Dzisiaj poznamy dwie bardzo pomocne zasady matematyki. Zasady te nazywane są własnością łączności i przemiennością dodawania. Mówią nam, że gdy dodajemy liczby, możemy zmienić kolejność lub grupowanie liczb i nadal uzyskać tę samą odpowiedź. Ta lekcja wyjaśni te idee prostym językiem z jasnymi przykładami, aby każdy mógł je zrozumieć, nawet jeśli dopiero zaczynasz uczyć się matematyki.
Dodawanie jest jedną z najważniejszych części matematyki. Kiedy dodajesz liczby, łączysz je razem, aby dowiedzieć się, ile ich jest naraz. Pomyśl o tym jak o składaniu elementów układanki. Na przykład, jeśli masz kilka jabłek i dostaniesz kilka więcej, dodajesz je razem, aby zobaczyć, ile masz w sumie jabłek. W naszym codziennym życiu dodawanie pomaga nam liczyć zabawki, cukierki, ołówki i wiele innych rzeczy.
Przemienność dodawania mówi nam, że kolejność dodawania dwóch liczb nie zmienia wyniku. Oznacza to, że zamiana liczb daje tę samą sumę. Wyobraź sobie, że masz 2 cukierki, a potem dostajesz 3 kolejne. Niezależnie od tego, czy najpierw policzysz 2, a potem 3, czy najpierw 3, a potem 2, nadal będziesz mieć 5 cukierków.
Własność przemienną można zapisać w następujący sposób:
\(\textrm{Dla dowolnych liczb } a \textrm{ I } b, \, a+b = b+a\) .
Ta zasada jest bardzo przydatna, gdy liczysz małe liczby, a nawet duże liczby, ponieważ pokazuje, że kolejność nie ma znaczenia. To tak, jakby powiedzieć, że bez względu na to, w którą stronę położysz zabawki na podłodze, liczba zabawek pozostanie taka sama.
Własność asocjacyjna dodawania mówi nam, że gdy dodajemy trzy lub więcej liczb do siebie, sposób ich grupowania nie wpływa na ostateczną sumę. Oznacza to, że jeśli dodasz do siebie jakieś liczby, możesz najpierw zgrupować dowolne dwie z nich, a następnie dodać trzecią, a odpowiedź będzie dokładnie taka sama.
Można to zobaczyć na przykładzie:
\(\textrm{Dla dowolnych liczb } a, b, \textrm{ I } c, \, (a+b)+c = a+(b+c)\) .
Wyobraź sobie, że masz miskę owoców. Możesz mieć 1 jabłko, 2 banany i 3 pomarańcze. Możesz najpierw dodać jabłka i banany, a następnie dodać pomarańcze. Albo możesz najpierw dodać banany i pomarańcze, a następnie dodać jabłko. Tak czy inaczej, całkowita liczba owoców jest taka sama.
Dodawanie polega na sumowaniu. Kiedy dodajesz, łączysz liczby. Czasami możesz uznać, że łatwiej jest liczyć, zmieniając kolejność liczb. Prawo przemienności pokazuje, że nie ma znaczenia, czy dodasz 3 + 5 czy 5 + 3, ponieważ oba równają się 8.
Własność asocjacyjna daje Ci swobodę w grupowaniu liczb. Wyobraź sobie, że masz trzy stosy bloków. Możesz policzyć bloki w pierwszych dwóch stosach, a następnie dodać bloki w trzecim stosie. Możesz też policzyć bloki w ostatnich dwóch stosach, a następnie dodać bloki w pierwszym stosie. W obu przypadkach otrzymasz tę samą liczbę. To ułatwia matematykę, ponieważ możesz wybrać grupowanie, które wydaje się najprostsze.
Obie zasady pomagają myśleć o liczbach w elastyczny sposób. Pokazują, że nawet jeśli zmienisz coś, matematyka pozostanie taka sama. Jest to bardzo ważne, ponieważ oznacza to, że możesz znaleźć różne sposoby rozwiązania problemu i zawsze wiedzieć, że Twoja odpowiedź jest poprawna.
Problem: Dodaj 4 i 7, korzystając z własności przemienności.
Krok 1: Zapisz wynik dodawania w jego oryginalnej formie: \(4 + 7\) .
Krok 2: Zmień kolejność liczb: \(7 + 4\) .
Krok 3: Oblicz oba wyrażenia. Mamy:
Ponieważ oba sposoby dają odpowiedź 11, własność przemienności działa!
Problem: Rozwiąż problem dodawania \((2+3)+5\) i pokaż, że jest on taki sam jak \(2+(3+5)\) .
Krok 1: Dodaj pierwsze dwie liczby w grupie \((2+3)\) :
Krok 2: Teraz dodaj wynik do 5:
Grupowanie alternatywne: Teraz spróbuj dodać inne grupowanie: \(2+(3+5)\) .
Krok 3: Najpierw dodaj \(3+5\) :
Krok 4: Teraz dodaj wynik do 2:
Obie grupy dają nam 10. To pokazuje, że własność asocjacyjna działa, ponieważ \((2+3)+5 = 2+(3+5)\) .
Zadanie: Rozwiąż zadanie \(1+(4+6)\) korzystając z własności przemienności i łączności.
Krok 1: Najpierw rozwiąż wewnętrzną część nawiasów: \(4+6\) :
Krok 2: Teraz dodaj 1 do wyniku:
Alternatywna metoda: Użyj innego grupowania, zmieniając kolejność. Pomyśl o tym jako \((1+4)+6\) .
Krok 3: Najpierw oblicz \(1+4\) :
Krok 4: Następnie do wyniku dodaj 6:
Oba sposoby dają tę samą odpowiedź: 11. Pokazuje to, jak własności przemienności i łączności współdziałają, ułatwiając dodawanie.
Pomysły własności przemiennych i łącznych nie są tylko do szkoły — są bardzo przydatne w naszym życiu codziennym. Kiedy liczysz rzeczy, takie jak zabawki lub przekąski, te zasady pomagają Ci dodawać szybciej i z mniejszymi obawami o kolejność lub grupowanie.
Wyobraź sobie, że nakrywasz do stołu na lunch. Musisz policzyć talerze, widelce i łyżki. Nie ma znaczenia, czy policzysz widelce przed łyżkami, czy łyżki najpierw — własność przemienności mówi ci, że całkowita liczba sztuk będzie taka sama.
Innym przykładem jest sytuacja, gdy dzielisz się cukierkami ze znajomymi. Załóżmy, że masz 3 cukierki, 4 cukierki i 2 cukierki z różnych misek. Własność asocjacyjna daje Ci swobodę dodawania cukierków z dwóch dowolnych misek, a następnie dodawania trzeciej. Niezależnie od tego, czy dodasz (3+4)+2 czy 3+(4+2), nadal otrzymasz tę samą sumę.
To samo dotyczy sklepu spożywczego. Kiedy dodajesz cenę różnych owoców lub warzyw, możesz dodać je w dowolnej kolejności lub pogrupować je w sposób, który ułatwia obliczenia. Nie zmienia to całkowitego kosztu. Te właściwości sprawiają, że wiele codziennych obliczeń jest prostych i szybkich.
Zrozumienie tych właściwości pomaga zbudować solidne podstawy dla wielu typów problemów matematycznych, które będziesz rozwiązywać w przyszłości. Są jak małe skróty, które pozwalają Ci przestawiać liczby w sposób łatwiejszy do obliczenia. Kiedy uczysz się i używasz tych właściwości, zaczynasz dostrzegać wzorce w liczbach i rozwijasz lepszy sposób myślenia o matematyce.
Wyobraź sobie te właściwości jako zasady gry z liczbami. Własność przemienna jest jak przestawianie zabawek na półce. Bez względu na to, jak je ustawisz, całkowita liczba zabawek pozostaje taka sama. Własność asocjacyjna jest jak grupowanie przekąsek przed podzieleniem się nimi ze znajomymi. Nie ma znaczenia, które przekąski zgrupujesz — końcowy podział jest zawsze taki sam.
Te pomysły są bardzo potężne. Nawet gdy widzisz długą listę liczb do dodania, możesz użyć własności przemiennych i łącznych, aby rozbić problem na mniejsze, łatwiejsze części. Dzięki temu Twoja praca będzie szybsza i mniej stresująca.
Wyobraź sobie, że bawisz się klockami. Każdy klocek ma na sobie liczbę. Chcesz poznać sumę liczb na swoich klockach. Czasami dodawanie bloków w różnych kolejnościach lub w różnych grupach może wydawać się na początku mylące. Ale gdy przypomnisz sobie własność przemienności, możesz zmienić kolejność bloków bez żadnych problemów. A gdy przypomnisz sobie własność łączności, możesz grupować bloki w dowolny sposób. Bez względu na to, jak to zrobisz, suma liczb na Twoich blokach pozostanie dokładnie taka sama.
Możesz to zobaczyć, sortując swoją kolekcję kolorowych kulek. Możesz policzyć niektóre kulki razem, a następnie policzyć inne, lub możesz wymieszać różne grupy. Zasady dodawania gwarantują, że suma będzie poprawna w obu przypadkach. To bardzo uspokajający pomysł dla każdego, kto zaczyna przygodę z matematyką.
Innym zabawnym sposobem na myślenie o tym jest wyobrażenie sobie, że robisz sałatkę owocową. Możesz dodać jabłka, banany i truskawki w dowolnej kolejności lub pogrupować owoce razem, a następnie dodać je do miski. Tak czy inaczej, nadal masz tę samą sałatkę owocową. Własność przemienna pozwala zmienić kolejność (jabłka, banany, następnie truskawki lub truskawki, jabłka, następnie banany), a własność asocjacyjna pozwala zdecydować, które owoce najpierw wymieszać. W każdym przypadku otrzymujesz taką samą całkowitą ilość owoców.
Te właściwości pomagają również, gdy później myślisz o większych liczbach. Chociaż dzisiaj używamy prostych liczb, te same zasady działają również w przypadku większych liczb. Dzięki temu nauka matematyki staje się zabawna, ponieważ zasady, których uczysz się, gdy jesteś młody, będą towarzyszyć ci, gdy będziesz starszy i będziesz stawiać czoła bardziej złożonym problemom.
Kiedy liczysz pieniądze, planujesz, ile masz naklejek, a nawet kiedy pomagasz w kuchni, często dodajesz rzeczy do siebie. Własność przemienna mówi ci, że nie ma znaczenia, czy dodasz koszt jednej rzeczy przed drugą — suma pozostaje taka sama. Na przykład, jeśli kupujesz zabawkę za 5 dolarów i książkę za 7 dolarów, możesz dodać je jako \(5+7\) lub \(7+5\) . Tak czy inaczej, wydajesz 12 dolarów.
Podobnie działa własność asocjacyjna. Kiedy pakujesz lunch, możesz połączyć różne produkty spożywcze. Możesz je grupować w dowolnej kolejności. Jeśli masz 3 kanapki, 2 jabłka i 4 banany, możesz najpierw dodać kanapki i jabłka, a następnie banany. Możesz też najpierw dodać jabłka i banany, a następnie kanapki. Całkowita liczba produktów spożywczych zawsze będzie wynosić 9. Korzystanie z tych własności może pomóc Ci szybko dodawać rzeczy i sprawdzać swoją pracę, jeśli nie jesteś pewien.
Nawet w grach i łamigłówkach te właściwości są bardzo przydatne. Wiele łamigłówek wymaga łączenia liczb na różne sposoby. Jeśli zrozumiesz, że możesz mieszać i grupować liczby w dowolny sposób, możesz szybciej rozwiązywać łamigłówki i mieć więcej zabawy z matematyką. Za każdym razem, gdy używasz tych właściwości, wyostrzasz swoje umiejętności myślenia w zabawny i kreatywny sposób.
W tej lekcji dowiedzieliśmy się, że dodawanie polega na łączeniu liczb. Własność przemienna pokazuje nam, że kolejność liczb nie zmienia odpowiedzi. Na przykład, niezależnie od tego, czy napiszesz \(4+7\) czy \(7+4\) , wynik będzie taki sam. Własność asocjacyjna mówi nam, że podczas dodawania trzech lub więcej liczb, sposób grupowania liczb nie ma znaczenia. Niezależnie od tego, czy obliczysz \((2+3)+5\) czy \(2+(3+5)\) , suma pozostaje niezmieniona.
Te dwie właściwości są bardzo pomocne w uczynieniu matematyki łatwą i przyjemną. Pozwalają zmienić kolejność lub grupowanie liczb, gdy je dodasz. Ta idea jest przydatna nie tylko w klasie, ale także w życiu codziennym. Za każdym razem, gdy liczysz zabawki, dzielisz się przekąskami lub pomagasz w zakupach, korzystasz z tych właściwości, nawet o tym nie wiedząc.
Pamiętaj, że matematyka jest pełna pomocnych reguł, które mogą uprościć trudne problemy. Własności przemienne i łączne są jak małe narzędzia w Twoim zestawie narzędzi matematycznych. Gdy nauczysz się, jak działają, możesz ich używać do szybkiego i pewnego rozwiązywania problemów. Dzięki praktyce i zauważaniu tych własności w otaczającym Cię świecie staniesz się silniejszym i bardziej pewnym siebie matematykiem.
Najważniejsze punkty, o których należy pamiętać:
Korzystając z tych właściwości, możesz być pewien, że Twoje odpowiedzi są poprawne, niezależnie od tego, czy zmienisz kolejność lub grupowanie liczb. Pamiętaj o tych zasadach, a przekonasz się, że dodawanie jest nie tylko łatwe, ale także sprawia mnóstwo frajdy!
Teraz, gdy znasz przemienne i łączne właściwości dodawania, poznałeś potężne narzędzia do pracy z liczbami. Ciesz się korzystaniem z tych narzędzi, jednocześnie poznając więcej matematyki i codziennych problemów. Pamiętaj, że magia matematyki polega na tym, że zawsze pozostaje prawdziwa, bez względu na to, jak na nią patrzysz.
