आज हामी गणितमा दुई धेरै उपयोगी नियमहरू सिक्न जाँदैछौं। यी नियमहरूलाई सहयोगी गुण र जोडको कम्युटेटिभ गुण भनिन्छ। तिनीहरूले हामीलाई बताउँछन् कि जब हामी संख्याहरू थप्छौं, हामी संख्याहरूको क्रम वा समूह परिवर्तन गर्न सक्छौं र अझै पनि उही उत्तर प्राप्त गर्न सक्छौं। यस पाठले यी विचारहरूलाई स्पष्ट उदाहरणहरू सहित सरल भाषामा व्याख्या गर्नेछ ताकि सबैले बुझ्न सकून्, यदि तपाईं भर्खरै गणित सिक्न थालेको भए पनि।
जोड गणितको सबैभन्दा महत्त्वपूर्ण भागहरू मध्ये एक हो। जब तपाईं संख्याहरू थप्नुहुन्छ, तपाईं तिनीहरूलाई एकैसाथ कति छन् भनेर पत्ता लगाउन एकसाथ राख्दै हुनुहुन्छ। यसलाई पजलका टुक्राहरू एकसाथ राख्नु जस्तै सोच्नुहोस्। उदाहरणका लागि, यदि तपाईंसँग केही स्याउहरू छन् र तपाईंले केही थप पाउनुभयो भने, तपाईंसँग जम्मा कति स्याउहरू छन् भनेर हेर्नको लागि तिनीहरूलाई एकसाथ जोड्नुहुन्छ। हाम्रो दैनिक जीवनमा, जोडले हामीलाई खेलौना, क्यान्डी, पेन्सिल, र अन्य धेरै चीजहरू गणना गर्न मद्दत गर्दछ।
जोडको कम्युटेटिभ गुणले हामीलाई बताउँछ कि तपाईंले दुई संख्याहरू थप्ने क्रममा परिणाम परिवर्तन हुँदैन। यसको अर्थ संख्याहरू साट्दा उही योगफल आउँछ। कल्पना गर्नुहोस् कि तपाईंसँग २ वटा क्यान्डीहरू छन् र त्यसपछि तपाईंले थप ३ वटा क्यान्डीहरू पाउनुहुन्छ। तपाईंले पहिले २ र त्यसपछि ३ गन्नुहुन्छ, वा पहिले ३ र त्यसपछि २ गन्नुहुन्छ, तपाईंसँग अझै पनि ५ वटा क्यान्डीहरू हुनेछन्।
तपाईं कम्युटेटिभ गुण यसरी लेख्न सक्नुहुन्छ:
\(\textrm{कुनै पनि संख्याको लागि } a \textrm{ र } b, \, a+b = b+a\)
यो नियम सानो संख्या वा ठूलो संख्या गणना गर्दा धेरै उपयोगी छ किनभने यसले तपाईंलाई क्रमले फरक पार्दैन भनेर देखाउँछ। यो भनेको तपाईंले आफ्ना खेलौनाहरू भुइँमा जुनसुकै तरिकाले राखे पनि, खेलौनाहरूको संख्या उस्तै रहन्छ भन्नु जस्तै हो।
जोडको सहयोगी गुणले हामीलाई बताउँछ कि जब हामी तीन वा सोभन्दा बढी संख्याहरू सँगै जोड्छौं, हामीले तिनीहरूलाई समूहबद्ध गर्ने तरिकाले अन्तिम योगफललाई असर गर्दैन। यसको मतलब यदि तपाईंले केही संख्याहरू सँगै थप्नुभयो भने, तपाईंले पहिले ती मध्ये कुनै पनि दुईलाई समूहबद्ध गर्न सक्नुहुन्छ र त्यसपछि तेस्रोलाई पछि थप्न सक्नुहुन्छ, र उत्तर ठ्याक्कै उस्तै हुनेछ।
तपाईं यसलाई उदाहरणको साथ हेर्न सक्नुहुन्छ:
\(\textrm{कुनै पनि संख्याको लागि } a, b, \textrm{ र } c, \, (a+b)+c = a+(b+c)\)
कल्पना गर्नुहोस् तपाईंसँग फलफूलको कचौरा छ। तपाईंसँग १ स्याउ, २ वटा केरा र ३ वटा सुन्तला हुन सक्छन्। तपाईं पहिले स्याउ र केरा थप्न सक्नुहुन्छ, र त्यसपछि सुन्तला थप्न सक्नुहुन्छ। वा तपाईं पहिले केरा र सुन्तला थप्न सक्नुहुन्छ, र त्यसपछि स्याउ थप्न सक्नुहुन्छ। जे भए पनि, फलफूलको कुल संख्या उस्तै छ।
जोड भनेको योगफल बनाउने बारे हो। जब तपाईं थप्नुहुन्छ, तपाईंले संख्याहरू एकसाथ राख्नुहुन्छ। कहिलेकाहीं, संख्याहरूको क्रम परिवर्तन गरेर तपाईंलाई गणना गर्न सजिलो लाग्न सक्छ। कम्युटेटिभ गुणले तपाईंलाई देखाउँछ कि तपाईंले ३ + ५ वा ५ + ३ थप्दा केही फरक पर्दैन किनभने तिनीहरू दुवै ८ बराबर हुन्छन्।
सहयोगी गुणले तपाईंलाई संख्याहरू समूहबद्ध गर्न स्वतन्त्रता दिन्छ। कल्पना गर्नुहोस् कि तपाईंसँग तीनवटा ब्लकहरूको थुप्रो छ। तपाईं पहिलो दुई थुप्रोमा ब्लकहरू गणना गर्न सक्नुहुन्छ र त्यसपछि तेस्रो थुप्रोमा ब्लकहरू थप्न सक्नुहुन्छ। वा तपाईं अन्तिम दुई थुप्रोमा ब्लकहरू गणना गर्न सक्नुहुन्छ र त्यसपछि पहिलो थुप्रोमा ब्लकहरू थप्न सक्नुहुन्छ। जे भए पनि, तपाईं उही कुलको साथ समाप्त हुनुहुन्छ। यसले गणितलाई सजिलो बनाउँछ किनभने तपाईं सबैभन्दा सरल लाग्ने समूहबद्धता छनौट गर्न सक्नुहुन्छ।
दुवै नियमहरूले तपाईंलाई संख्याहरूको बारेमा लचिलो तरिकाले सोच्न मद्दत गर्छन्। तिनीहरूले तपाईंलाई देखाउँछन् कि तपाईंले चीजहरू परिवर्तन गर्नुभयो भने पनि, गणित उस्तै रहन्छ। यो धेरै महत्त्वपूर्ण छ किनभने यसको अर्थ तपाईंले समस्या समाधान गर्ने विभिन्न तरिकाहरू फेला पार्न सक्नुहुन्छ र सधैं थाहा पाउन सक्नुहुन्छ कि तपाईंको उत्तर सही छ।
समस्या: कम्युटेटिभ गुण प्रयोग गरेर ४ र ७ जोड्नुहोस्।
चरण १: जोडलाई यसको मूल रूपमा लेख्नुहोस्: \(4 + 7\) ।
चरण २: संख्याहरूको क्रम परिवर्तन गर्नुहोस्: \(7 + 4\) ।
चरण ३: दुवै अभिव्यक्ति गणना गर्नुहोस्। हामीसँग छ:
दुबै तरिकाले उत्तर ११ दिने भएकोले, कम्युटेटिभ गुणले काम गर्छ!
समस्या: जोड समस्या \((2+3)+5\) समाधान गर्नुहोस् र यो \(2+(3+5)\) जस्तै हो भनेर देखाउनुहोस्।
चरण १: समूहमा पहिलो दुई संख्याहरू थप्नुहोस् \((2+3)\) :
चरण २: अब नतिजा ५ मा थप्नुहोस्:
वैकल्पिक समूहीकरण: अब फरक समूहीकरणमा थप्ने प्रयास गर्नुहोस्: \(2+(3+5)\) ।
चरण ३: पहिले \(3+5\) थप्नुहोस् :
चरण ४: अब नतिजा २ मा थप्नुहोस्:
दुबै समूहहरूले हामीलाई १० दिन्छन्। यसले associative गुणले काम गर्छ भनेर देखाउँछ किनभने \((2+3)+5 = 2+(3+5)\) ।
समस्या: कम्युटेटिभ र एसोसिएटिभ दुवै गुणहरू प्रयोग गरेर \(1+(4+6)\) समस्या समाधान गर्नुहोस्।
चरण १: पहिले कोष्ठक भित्रको भाग समाधान गर्नुहोस्: \(4+6\) :
चरण २: अब नतिजामा १ थप्नुहोस्:
वैकल्पिक विधि: क्रम परिवर्तन गरेर फरक समूह प्रयोग गर्नुहोस्। यसलाई \((1+4)+6\) को रूपमा सोच्नुहोस्।
चरण ३: पहिले \(1+4\) गणना गर्नुहोस् :
चरण ४: त्यसपछि नतिजामा ६ थप्नुहोस्:
दुबै तरिकाले एउटै उत्तर दिन्छन्: ११. यसले कसरी कम्युटेटिभ र एसोसिएटिभ गुणहरूले जोडलाई सजिलो बनाउन सँगै काम गर्छन् भनेर देखाउँछ।
कम्युटेटिभ र एसोसिएटिभ गुणहरूको विचार केवल स्कूलको लागि मात्र होइन - तिनीहरू हाम्रो दैनिक जीवनमा धेरै उपयोगी छन्। जब तपाईं आफ्ना खेलौना वा खाजा जस्ता चीजहरू गणना गर्दै हुनुहुन्छ, यी नियमहरूले तपाईंलाई छिटो र क्रम वा समूहीकरणको बारेमा कम चिन्तामा थप्न मद्दत गर्दछ।
कल्पना गर्नुहोस् तपाईं खाजाको लागि टेबल सेट गर्दै हुनुहुन्छ। तपाईंले प्लेटहरू, काँटाहरू र चम्चाहरू गणना गर्नुपर्छ। तपाईंले काँटाहरू चम्चाभन्दा पहिले गणना गर्नुभयो कि चम्चा पहिले गणना गर्नुभयो भन्ने कुराले फरक पर्दैन - कम्युटेटिभ गुणले तपाईंलाई टुक्राहरूको कुल संख्या उस्तै हुनेछ भनेर बताउँछ।
अर्को उदाहरण भनेको जब तपाईं आफ्ना साथीहरूसँग क्यान्डीहरू बाँड्नुहुन्छ। मानौं तपाईंसँग ३ वटा क्यान्डी, ४ वटा क्यान्डी, र फरक-फरक कचौराबाट २ वटा क्यान्डीहरू छन्। सहयोगी गुणले तपाईंलाई पहिले कुनै पनि दुई कचौराबाट क्यान्डीहरू थप्न र त्यसपछि तेस्रो थप्न स्वतन्त्रता दिन्छ। तपाईंले (३+४)+२ वा ३+(४+२) थप्नुभयो भने पनि, तपाईंले अझै पनि उही कुल प्राप्त गर्नुहुन्छ।
यो किराना पसलमा पनि लागू हुन्छ। जब तपाईं विभिन्न फलफूल वा तरकारीहरूको मूल्य थप्दै हुनुहुन्छ, तपाईं तिनीहरूलाई कुनै पनि क्रममा थप्न वा गणितलाई सजिलो बनाउने तरिकाले समूहबद्ध गर्न सक्नुहुन्छ। यसले कुल लागत परिवर्तन गर्दैन। यी गुणहरूले धेरै दैनिक गणनाहरूलाई सरल र छिटो बनाउँछन्।
यी गुणहरू बुझ्नाले भविष्यमा तपाईंले समाधान गर्ने धेरै प्रकारका गणित समस्याहरूको लागि बलियो जग निर्माण गर्न मद्दत गर्दछ। तिनीहरू साना सर्टकटहरू जस्तै हुन् जसले तपाईंलाई गणना गर्न सजिलो तरिकाले संख्याहरू पुन: व्यवस्थित गर्न दिन्छ। जब तपाईं यी गुणहरू सिक्नुहुन्छ र प्रयोग गर्नुहुन्छ, तपाईंले संख्याहरूमा ढाँचाहरू देख्न थाल्नुहुन्छ र गणितको बारेमा सोच्ने राम्रो तरिका विकास गर्नुहुन्छ।
यी गुणहरूलाई संख्याहरूसँग खेल खेल्ने नियमको रूपमा सोच्नुहोस्। कम्युटेटिभ गुण भनेको आफ्ना खेलौनाहरूलाई शेल्फमा पुन: व्यवस्थित गर्नु जस्तै हो। तपाईंले तिनीहरूलाई कसरी लाइनमा राख्नुभयो भने पनि, खेलौनाहरूको कुल संख्या उस्तै रहन्छ। सहयोगी गुण भनेको आफ्ना साथीहरूसँग बाँड्नु अघि आफ्ना खाजाहरूलाई समूहबद्ध गर्नु जस्तै हो। तपाईंले कुन खाजाहरूलाई एकसाथ समूहबद्ध गर्नुहुन्छ भन्ने कुराले फरक पार्दैन - अन्तिम हिस्सा सधैं उस्तै हुन्छ।
यी विचारहरू धेरै शक्तिशाली छन्। जब तपाईंले थप्नको लागि संख्याहरूको लामो सूची देख्नुहुन्छ, तपाईं समस्यालाई साना, सजिलो भागहरूमा विभाजन गर्न कम्युटेटिभ र एसोसिएटिभ गुणहरू प्रयोग गर्न सक्नुहुन्छ। यसले तपाईंको कामलाई छिटो र कम तनावपूर्ण बनाउँछ।
कल्पना गर्नुहोस् तपाईं भवन ब्लकहरूसँग खेल्दै हुनुहुन्छ। प्रत्येक ब्लकमा एउटा संख्या हुन्छ। तपाईं आफ्नो ब्लकहरूमा रहेका संख्याहरूको कुल जान्न चाहनुहुन्छ। कहिलेकाहीँ, ब्लकहरूलाई फरक-फरक क्रममा वा फरक-फरक समूहहरूमा थप्दा सुरुमा भ्रमित लाग्न सक्छ। तर जब तपाईंलाई कम्युटेटिभ गुण याद आउँछ, तपाईं कुनै पनि समस्या बिना ब्लकहरूको क्रम परिवर्तन गर्न सक्नुहुन्छ। र, जब तपाईंलाई सहयोगी गुण याद आउँछ, तपाईं ब्लकहरूलाई आफूले चाहेको कुनै पनि तरिकाले समूहबद्ध गर्न सक्नुहुन्छ। तपाईंले यो कसरी गर्नुभयो भन्ने कुराले फरक पार्दैन, तपाईंको ब्लकहरूमा रहेका कुल संख्या ठ्याक्कै उस्तै रहन्छ।
तपाईंले आफ्नो रंगीन मार्बलहरूको सङ्कलन क्रमबद्ध गर्दा यो देख्न सक्नुहुन्छ। तपाईं केही मार्बलहरू सँगै गणना गर्न सक्नुहुन्छ र त्यसपछि अरूहरू गणना गर्न सक्नुहुन्छ, वा तपाईं विभिन्न समूहहरू मिलाउन सक्नुहुन्छ। जोडको नियमहरूले ग्यारेन्टी दिन्छ कि योगफल दुवै तरिकाले सही हुनेछ। गणितमा सुरु गर्ने जो कोहीको लागि यो धेरै आश्वस्त पार्ने विचार हो।
यसको बारेमा सोच्ने अर्को रमाइलो तरिका भनेको तपाईं फलफूलको सलाद बनाउँदै हुनुहुन्छ भन्ने कल्पना गर्नु हो। तपाईं कुनै पनि क्रममा स्याउ, केरा र स्ट्रबेरी थप्न सक्नुहुन्छ, वा केही फलफूलहरूलाई एकसाथ समूहबद्ध गर्न सक्नुहुन्छ र त्यसपछि तिनीहरूलाई कचौरामा थप्न सक्नुहुन्छ। जे भए पनि, तपाईंसँग अझै पनि उही फलफूलको सलाद छ। कम्युटेटिभ गुणले तपाईंलाई क्रम परिवर्तन गर्न दिन्छ (स्याउ, केरा, त्यसपछि स्ट्रबेरी वा स्ट्रबेरी, स्याउ, त्यसपछि केरा) र सहयोगी गुणले तपाईंलाई कुन फलहरू पहिले एकसाथ मिसाउने भनेर निर्णय गर्न दिन्छ। प्रत्येक अवस्थामा, तपाईंले फलको कुल मात्रा उस्तै पाउनुहुन्छ।
यी गुणहरूले पछि ठूला संख्याहरूको बारेमा सोच्दा पनि मद्दत गर्छन्। यद्यपि हामी आज सरल संख्याहरू प्रयोग गरिरहेका छौं, उही नियमहरू ठूला संख्याहरूको लागि पनि काम गर्छन्। यसले गणित सिक्न रमाइलो बनाउँछ किनभने तपाईंले युवा हुँदा सिकेका नियमहरू तपाईं बूढो हुँदै जाँदा र थप जटिल समस्याहरूको सामना गर्दै जाँदा तपाईंलाई पछ्याउनेछन्।
जब तपाईं पैसा गणना गर्दै हुनुहुन्छ, तपाईंसँग कति स्टिकरहरू छन् भनेर योजना बनाउँदै हुनुहुन्छ, वा भान्सामा मद्दत गर्दै हुनुहुन्छ, तपाईं प्रायः चीजहरू सँगै थप्नुहुन्छ। कम्युटेटिभ गुणले तपाईंलाई बताउँछ कि तपाईंले एउटा वस्तुको मूल्य अर्को भन्दा पहिले थप्नुभयो भने फरक पर्दैन - कुल उस्तै रहन्छ। उदाहरणका लागि, यदि तपाईं ५ डलरमा खेलौना र ७ डलरमा किताब किन्दै हुनुहुन्छ भने, तपाईं तिनीहरूलाई \(5+7\) वा \(7+5\) को रूपमा थप्न सक्नुहुन्छ। कुनै पनि तरिकाले, तपाईंले १२ डलर खर्च गर्नुहुन्छ।
सहयोगी गुणले पनि त्यस्तै काम गर्छ। जब तपाईं आफ्नो खाजा प्याक गर्नुहुन्छ, तपाईं विभिन्न खाद्य वस्तुहरू सँगै राख्न सक्नुहुन्छ। तपाईं तिनीहरूलाई कुनै पनि क्रममा समूहबद्ध गर्न सक्नुहुन्छ। यदि तपाईंसँग ३ वटा स्यान्डविच, २ वटा स्याउ र ४ वटा केरा छन् भने, तपाईं पहिले स्यान्डविच र स्याउ थप्न सक्नुहुन्छ र त्यसपछि केरा थप्न सक्नुहुन्छ। वा तपाईं पहिले स्याउ र केरा थप्न सक्नुहुन्छ र त्यसपछि स्यान्डविच थप्न सक्नुहुन्छ। खाद्य वस्तुहरूको कुल संख्या सधैं ९ हुनेछ। यी गुणहरू प्रयोग गर्नाले तपाईंलाई चीजहरू छिटो थप्न र यदि तपाईं निश्चित हुनुहुन्न भने आफ्नो काम जाँच गर्न मद्दत गर्न सक्छ।
खेल र पजलहरूमा पनि, यी गुणहरू धेरै उपयोगी छन्। धेरै पजलहरूले तपाईंलाई विभिन्न तरिकाले संख्याहरू संयोजन गर्न आग्रह गर्छन्। यदि तपाईंले बुझ्नुभयो कि तपाईं संख्याहरूलाई आफूले चाहेअनुसार मिलाउन र समूहबद्ध गर्न सक्नुहुन्छ भने, तपाईं पजलहरू छिटो समाधान गर्न सक्नुहुन्छ र गणितसँग बढी रमाइलो गर्न सक्नुहुन्छ। प्रत्येक पटक जब तपाईं यी गुणहरू प्रयोग गर्नुहुन्छ, तपाईं आफ्नो सोच्ने सीपलाई चंचल र रचनात्मक तरिकाले तिखार्दै हुनुहुन्छ।
यस पाठमा, हामीले सिक्यौं कि जोड भनेको संख्याहरूलाई एकसाथ राख्नु हो। कम्युटेटिभ गुणले हामीलाई देखाउँछ कि संख्याहरूको क्रमले उत्तर परिवर्तन गर्दैन। उदाहरणका लागि, तपाईंले \(4+7\) वा \(7+4\) लेखे पनि, परिणाम उस्तै हुन्छ। सहयोगी गुणले हामीलाई बताउँछ कि तीन वा बढी संख्याहरू थप्दा, तपाईंले संख्याहरूलाई कसरी समूहबद्ध गर्नुहुन्छ भन्ने कुराले फरक पार्दैन। तपाईंले \((2+3)+5\) वा \(2+(3+5)\) गणना गर्नुभयो भने पनि, योगफल अपरिवर्तित रहन्छ।
यी दुई गुणहरू गणितलाई सजिलो र रमाइलो बनाउन धेरै उपयोगी छन्। तिनीहरूले तपाईंलाई संख्याहरू सँगै जोड्दा क्रम वा समूह परिवर्तन गर्न अनुमति दिन्छन्। यो विचार कक्षाकोठामा मात्र होइन तर दैनिक जीवनमा पनि उपयोगी छ। जब तपाईं आफ्ना खेलौनाहरू गणना गर्नुहुन्छ, आफ्ना खाजाहरू बाँड्नुहुन्छ, वा किनमेलमा मद्दत गर्नुहुन्छ, तपाईंले थाहा नपाई पनि यी गुणहरू प्रयोग गरिरहनुभएको छ।
सम्झनुहोस्, गणित चुनौतीपूर्ण समस्याहरूलाई सरल बनाउन सक्ने उपयोगी नियमहरूले भरिएको छ। कम्युटेटिभ र एसोसिएटिभ गुणहरू तपाईंको गणित उपकरण बक्समा साना उपकरणहरू जस्तै हुन्। एकपटक तपाईंले तिनीहरूले कसरी काम गर्छन् भनेर सिक्नुभएपछि, तपाईं तिनीहरूलाई छिटो र आत्मविश्वासका साथ समस्याहरू समाधान गर्न प्रयोग गर्न सक्नुहुन्छ। अभ्यासको साथ र तपाईंको वरपरको संसारमा यी गुणहरू याद गरेर, तपाईं एक बलियो र अधिक आत्मविश्वासी गणितज्ञ बन्नुहुनेछ।
सम्झनु पर्ने मुख्य बुँदाहरू:
यी गुणहरू प्रयोग गरेर, तपाईंले संख्याहरूको क्रम वा समूह परिवर्तन गरे पनि, तपाईं आफ्ना उत्तरहरू सही छन् भनी निश्चित गर्न सक्नुहुन्छ। यी नियमहरूलाई ध्यानमा राख्नुहोस्, र तपाईंले पाउनुहुनेछ कि जोड्नु सजिलो मात्र होइन तर धेरै रमाइलो पनि छ!
अब तपाईंले जोडको कम्युटेटिभ र एसोसिएटिभ गुणहरू जान्नु भएको छ, तपाईंले संख्याहरूसँग काम गर्ने शक्तिशाली उपकरणहरू सिक्नुभएको छ। थप गणित र दैनिक समस्याहरूको अन्वेषण गर्दै यी उपकरणहरू प्रयोग गरेर आनन्द लिनुहोस्। सम्झनुहोस्, गणितको जादू यो हो कि यो सधैं सत्य रहन्छ, तपाईंले यसलाई कसरी हेर्नुभयो भन्ने कुराले फरक पार्दैन।
