Idag ska vi lära oss två mycket användbara regler i matematik. Dessa regler kallas den associativa lagen och den kommutativa lagen för addition. De säger oss att när vi adderar tal kan vi ändra ordningen eller grupperingen av talen och fortfarande få samma svar. Den här lektionen kommer att förklara dessa idéer på ett enkelt språk med tydliga exempel så att alla kan förstå, även om du precis har börjat lära dig matematik.
Addition är en av de viktigaste delarna av matematik. När du adderar tal sätter du ihop dem för att ta reda på hur många det finns på en gång. Tänk på det som att lägga ihop pusselbitar. Om du till exempel har några äpplen och får några till, adderar du dem för att se hur många äpplen du har totalt. I vår vardag hjälper addition oss att räkna leksaker, godis, pennor och många andra saker.
Den kommutativa egenskapen för addition säger oss att ordningen i vilken du adderar två tal inte ändrar resultatet. Det betyder att om du byter talen får du samma summa. Tänk dig att du har 2 godisar och sedan får 3 godisar till. Oavsett om du räknar 2 först och sedan 3, eller 3 först och sedan 2, kommer du fortfarande att ha 5 godisar.
Du kan skriva den kommutativa egenskapen så här:
\(\textrm{För alla siffror } a \textrm{ och } b, \, a+b = b+a\) .
Den här regeln är mycket användbar när du räknar små tal eller till och med stora tal eftersom den visar att ordningen inte spelar någon roll. Det är som att säga att oavsett hur du lägger dina leksaker på golvet, så förblir antalet leksaker detsamma.
Den associativa egenskapen för addition säger oss att när vi adderar tre eller fler tal, påverkar inte sättet vi grupperar dem slutsumman. Det betyder att om du adderar några tal kan du gruppera två av dem först och sedan addera det tredje senare, och svaret blir exakt detsamma.
Du kan se detta med ett exempel:
\(\textrm{För alla siffror } a, b, \textrm{ och } c, \, (a+b)+c = a+(b+c)\) .
Tänk dig att du har en skål med frukt. Du kanske har 1 äpple, 2 bananer och 3 apelsiner. Du kan först lägga till äpplena och bananerna och sedan tillsätta apelsinerna. Eller så kan du först lägga till bananerna och apelsinerna och sedan tillsätta äpplet. Hur som helst är det totala antalet frukter detsamma.
Addition handlar om att få summor. När du adderar sätter du ihop tal. Ibland kan det vara lättare att räkna genom att ändra ordningen på talen. Den kommutativa egenskapen visar att det inte spelar någon roll om du adderar 3 + 5 eller 5 + 3 eftersom båda är lika med 8.
Den associativa egenskapen ger dig frihet att gruppera tal. Tänk dig att du har tre högar med block. Du kan räkna blocken i de två första högarna och sedan lägga till blocken i den tredje högen. Eller så kan du räkna blocken i de två sista högarna och sedan lägga till blocken i den första högen. Hur som helst får du samma summa. Detta gör matematiken enklare eftersom du kan välja den gruppering som känns enklast.
Båda reglerna hjälper dig att tänka flexibelt kring siffror. De visar dig att även om du ändrar saker och ting, så förblir matematiken densamma. Detta är mycket viktigt eftersom det innebär att du kan hitta olika sätt att lösa ett problem och alltid veta att ditt svar är rätt.
Problem: Addera 4 och 7 med hjälp av den kommutativa egenskapen.
Steg 1: Skriv additionen i dess ursprungliga form: \(4 + 7\) .
Steg 2: Byt ordning på talen: \(7 + 4\) .
Steg 3: Beräkna båda uttrycken. Vi har:
Eftersom båda sätten ger svaret 11, fungerar den kommutativa egenskapen!
Problem: Lös additionsproblemet \((2+3)+5\) och visa att det är samma sak som \(2+(3+5)\) .
Steg 1: Addera de två första talen i grupperingen \((2+3)\) :
Steg 2: Lägg nu till resultatet till 5:
Alternativ gruppering: Försök nu att lägga till en annan gruppering: \(2+(3+5)\) .
Steg 3: Addera först \(3+5\) :
Steg 4: Lägg nu till resultatet till 2:
Båda grupperingarna ger oss 10. Detta visar att den associativa egenskapen fungerar eftersom \((2+3)+5 = 2+(3+5)\) .
Problem: Lös problemet \(1+(4+6)\) med hjälp av både den kommutativa och den associativa egenskapen.
Steg 1: Lös först insidan av parenteserna: \(4+6\) :
Steg 2: Lägg nu till 1:an till resultatet:
Alternativ metod: Använd en annan gruppering genom att ändra ordningen. Tänk på det som \((1+4)+6\) .
Steg 3: Beräkna först \(1+4\) :
Steg 4: Lägg sedan till 6 till resultatet:
Båda sätten ger samma svar: 11. Detta visar hur de kommutativa och associativa egenskaperna samverkar för att göra addition enklare.
Idéerna om kommutativa och associativa egenskaper är inte bara för skolan – de är mycket användbara i vår vardag. När du räknar saker, som dina leksaker eller snacks, hjälper dessa regler dig att addera snabbare och med mindre oro för ordning eller gruppering.
Tänk dig att duka bordet för lunch. Du behöver räkna tallrikar, gafflar och skedar. Det spelar ingen roll om du räknar gafflarna före skedarna eller skedarna först – den kommutativa egenskapen säger att det totala antalet bitar kommer att vara detsamma.
Ett annat exempel är när du delar godis med dina vänner. Anta att du har 3 godisar, 4 godisar och 2 godisar från olika skålar. Den associativa egenskapen ger dig friheten att först lägga till godiset från två skålar och sedan lägga till den tredje. Oavsett om du lägger till (3+4)+2 eller 3+(4+2) får du fortfarande samma summa.
Detta gäller även i mataffären. När du lägger ihop priset på olika frukter eller grönsaker kan du välja att lägga ihop dem i valfri ordning eller gruppera dem på ett sätt som gör matematiken enklare. Det ändrar inte den totala kostnaden. Dessa egenskaper gör många vardagliga beräkningar enkla och snabba.
Att förstå dessa egenskaper hjälper till att bygga en stark grund för de många typer av matematiska problem du kommer att lösa i framtiden. De är som små genvägar som låter dig ordna om tal på sätt som är enklare att beräkna. När du lär dig och använder dessa egenskaper börjar du se mönster i tal och utvecklar ett bättre sätt att tänka kring matematik.
Tänk på dessa egenskaper som regler för att spela ett spel med siffror. Den kommutativa egenskapen är som att ordna om dina leksaker på en hylla. Oavsett hur du radar upp dem förblir det totala antalet leksaker detsamma. Den associativa egenskapen är som att gruppera dina snacks innan du delar dem med dina vänner. Det spelar ingen roll vilka snacks du grupperar tillsammans – den slutliga andelen är alltid densamma.
Dessa idéer är mycket kraftfulla. Även när du ser en lång lista med tal att addera kan du använda de kommutativa och associativa egenskaperna för att dela upp problemet i mindre, enklare delar. Detta gör ditt arbete snabbare och mindre stressigt.
Tänk dig att du leker med byggklossar. Varje kloss har ett nummer. Du vill veta summan av siffrorna på dina klossar. Ibland kan det verka förvirrande att lägga ihop klossarna i olika ordning eller i olika grupper till en början. Men när du kommer ihåg den kommutativa egenskapen kan du ändra ordningen på klossarna utan problem. Och när du kommer ihåg den associativa egenskapen kan du gruppera klossarna på vilket sätt du vill. Oavsett hur du gör det förblir det totala antalet på dina klossar exakt detsamma.
Du kan se detta när du sorterar din samling av färgglada kulor. Du kan räkna några kulor tillsammans och sedan räkna andra, eller så kan du blanda olika grupper. Additionsreglerna garanterar att summan blir korrekt oavsett. Det är en mycket lugnande idé för alla som börjar med matematik.
Ett annat roligt sätt att tänka på det är att föreställa sig att du gör en fruktsallad. Du kan lägga till äpplen, bananer och jordgubbar i valfri ordning, eller gruppera några frukter och sedan lägga dem i skålen. Hur som helst har du fortfarande samma fruktsallad. Den kommutativa egenskapen låter dig ändra ordningen (äpplen, bananer, sedan jordgubbar eller jordgubbar, äpplen, sedan bananer) och den associativa egenskapen låter dig bestämma vilka frukter som ska blandas först. I varje fall får du samma totala mängd frukt.
Dessa egenskaper hjälper också när du tänker på större tal senare. Även om vi använder enkla tal idag, fungerar samma regler även för större tal. Detta gör det roligt att lära sig matematik eftersom de regler du lär dig när du är ung kommer att följa dig när du blir äldre och ställs inför mer komplexa problem.
När du räknar pengar, planerar hur många klistermärken du har, eller till och med när du hjälper till i köket, lägger du ofta ihop saker. Den kommutativa egenskapen säger att det inte spelar någon roll om du adderar kostnaden för en vara före en annan – summan förblir densamma. Om du till exempel köper en leksak för 5 dollar och en bok för 7 dollar kan du addera dem som \(5+7\) eller \(7+5\) . Hur som helst spenderar du 12 dollar.
Den associativa egenskapen fungerar på liknande sätt. När du packar din lunch kan du sätta ihop olika matvaror. Du kan gruppera dem i valfri ordning. Om du har 3 smörgåsar, 2 äpplen och 4 bananer kan du lägga till smörgåsarna och äpplena först och sedan lägga till bananerna. Eller så kan du lägga till äpplena och bananerna först och sedan lägga till smörgåsarna. Det totala antalet matvaror kommer alltid att vara 9. Att använda dessa egenskaper kan hjälpa dig att lägga ihop saker snabbt och kontrollera ditt arbete om du är osäker.
Även i spel och pussel är dessa egenskaper mycket användbara. Många pussel ber dig att kombinera tal på olika sätt. Om du förstår att du kan blanda och gruppera tal hur du vill kan du lösa pussel snabbare och ha roligare med matematik. Varje gång du använder dessa egenskaper vässar du ditt tänkande på ett lekfullt och kreativt sätt.
I den här lektionen lärde vi oss att addition handlar om att sätta ihop tal. Den kommutativa egenskapen visar oss att talens ordning inte ändrar svaret. Till exempel, oavsett om du skriver \(4+7\) eller \(7+4\) , är resultatet detsamma. Den associativa egenskapen säger oss att när man adderar tre eller fler tal spelar det ingen roll hur man grupperar talen. Oavsett om du beräknar \((2+3)+5\) eller \(2+(3+5)\) , förblir summan oförändrad.
Dessa två egenskaper är mycket hjälpsamma för att göra matematik enkelt och roligt. De låter dig ändra ordningen eller grupperingen av tal när du adderar dem. Denna idé är inte bara användbar i klassrummet utan även i vardagen. När du räknar dina leksaker, delar dina snacks eller hjälper till med att handla använder du dessa egenskaper utan att ens veta om det.
Kom ihåg att matematik är full av hjälpsamma regler som kan förenkla utmanande problem. De kommutativa och associativa egenskaperna är som små verktyg i din matteverktygslåda. När du väl lärt dig hur de fungerar kan du använda dem för att lösa problem snabbt och säkert. Med övning och genom att lägga märke till dessa egenskaper i världen omkring dig kommer du att bli en starkare och mer självsäker matematiker.
Viktiga punkter att komma ihåg:
Genom att använda dessa egenskaper kan du vara säker på att dina svar är korrekta, oavsett om du ändrar ordningen eller grupperingen av talen. Tänk på dessa regler, så kommer du att upptäcka att addition inte bara är enkelt utan också väldigt roligt!
Nu när du känner till additionens kommutativa och associativa egenskaper har du lärt dig kraftfulla verktyg för att arbeta med tal. Använd gärna dessa verktyg medan du utforskar mer matematik och vardagliga problem. Kom ihåg att matematikens magi är att den alltid förblir sann, oavsett hur du ser på den.
