Өнөөдөр бид математикийн хоёр маш хэрэгтэй дүрмийг сурах болно. Эдгээр дүрмүүдийг ассоциатив шинж чанар ба нэмэхийн солих шинж чанар гэж нэрлэдэг. Тэд тоонуудыг нэмэхэд бид тоонуудын дараалал эсвэл бүлэглэлийг өөрчилсөн ч ижил хариултыг авах боломжтой гэж хэлдэг. Энэ хичээл нь эдгээр санааг энгийн хэлээр ойлгомжтой жишээн дээр тайлбарлах бөгөөд ингэснээр та дөнгөж математик сурч эхэлж байгаа ч хүн бүр ойлгох болно.
Нэмэх нь математикийн хамгийн чухал хэсгүүдийн нэг юм. Та тоог нэмэхдээ нэг дор хэд байгааг мэдэхийн тулд тэдгээрийг нэгтгэж байна. Үүнийг эвлүүлдэг тоглоомын хэсгүүдийг эвлүүлж байгаа мэт бод. Жишээлбэл, хэрэв танд хэдэн алим байгаа бол хэд хэдэн алим авах юм бол нийт хэдэн алим байгааг харахын тулд тэдгээрийг нэгтгэж үзээрэй. Бидний өдөр тутмын амьдралд нэмэлт нь тоглоом, чихэр, харандаа болон бусад олон зүйлийг тоолоход тусалдаг.
Нэмэх солих шинж чанар нь хоёр тоог нэмэх дараалал нь үр дүнг өөрчлөхгүй гэдгийг бидэнд хэлдэг. Энэ нь тоонуудыг солиход ижил нийлбэр гарна гэсэн үг. Танд 2 чихэр байгаа бол дахиад 3 чихэр байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Эхлээд 2, дараа нь 3, эсвэл эхлээд 3, дараа нь 2 гэж тоолоод 5 чихэртэй хэвээр байх болно.
Та солих шинж чанарыг дараах байдлаар бичиж болно.
\(\textrm{Ямар ч тооны хувьд } a \textrm{ болон } b, \, a+b = b+a\) .
Энэ дүрэм нь дараалал нь хамаагүй гэдгийг харуулж байгаа тул жижиг тоо эсвэл бүр их тоо тоолох үед маш хэрэгтэй. Тоглоомоо шалан дээр ямар ч байдлаар тавьсан тоглоомын тоо ижил хэвээр байна гэж хэлэхтэй адил юм.
Нэмэлтийн ассоциатив шинж чанар нь бид гурав ба түүнээс дээш тооны тоог нэмэхэд тэдгээрийг бүлэглэх арга нь эцсийн нийлбэрт нөлөөлөхгүй гэдгийг хэлдэг. Энэ нь хэрэв та хэд хэдэн тоог нэмбэл эхлээд дурын хоёрыг нь бүлэглээд дараа нь гурав дахь тоог нь нэмбэл хариулт нь яг адилхан болно гэсэн үг юм.
Та үүнийг жишээгээр харж болно:
\(\textrm{Ямар ч тооны хувьд } a, b, \textrm{ болон } c, \, (a+b)+c = a+(b+c)\) .
Танд нэг аяга жимс байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Та 1 алим, 2 банана, 3 жүржтэй байж болно. Та эхлээд алим, банана нэмж, дараа нь жүрж нэмж болно. Эсвэл та эхлээд банана, жүрж нэмээд дараа нь алим нэмж болно. Аль ч тохиолдолд жимсний нийт тоо ижил байна.
Нэмэлт гэдэг нь нийлбэр дүнг гаргах явдал юм. Нэмэхдээ тоонуудыг нийлүүлдэг. Заримдаа та тоонуудын дарааллыг өөрчилснөөр тоолоход хялбар байдаг. Солих шинж чанар нь 3 + 5 эсвэл 5 + 3-ыг нэмэх нь хамаагүй гэдгийг харуулж байна, учир нь эдгээр нь хоёулаа 8-тай тэнцүү.
Холбооны өмч нь тоонуудыг бүлэглэх эрх чөлөөг өгдөг. Танд гурван овоолсон блок байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Та эхний хоёр овоолгын блокуудыг тоолж, дараа нь гурав дахь овоолгын блокуудыг нэмж болно. Эсвэл та сүүлийн хоёр овоолгын блокуудыг тоолж, дараа нь эхний овоолгын блокуудыг нэмж болно. Аль ч тохиолдолд та ижил нийлбэртэй болно. Энэ нь математикийг хөнгөвчлөх болно, учир нь та хамгийн энгийн гэж үздэг бүлэглэлийг сонгох боломжтой.
Хоёр дүрэм хоёулаа тооны талаар уян хатан байдлаар бодоход тусална. Та ямар нэг зүйлийг өөрчилсөн ч математик хэвээр үлддэг гэдгийг тэд танд харуулж байна. Энэ нь маш чухал бөгөөд учир нь та асуудлыг шийдэх янз бүрийн арга замыг олж, хариултаа зөв гэдгийг үргэлж мэдэж болно гэсэн үг юм.
Бодлого: Солих шинж чанарыг ашиглан 4 ба 7-г нэмнэ үү.
Алхам 1: Нэмэлтийг эх хэлбэрээр нь бичнэ үү: \(4 + 7\) .
Алхам 2: Тоонуудын дарааллыг солино уу: \(7 + 4\) .
Алхам 3: Хоёр илэрхийллийг тооцоол. Бидэнд:
Хоёр арга нь 11 гэсэн хариултыг өгдөг тул хувирах шинж чанар ажилладаг!
Бодлого: Нэмэх бодлогыг \((2+3)+5\) шийдэж, \(2+(3+5)\) -тай ижил болохыг харуул.
Алхам 1: Эхний хоёр тоог \((2+3)\) бүлэгт нэмнэ үү:
Алхам 2: Одоо үр дүнг 5 дээр нэмнэ үү:
Альтернатив бүлэглэл: Одоо өөр бүлэгт нэмж үзээрэй: \(2+(3+5)\) .
Алхам 3: Эхлээд \(3+5\) нэмнэ:
Алхам 4: Одоо үр дүнг 2 дээр нэмнэ үү:
Хоёр бүлэглэл хоёулаа 10-ыг өгдөг. Энэ нь \((2+3)+5 = 2+(3+5)\) учраас ассоциатив шинж чанарыг харуулж байна.
Бодлого: \(1+(4+6)\) асуудлыг солих ба ассоциатив шинж чанарыг хоёуланг нь ашиглан шийд.
Алхам 1: Эхлээд хаалтны дотор талыг шийднэ үү: \(4+6\) :
Алхам 2: Одоо үр дүнд 1-г нэмнэ үү:
Альтернатив арга: Дарааллыг сольж өөр бүлэглэлийг ашиглана уу. Үүнийг \((1+4)+6\) гэж бодоорой.
Алхам 3: Эхлээд \(1+4\) тооцоол:
Алхам 4: Дараа нь үр дүнд 6 нэмнэ:
Хоёр арга нь ижил хариултыг өгдөг: 11. Энэ нь шилжих болон ассоциатив шинж чанарууд хэрхэн хамтран ажиллаж, нэмэхийг хөнгөвчлөхийг харуулж байна.
Солих болон ассоциатив шинж чанаруудын санаанууд нь зөвхөн сургуульд хамаарахгүй бөгөөд бидний өдөр тутмын амьдралд маш хэрэгтэй байдаг. Тоглоом, хөнгөн зууш гэх мэт зүйлсийг тоолж байх үед эдгээр дүрмүүд нь захиалга, бүлэглэлд санаа зовохгүйгээр илүү хурдан нэмэхэд тусална.
Та өдрийн хоолны ширээ засаж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Та таваг, сэрээ, халбага зэргийг тоолох хэрэгтэй. Та халбаганыхаа өмнө сэрээгээ тоолох уу, эсвэл халбаганыхаа өмнө тоолох нь хамаагүй - солих шинж чанар нь нийт хэсгүүдийн тоо ижил байх болно гэдгийг хэлдэг.
Өөр нэг жишээ бол та найзуудтайгаа чихэр хуваалцах явдал юм. Танд өөр өөр аяганаас 3 чихэр, 4 чихэр, 2 чихэр байна гэж бодъё. Ассоциатив өмч нь эхлээд дурын хоёр аяганаас чихэр нэмж, дараа нь гурав дахь аяганд нэмэх эрх чөлөөг олгоно. Та (3+4)+2 эсвэл 3+(4+2) нэмсэн эсэхээс үл хамааран ижил нийлбэрийг авна.
Энэ нь хүнсний дэлгүүрт ч үнэн юм. Та янз бүрийн жимс, хүнсний ногооны үнийг нэмэхдээ тэдгээрийг дурын дарааллаар нэмэх эсвэл математикийг хялбар болгох үүднээс бүлэглэх боломжтой. Энэ нь нийт зардлыг өөрчлөхгүй. Эдгээр шинж чанарууд нь өдөр тутмын олон тооцооллыг энгийн бөгөөд хурдан болгодог.
Эдгээр шинж чанаруудыг ойлгох нь таны ирээдүйд шийдвэрлэх олон төрлийн математикийн бодлогуудын бат бөх суурийг бий болгоход тусална. Эдгээр нь тоонуудыг тооцоолоход хялбар аргаар өөрчлөх боломжийг олгодог жижиг товчлолтой адил юм. Та эдгээр шинж чанаруудыг сурч, ашигласнаар тоон дахь хэв маягийг харж, математикийн талаар илүү сайн сэтгэх арга барилыг хөгжүүлж эхэлдэг.
Эдгээр шинж чанаруудыг тоотой тоглоом тоглох дүрэм гэж бодоорой. Солих шинж чанар нь тоглоомоо тавиур дээр дахин байрлуулахтай адил юм. Та тэднийг хэрхэн жагсааснаас үл хамааран нийт тоглоомын тоо ижил хэвээр байна. Хамтарсан өмч нь найз нөхөдтэйгээ хуваалцахаасаа өмнө зуушаа бүлэглэхтэй адил юм. Та аль зуушыг хамтад нь бүлэглэх нь хамаагүй - эцсийн хувь нь үргэлж ижил байдаг.
Эдгээр санаанууд нь маш хүчтэй байдаг. Нэмэх тоонуудын урт жагсаалтыг харсан ч гэсэн та солих болон ассоциатив шинж чанаруудыг ашиглан асуудлыг жижиг, хялбар хэсгүүдэд хувааж болно. Энэ нь таны ажлыг хурдан, стресс багатай болгоно.
Та барилгын блокоор тоглож байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Блок бүр дээр дугаар байдаг. Та өөрийн блок дээрх нийт тоог мэдэхийг хүсч байна. Заримдаа блокуудыг өөр өөр дарааллаар эсвэл өөр өөр бүлгүүдэд нэмэх нь эхлээд ойлгомжгүй мэт санагдаж магадгүй юм. Гэхдээ та солих шинж чанарыг санаж байхдаа блокуудын дарааллыг ямар ч асуудалгүйгээр өөрчилж болно. Мөн та ассоциатив шинж чанарыг санаж байхдаа блокуудыг дуртай хэлбэрээр нь бүлэглэж болно. Та үүнийг яаж ч хийсэн хамаагүй таны блок дээрх нийт тоо яг ижил хэвээр байна.
Та өнгөлөг гантиг цуглуулгаа ангилж байхдаа үүнийг харж магадгүй юм. Та зарим гантигуудыг хамтад нь тоолж, дараа нь бусдыг тоолж болно, эсвэл өөр өөр бүлгийг хольж болно. Нэмэх дүрэм нь нийлбэр нь аль ч тохиолдолд зөв байх болно гэдгийг баталгаажуулдаг. Математикаар хичээллэж буй хэн бүхэнд энэ нь маш их итгэл төрүүлэх санаа юм.
Энэ талаар бодох бас нэг хөгжилтэй арга бол жимсний салат хийж байна гэж төсөөлөх явдал юм. Та алим, банана, гүзээлзгэнэ зэргийг дурын дарааллаар нэмж эсвэл жимс жимсгэнэ хамтад нь хийж, дараа нь аяганд нэмж болно. Ямар ч тохиолдолд та ижил жимсний салаттай хэвээр байна. Солих шинж чанар нь дарааллыг өөрчлөх боломжийг олгодог (алим, банана, дараа нь гүзээлзгэнэ эсвэл гүзээлзгэнэ, алим, дараа нь банана), ассоциатив шинж чанар нь аль жимсийг эхлээд холихыг шийдэх боломжийг танд олгоно. Аль ч тохиолдолд та ижил хэмжээний жимс авах болно.
Эдгээр шинж чанарууд нь таныг дараа нь илүү их тооны талаар бодоход тусална. Хэдийгээр бид өнөөдөр энгийн тоо хэрэглэж байгаа ч ижил дүрмүүд илүү том тоонуудад ч бас ажилладаг. Энэ нь математикийн хичээлийг хөгжилтэй болгодог, учир нь таны бага насанд сурсан дүрмүүд нас ахих тусам таныг дагаж, илүү төвөгтэй асуудлуудтай тулгарах болно.
Мөнгө тоолохдоо, хэдэн наалт авахаа төлөвлөхдөө эсвэл гал тогооны өрөөнд тусалж байхдаа ч гэсэн байнга юм нэмдэг. Солих шинж чанар нь нэг зүйлийн үнийг нөгөө зүйлийн өмнө нэмэх нь хамаагүй бөгөөд нийт дүн нь хэвээр үлдэнэ. Жишээлбэл, хэрэв та 5 доллараар тоглоом, 7 доллараар ном худалдаж авах гэж байгаа бол тэдгээрийг \(5+7\) эсвэл \(7+5\) гэж нэмж болно. Аль ч тохиолдолд та 12 доллар зарцуулдаг.
Ассоциатив өмч нь ижил төстэй байдлаар ажилладаг. Үдийн хоолоо бэлдэхдээ янз бүрийн хоол хийж болно. Та тэдгээрийг ямар ч дарааллаар бүлэглэж болно. Хэрэв танд 3 ширхэг сэндвич, 2 алим, 4 гадил байгаа бол эхлээд сэндвич, алим нэмээд дараа нь гадил жимсийг нэмж болно. Эсвэл эхлээд алим, банана нэмээд дараа нь сэндвич нэмж болно. Хүнсний бүтээгдэхүүний нийт тоо үргэлж 9 байх болно. Эдгээр шинж чанарыг ашигласнаар та бүх зүйлийг хурдан нэмж, итгэлгүй байгаа бол ажлаа шалгах боломжтой.
Тоглоом, тааварт ч гэсэн эдгээр шинж чанарууд нь маш ашигтай байдаг. Олон оньсого танаас тоонуудыг янз бүрийн аргаар нэгтгэхийг хүсдэг. Хэрэв та хүссэнээрээ тоонуудыг хольж, бүлэглэж болно гэдгийг ойлговол та оньсого илүү хурдан шийдэж, математикийн хичээлийг илүү хөгжилтэй өнгөрөөх боломжтой. Эдгээр шинж чанаруудыг ашиглах бүртээ та хөгжилтэй, бүтээлч байдлаар сэтгэн бодох чадвараа хурцалж байна.
Энэ хичээлээр бид нэмэх гэдэг нь тоонуудыг нэгтгэх явдал гэдгийг олж мэдсэн. Солих шинж чанар нь тоонуудын дараалал нь хариултыг өөрчилдөггүй гэдгийг харуулж байна. Жишээлбэл, та \(4+7\) эсвэл \(7+4\) гэж бичсэн эсэхээс үл хамааран үр дүн нь ижил байна. Ассоциатив шинж чанар нь гурав ба түүнээс дээш тоог нэмэхэд тоонуудыг хэрхэн бүлэглэх нь хамаагүй гэдгийг хэлдэг. Та \((2+3)+5\) эсвэл \(2+(3+5)\) тооцоолсон эсэхээс үл хамааран нийлбэр өөрчлөгдөхгүй хэвээр байна.
Эдгээр хоёр шинж чанар нь математикийг хялбар, хөгжилтэй болгоход маш их тустай. Эдгээр нь тоонуудыг нэгтгэх үед дараалал эсвэл бүлэглэлийг өөрчлөх боломжийг танд олгоно. Энэ санаа нь зөвхөн ангид төдийгүй өдөр тутмын амьдралд хэрэг болно. Та тоглоомоо тоолж, зуушаа хуваалцаж, дэлгүүр хэсэхэд туслах болгондоо эдгээр шинж чанаруудыг өөрөө ч мэдэлгүй ашиглаж байна.
Математик нь хэцүү асуудлуудыг хялбаршуулж болох ашигтай дүрмээр дүүрэн гэдгийг санаарай. Солих болон ассоциатив шинж чанарууд нь таны математикийн хэрэгслийн хайрцагт байдаг жижиг хэрэгслүүдтэй адил юм. Тэдгээрийг хэрхэн ажилладагийг мэдсэний дараа та асуудлыг хурдан бөгөөд итгэлтэйгээр шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. Дадлага хийж, эргэн тойрныхоо эдгээр шинж чанаруудыг анзаарснаар та илүү хүчирхэг, өөртөө итгэлтэй математикч болно.
Санаж байх гол санаанууд:
Эдгээр шинж чанаруудыг ашигласнаар та тоонуудын дараалал, бүлэглэлийг өөрчилсөн ч таны хариулт зөв гэдэгт итгэлтэй байж болно. Эдгээр дүрмийг санаарай, тэгвэл та нэмэлт нэмэх нь хялбар төдийгүй маш хөгжилтэй гэдгийг олж мэдэх болно!
Одоо та нэмэхийн солих болон ассоциатив шинж чанаруудыг мэддэг болсон тул тоотой ажиллах хүчирхэг хэрэгслийг сурсан. Математик болон өдөр тутмын асуудлуудыг судлахын зэрэгцээ эдгээр хэрэгслийг ашиглахад таатай байгаарай. Математикийн ид шид нь яаж ч харсан үргэлж үнэн хэвээр байдгийг санаарай.
