Sot do të mësojmë dy rregulla shumë të dobishme në matematikë. Këto rregulla quhen vetia asociative dhe vetia komutative e mbledhjes. Ato na tregojnë se kur mbledhim numra, mund të ndryshojmë rendin ose grupimin e numrave dhe prapë të marrim të njëjtën përgjigje. Ky mësim do t'i shpjegojë këto ide në gjuhë të thjeshtë me shembuj të qartë në mënyrë që të gjithë të mund t'i kuptojnë, edhe nëse sapo keni filluar të mësoni matematikë.
Mbledhja është një nga pjesët më të rëndësishme të matematikës. Kur mbledh numra, po i bashkon ata për të gjetur se sa janë të gjithë njëherësh. Mendojeni si të bashkosh pjesët e një enigme. Për shembull, nëse ke disa mollë dhe merr edhe disa të tjera, i mbledh ato për të parë se sa mollë ke gjithsej. Në jetën tonë të përditshme, mbledhja na ndihmon të numërojmë lodrat, karamelet, lapsat dhe shumë gjëra të tjera.
Vetia komutative e mbledhjes na tregon se rendi me të cilin mblidhni dy numra nuk e ndryshon rezultatin. Kjo do të thotë që ndërrimi i numrave jep të njëjtën shumë. Imagjinoni që keni 2 karamele dhe pastaj merrni 3 karamele të tjera. Pavarësisht nëse numëroni fillimisht 2 dhe pastaj 3, ose fillimisht 3 dhe pastaj 2, prapë do të keni 5 karamele.
Mund ta shkruani vetinë komutative si kjo:
\(\textrm{Për çdo numër } a \textrm{ dhe } b, \, a+b = b+a\) .
Ky rregull është shumë i dobishëm kur numëroni numra të vegjël ose edhe numra të mëdhenj, sepse ju tregon se rendi nuk ka rëndësi. Është si të thuash që pavarësisht se në cilën mënyrë i vendosni lodrat në dysheme, numri i lodrave mbetet i njëjtë.
Vetia asociative e mbledhjes na tregon se kur mbledhim tre ose më shumë numra së bashku, mënyra se si i grupojmë ata nuk ndikon në shumën përfundimtare. Kjo do të thotë që nëse mbledh disa numra së bashku, mund të gruposh dy prej tyre së pari dhe pastaj të shtosh të tretin më vonë, dhe përgjigja do të jetë saktësisht e njëjtë.
Mund ta shihni këtë me një shembull:
\(\textrm{Për çdo numër } a, b, \textrm{ dhe } c, \, (a+b)+c = a+(b+c)\) .
Imagjinoni sikur keni një tas me fruta. Mund të keni 1 mollë, 2 banane dhe 3 portokalle. Së pari mund të shtoni mollët dhe bananet, dhe pastaj të shtoni portokallet. Ose së pari mund të shtoni bananet dhe portokallet, dhe pastaj të shtoni mollën. Sidoqoftë, numri total i frutave është i njëjtë.
Mbledhja ka të bëjë me nxjerrjen e shumave. Kur mbledhni, ju bashkoni numrat. Ndonjëherë, mund ta keni më të lehtë të numëroni duke ndryshuar rendin e numrave. Vetia komutative ju tregon se nuk ka rëndësi nëse mblidhni 3 + 5 ose 5 + 3 sepse të dyja janë të barabarta me 8.
Vetia asociative ju jep liri në grupimin e numrave. Imagjinoni sikur keni tre grumbuj blloqesh. Mund t’i numëroni blloqet në dy grumbujt e parë dhe pastaj t’i mblidhni blloqet në grumbullin e tretë. Ose mund t’i numëroni blloqet në dy grumbujt e fundit dhe pastaj t’i mblidhni blloqet në grumbullin e parë. Sidoqoftë, do të merrni të njëjtin total. Kjo e bën matematikën më të lehtë sepse mund të zgjidhni grupimin që ju duket më i thjeshtë.
Të dyja rregullat të ndihmojnë të mendosh për numrat në një mënyrë fleksibile. Ato të tregojnë se edhe nëse ndryshon gjërat, llogaritjet mbeten të njëjta. Kjo është shumë e rëndësishme sepse do të thotë që mund të gjesh mënyra të ndryshme për të zgjidhur një problem dhe gjithmonë të dish që përgjigjja jote është e saktë.
Problem: Mblidhni 4 dhe 7 duke përdorur vetinë komutative.
Hapi 1: Shkruani mbledhjen në formën e saj origjinale: \(4 + 7\) .
Hapi 2: Ndërroni rendin e numrave: \(7 + 4\) .
Hapi 3: Llogaritni të dy shprehjet. Ne kemi:
Meqenëse të dyja mënyrat japin përgjigjen 11, vetia komutative funksionon!
Problem: Zgjidhni problemin e mbledhjes \((2+3)+5\) dhe tregoni se është i njëjtë me \(2+(3+5)\) .
Hapi 1: Mblidhni dy numrat e parë në grupimin \((2+3)\) :
Hapi 2: Tani shtoni rezultatin te 5:
Grupim alternativ: Tani provoni të shtoni një grupim të ndryshëm: \(2+(3+5)\) .
Hapi 3: Së pari mblidhni \(3+5\) :
Hapi 4: Tani shtoni rezultatin te 2:
Të dy grupimet na japin 10. Kjo tregon se vetia asociative funksionon sepse \((2+3)+5 = 2+(3+5)\) .
Problem: Zgjidhni problemin \(1+(4+6)\) duke përdorur si vetitë komutative ashtu edhe ato asociative.
Hapi 1: Së pari zgjidhni pjesën brenda kllapave: \(4+6\) :
Hapi 2: Tani shtoni 1 në rezultat:
Metoda alternative: Përdorni një grupim të ndryshëm duke ndryshuar rendin. Mendojeni si \((1+4)+6\) .
Hapi 3: Së pari llogaritni \(1+4\) :
Hapi 4: Pastaj shtoni 6 në rezultat:
Të dyja mënyrat japin të njëjtën përgjigje: 11. Kjo tregon se si vetitë komutative dhe asociative punojnë së bashku për ta bërë mbledhjen më të lehtë.
Idetë e vetive komutative dhe asociative nuk janë vetëm për shkollën - ato janë shumë të dobishme në jetën tonë të përditshme. Kur numëroni gjëra, si lodrat ose ushqimet tuaja, këto rregulla ju ndihmojnë të shtoni më shpejt dhe me më pak shqetësim për rendin ose grupimin.
Imagjino sikur po shtron tryezën për drekë. Duhet të numërosh pjatat, pirunët dhe lugët. Nuk ka rëndësi nëse i numëron pirunët përpara lugëve apo lugët së pari - vetia komutative të tregon se numri i përgjithshëm i copave do të jetë i njëjtë.
Një shembull tjetër është kur ndani karamele me miqtë tuaj. Supozoni se keni 3 karamele, 4 karamele dhe 2 karamele nga tasa të ndryshme. Vetia asociative ju jep lirinë për të mbledhur fillimisht karamelet nga çdo dy tasa dhe pastaj për të shtuar të tretin. Pavarësisht nëse shtoni (3+4)+2 ose 3+(4+2), ju prapë merrni të njëjtin total.
Kjo është e vërtetë edhe në dyqanin ushqimor. Kur shtoni çmimin e frutave ose perimeve të ndryshme, mund të zgjidhni t'i shtoni ato në çdo renditje ose t'i gruponi në një mënyrë që e bën llogaritjen më të lehtë. Kjo nuk e ndryshon koston totale. Këto veti i bëjnë shumë llogaritje të përditshme të thjeshta dhe të shpejta.
Të kuptuarit e këtyre vetive ndihmon në ndërtimin e një baze të fortë për shumë lloje problemesh matematikore që do të zgjidhni në të ardhmen. Ato janë si shkurtesa të vogla që ju lejojnë të rirregulloni numrat në mënyra që janë më të lehta për t'u llogaritur. Kur i mësoni dhe i përdorni këto veti, filloni të shihni modele në numra dhe zhvilloni një mënyrë më të mirë të të menduarit rreth matematikës.
Mendojini këto veti si rregulla për të luajtur një lojë me numra. Vetia komutative është si të rirregullosh lodrat në një raft. Pavarësisht se si i rreshton, numri i përgjithshëm i lodrave mbetet i njëjtë. Vetia asociative është si të gruposh ushqimet e lehta para se t'i ndash me miqtë. Nuk ka rëndësi se cilat ushqime i grupon së bashku - ndarja përfundimtare është gjithmonë e njëjtë.
Këto ide janë shumë të fuqishme. Edhe kur shihni një listë të gjatë numrash për t'u mbledhur, mund të përdorni vetitë komutative dhe asociative për ta ndarë problemin në pjesë më të vogla dhe më të lehta. Kjo e bën punën tuaj më të shpejtë dhe më pak stresuese.
Imagjinoni sikur po luani me blloqe ndërtimi. Çdo bllok ka një numër mbi të. Ju doni të dini totalin e numrave në blloqet tuaja. Ndonjëherë, mbledhja e blloqeve në renditje të ndryshme ose në grupe të ndryshme mund të duket konfuze në fillim. Por kur mbani mend vetinë komutative, mund ta ndryshoni rendin e blloqeve pa asnjë problem. Dhe, kur mbani mend vetinë asociative, mund t'i gruponi blloqet në çdo mënyrë që dëshironi. Pavarësisht se si e bëni, numri total në blloqet tuaja mbetet saktësisht i njëjtë.
Mund ta shihni këtë kur renditni koleksionin tuaj të topave shumëngjyrësh. Mund të numëroni disa topa së bashku dhe pastaj të numëroni të tjerët, ose mund të përzieni grupe të ndryshme. Rregullat e mbledhjes garantojnë që totali do të jetë i saktë në të dyja rastet. Është një ide shumë qetësuese për këdo që fillon të mësojë matematikë.
Një mënyrë tjetër argëtuese për ta menduar është duke imagjinuar sikur po bëni një sallatë frutash. Mund të shtoni mollë, banane dhe luleshtrydhe në çfarëdo renditjeje, ose të gruponi disa fruta së bashku dhe pastaj t'i shtoni në tas. Sidoqoftë, do të keni ende të njëjtën sallatë frutash. Vetia komutative ju lejon të ndryshoni renditjen (mollë, banane, pastaj luleshtrydhe ose luleshtrydhe, mollë, pastaj banane) dhe vetia asociative ju lejon të vendosni se cilat fruta t'i përzieni së pari. Në çdo rast, merrni të njëjtën sasi totale frutash.
Këto veti ndihmojnë gjithashtu kur mendoni për numra më të mëdhenj më vonë. Edhe pse sot përdorim numra të thjeshtë, të njëjtat rregulla funksionojnë edhe për numrat më të mëdhenj. Kjo e bën të mësuarit e matematikës argëtues sepse rregullat që mësoni kur jeni të rinj do t'ju ndjekin ndërsa rriteni dhe përballeni me probleme më komplekse.
Kur numëroni paratë, planifikoni sa ngjitëse keni, apo edhe kur ndihmoni në kuzhinë, shpesh i mbledhni gjërat së bashku. Vetia komutative ju tregon se nuk ka rëndësi nëse shtoni koston e një artikulli para një tjetri - totali mbetet i njëjtë. Për shembull, nëse blini një lodër për 5 dollarë dhe një libër për 7 dollarë, mund t'i mblidhni ato si \(5+7\) ose \(7+5\) . Sidoqoftë, shpenzoni 12 dollarë.
Vetia asociative funksionon në mënyrë të ngjashme. Kur paketoni drekën, mund të bashkoni ushqime të ndryshme. Mund t’i gruponi ato në çdo renditje. Nëse keni 3 sanduiçe, 2 mollë dhe 4 banane, mund t’i shtoni së pari sanduiçët dhe mollët dhe pastaj bananet. Ose mund të shtoni së pari mollët dhe bananet dhe pastaj sanduiçët. Numri total i ushqimeve do të jetë gjithmonë 9. Përdorimi i këtyre vetive mund t’ju ndihmojë të mblidhni gjërat shpejt dhe të kontrolloni punën tuaj nëse nuk jeni të sigurt.
Edhe në lojëra dhe enigma, këto veti janë shumë të dobishme. Shumë enigma ju kërkojnë të kombinoni numrat në mënyra të ndryshme. Nëse e kuptoni se mund t’i përzieni dhe gruponi numrat si të dëshironi, mund t’i zgjidhni enigmat më shpejt dhe të argëtoheni më shumë me matematikën. Sa herë që përdorni këto veti, po i mprehni aftësitë tuaja të të menduarit në një mënyrë të gjallë dhe krijuese.
Në këtë mësim, mësuam se mbledhja ka të bëjë me bashkimin e numrave. Vetia komutative na tregon se rendi i numrave nuk e ndryshon përgjigjen. Për shembull, pavarësisht nëse shkruani \(4+7\) ose \(7+4\) , rezultati është i njëjtë. Vetia asociative na tregon se kur mblidhni tre ose më shumë numra, mënyra se si i gruponi numrat nuk ka rëndësi. Pavarësisht nëse llogaritni \((2+3)+5\) ose \(2+(3+5)\) , shuma mbetet e pandryshuar.
Këto dy veti janë shumë të dobishme për ta bërë matematikën të lehtë dhe argëtuese. Ato ju lejojnë të ndryshoni rendin ose grupimin e numrave kur i mblidhni së bashku. Kjo ide nuk është e dobishme vetëm në klasë, por edhe në jetën e përditshme. Sa herë që numëroni lodrat, ndani ushqimet e lehta ose ndihmoni me blerjet, ju i përdorni këto veti pa e ditur fare.
Mbani mend, matematika është plot me rregulla të dobishme që mund t’i bëjnë problemet sfiduese më të thjeshta. Vetitë komutative dhe asociative janë si mjete të vogla në kutinë tuaj të mjeteve të matematikës. Pasi të mësoni se si funksionojnë ato, mund t’i përdorni për të zgjidhur problemet shpejt dhe me besim. Me praktikë dhe duke i vënë re këto veti në botën përreth jush, do të bëheni një matematikan më i fortë dhe më i sigurt në vetvete.
Pikat kryesore për t'u mbajtur mend:
Duke përdorur këto veti, mund të jeni të sigurt se përgjigjet tuaja janë të sakta, pavarësisht nëse ndryshoni rendin ose grupimin e numrave. Mbani mend këto rregulla dhe do të zbuloni se mbledhja nuk është vetëm e lehtë, por edhe shumë argëtuese!
Tani që i njihni vetitë komutative dhe asociative të mbledhjes, keni mësuar mjete të fuqishme për të punuar me numra. Shijoni përdorimin e këtyre mjeteve ndërsa eksploroni më shumë matematikë dhe probleme të përditshme. Mos harroni, magjia e matematikës është se ajo mbetet gjithmonë e vërtetë, pavarësisht se si e shikoni.
