5\) . U svakom slučaju, potrošite 12 dolara.
Asocijativno svojstvo funkcionira slično. Kada pakirate ručak, možete sastaviti različite namirnice. Možete ih grupirati bilo kojim redoslijedom. Ako imate 3 sendviča, 2 jabuke i 4 banane, prvo možete dodati sendviče i jabuke, a zatim banane. Ili možete prvo dodati jabuke i banane, a zatim sendviče. Ukupan broj namirnica uvijek će biti 9. Korištenje ovih svojstava može vam pomoći da brzo zbrojite stvari i provjerite svoj rad ako niste sigurni.
Čak i u igrama i zagonetkama, ova svojstva su vrlo korisna. Mnoge zagonetke traže od vas da kombinirate brojeve na različite načine. Ako shvatite da možete miješati i grupirati brojeve kako god želite, možete brže rješavati zagonetke i više se zabaviti s matematikom. Svaki put kada koristite ova svojstva, izoštravate svoje vještine razmišljanja na razigran i kreativan način.
U ovoj lekciji naučili smo da je zbrajanje spajanje brojeva. Komutativno svojstvo pokazuje nam da redoslijed brojeva ne mijenja odgovor. Na primjer, bez obzira napišete li \(4+7\) ili \(7+4\) , rezultat je isti. Asocijativno svojstvo govori nam da pri zbrajanju tri ili više brojeva način na koji grupirate brojeve nije važan. Bez obzira izračunate li \((2+3)+5\) ili \(2+(3+5)\) , zbroj ostaje nepromijenjen.
Ova dva svojstva su vrlo korisna u tome da matematika bude jednostavna i zabavna. Omogućuju vam promjenu redoslijeda ili grupiranja brojeva kada ih zbrajate. Ova ideja nije korisna samo u učionici već i u svakodnevnom životu. Kad god brojite svoje igračke, dijelite grickalice ili pomažete u kupnji, koristite ova svojstva, a da toga niste ni svjesni.
Zapamtite, matematika je puna korisnih pravila koja mogu pojednostavniti izazovne probleme. Komutativna i asocijativna svojstva su poput malih alata u vašem matematičkom setu s alatima. Nakon što naučite kako funkcioniraju, možete ih koristiti za brzo i samouvjereno rješavanje problema. Vježbom i primjećivanjem ovih svojstava u svijetu oko sebe, postat ćete jači i samouvjereniji matematičar.
Ključne točke koje treba zapamtiti:
Korištenjem ovih svojstava možete biti sigurni da su vaši odgovori točni, bez obzira na to promijenite li redoslijed ili grupiranje brojeva. Imajte na umu ova pravila i otkrit ćete da zbrajanje nije samo jednostavno već i jako zabavno!
Sada kada znate komutativna i asocijativna svojstva zbrajanja, naučili ste moćne alate za rad s brojevima. Uživajte u korištenju ovih alata dok istražujete više matematike i svakodnevnih problema. Zapamtite, magija matematike je u tome što uvijek ostaje istinita, bez obzira kako na to gledate.
