วันนี้เราจะมาเรียนรู้กฎ 2 ข้อที่มีประโยชน์มากในวิชาคณิตศาสตร์ กฎเหล่านี้เรียกว่าคุณสมบัติการเปลี่ยนหมู่และคุณสมบัติการสับเปลี่ยนของการบวก กฎเหล่านี้บอกเราว่าเมื่อเราบวกตัวเลข เราสามารถเปลี่ยนลำดับหรือการจัดกลุ่มของตัวเลขได้และยังคงได้คำตอบเหมือนเดิม บทเรียนนี้จะอธิบายแนวคิดเหล่านี้ด้วยภาษาง่ายๆ พร้อมตัวอย่างที่ชัดเจน เพื่อให้ทุกคนเข้าใจได้ แม้ว่าคุณจะเพิ่งเริ่มเรียนคณิตศาสตร์ก็ตาม
การบวกเป็นส่วนที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของคณิตศาสตร์ เมื่อคุณบวกตัวเลข คุณกำลังนำตัวเลขเหล่านั้นมารวมกันเพื่อหาว่ามีทั้งหมดกี่ตัว ลองนึกภาพว่าการบวกเป็นเหมือนการต่อชิ้นส่วนของปริศนาเข้าด้วยกัน ตัวอย่างเช่น หากคุณมีแอปเปิลอยู่บ้าง และคุณได้รับเพิ่มอีกสองสามลูก คุณก็ต้องนำตัวเลขเหล่านั้นมารวมกันเพื่อดูว่าคุณมีแอปเปิลทั้งหมดกี่ลูก ในชีวิตประจำวันของเรา การบวกช่วยให้เราสามารถนับของเล่น ลูกอม ดินสอ และสิ่งของอื่นๆ อีกมากมายได้
คุณสมบัติการสับเปลี่ยนของการบวกบอกเราว่าลำดับที่คุณบวกตัวเลขสองตัวจะไม่ทำให้ผลลัพธ์เปลี่ยนไป นั่นหมายความว่าการสลับตัวเลขจะให้ผลรวมเท่ากัน ลองนึกภาพว่าคุณมีลูกอม 2 ลูก แล้วคุณได้รับลูกอมอีก 3 ลูก ไม่ว่าคุณจะนับ 2 ก่อนแล้วจึงนับ 3 หรือ 3 ก่อนแล้วจึงนับ 2 คุณจะยังมีลูกอม 5 ลูกอยู่
คุณสามารถเขียนคุณสมบัติการสับเปลี่ยนได้ดังนี้:
\(\textrm{สำหรับหมายเลขใดๆ } a \textrm{ และ } b, \, a+b = b+a\)
กฎนี้มีประโยชน์มากเมื่อคุณนับจำนวนน้อยหรือมาก เพราะกฎนี้แสดงให้คุณเห็นว่าลำดับไม่สำคัญ เหมือนกับการบอกว่าไม่ว่าคุณจะวางของเล่นบนพื้นแบบไหน จำนวนของเล่นก็จะเท่าเดิม
คุณสมบัติการเชื่อมโยงของการบวกบอกเราว่า เมื่อเราบวกตัวเลขสามตัวขึ้นไปเข้าด้วยกัน วิธีที่เราจัดกลุ่มตัวเลขเหล่านั้นจะไม่ส่งผลต่อผลรวมสุดท้าย นั่นหมายความว่า หากคุณบวกตัวเลขบางตัวเข้าด้วยกัน คุณสามารถจัดกลุ่มตัวเลขสองตัวก่อน แล้วค่อยบวกตัวที่สามทีหลัง และคำตอบจะเหมือนกันทุกประการ
คุณสามารถดูได้จากตัวอย่าง:
\(\textrm{สำหรับหมายเลขใดๆ } a, b, \textrm{ และ } c, \, (a+b)+c = a+(b+c)\) .
ลองนึกภาพว่าคุณมีผลไม้ในชามหนึ่ง คุณอาจมีแอปเปิล 1 ลูก กล้วย 2 ลูก และส้ม 3 ลูก คุณอาจใส่แอปเปิลและกล้วยก่อน จากนั้นจึงใส่ส้ม หรือคุณอาจใส่กล้วยและส้มก่อน จากนั้นจึงใส่แอปเปิล ไม่ว่าจะใส่แบบไหน จำนวนผลไม้ทั้งหมดก็เท่ากัน
การบวกคือการหาผลรวม เมื่อคุณบวก คุณจะนำตัวเลขมารวมกัน บางครั้ง คุณอาจพบว่าการนับง่ายขึ้นโดยการเปลี่ยนลำดับของตัวเลข คุณสมบัติการสับเปลี่ยนแสดงให้คุณเห็นว่าไม่สำคัญว่าคุณจะบวก 3 + 5 หรือ 5 + 3 เพราะทั้งสองอย่างเท่ากับ 8
คุณสมบัติการเชื่อมโยงทำให้คุณมีอิสระในการจัดกลุ่มตัวเลข ลองนึกภาพว่าคุณมีบล็อกสามกอง คุณสามารถนับบล็อกในสองกองแรกแล้วบวกบล็อกในกองที่สาม หรือคุณสามารถนับบล็อกในสองกองสุดท้ายแล้วบวกบล็อกในกองแรก ไม่ว่าจะใช้วิธีใด คุณก็จะได้ผลลัพธ์เท่ากัน วิธีนี้ทำให้การคำนวณง่ายขึ้นเพราะคุณสามารถเลือกการจัดกลุ่มที่ง่ายที่สุดได้
กฎทั้งสองข้อช่วยให้คุณคิดเกี่ยวกับตัวเลขได้อย่างยืดหยุ่น กฎทั้งสองข้อนี้แสดงให้คุณเห็นว่า แม้ว่าคุณจะเปลี่ยนแปลงสิ่งต่างๆ ตัวเลขก็ยังคงเหมือนเดิม ซึ่งถือเป็นเรื่องสำคัญมาก เพราะหมายความว่าคุณจะสามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้หลายวิธีและมั่นใจได้ว่าคำตอบของคุณถูกต้องเสมอ
ปัญหา: บวก 4 และ 7 โดยใช้คุณสมบัติการสับเปลี่ยน
ขั้นตอนที่ 1: เขียนการบวกในรูปแบบดั้งเดิม: \(4 + 7\)
ขั้นตอนที่ 2: สลับลำดับตัวเลข: \(7 + 4\)
ขั้นตอนที่ 3: คำนวณนิพจน์ทั้งสอง เราได้:
เนื่องจากทั้งสองวิธีให้คำตอบเป็น 11 คุณสมบัติการสับเปลี่ยนจึงใช้ได้!
ปัญหา: แก้ปัญหาการบวก \((2+3)+5\) และแสดงว่ามันเหมือนกับ \(2+(3+5)\)
ขั้นตอนที่ 1: บวกสองตัวเลขแรกในกลุ่ม \((2+3)\) :
ขั้นตอนที่ 2: ตอนนี้เพิ่มผลลัพธ์ลงใน 5:
การจัดกลุ่มทางเลือก: ตอนนี้ลองเพิ่มกลุ่มอื่นเข้าไป: \(2+(3+5)\)
ขั้นตอนที่ 3: ก่อนอื่นให้บวก \(3+5\) :
ขั้นตอนที่ 4: ตอนนี้เพิ่มผลลัพธ์ลงใน 2:
การจัดกลุ่มทั้งสองให้ผลลัพธ์เป็น 10 ซึ่งแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติการเชื่อมโยงใช้ได้เนื่องจาก \((2+3)+5 = 2+(3+5)\)
ปัญหา: แก้ปัญหา \(1+(4+6)\) โดยใช้ทั้งคุณสมบัติการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยง
ขั้นตอนที่ 1: แก้ภายในวงเล็บก่อน: \(4+6\) :
ขั้นตอนที่ 2: ตอนนี้เพิ่ม 1 ลงในผลลัพธ์:
วิธีอื่น: ใช้การจัดกลุ่มอื่นโดยสลับลำดับ คิดว่าเป็น \((1+4)+6\)
ขั้นตอนที่ 3: คำนวณ \(1+4\) ก่อน :
ขั้นตอนที่ 4: จากนั้นเพิ่ม 6 ลงในผลลัพธ์:
ทั้งสองวิธีให้คำตอบเดียวกัน: 11. นี่แสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติการสับเปลี่ยนและการเปลี่ยนหมู่ทำงานร่วมกันอย่างไรเพื่อให้การบวกง่ายขึ้น
แนวคิดเกี่ยวกับคุณสมบัติการสับเปลี่ยนและการรวมกลุ่มนั้นไม่เพียงแต่ใช้ในโรงเรียนเท่านั้น แต่ยังมีประโยชน์มากในชีวิตประจำวันของเราอีกด้วย เมื่อคุณนับสิ่งของ เช่น ของเล่นหรือขนม กฎเหล่านี้จะช่วยให้คุณบวกเลขได้เร็วขึ้นและไม่ต้องกังวลเรื่องลำดับหรือการจัดกลุ่มอีกต่อไป
ลองนึกภาพว่าคุณกำลังจัดโต๊ะสำหรับมื้อเที่ยง คุณต้องนับจาน ส้อม และช้อน ไม่สำคัญว่าคุณจะนับส้อมก่อนช้อนหรือนับช้อนก่อน เพราะคุณสมบัติการสับเปลี่ยนจะบอกคุณว่าจำนวนชิ้นทั้งหมดจะเท่ากัน
ตัวอย่างอื่นคือเมื่อคุณแบ่งปันลูกอมกับเพื่อนของคุณ สมมติว่าคุณมีลูกอม 3 ลูก ลูกอม 4 ลูก และลูกอม 2 ลูกจากชามที่แตกต่างกัน คุณสมบัติการเชื่อมโยงช่วยให้คุณมีอิสระในการบวกลูกอมจากชามสองใบก่อน จากนั้นจึงบวกชามที่สาม ไม่ว่าคุณจะบวก (3+4)+2 หรือ 3+(4+2) คุณก็ยังคงได้ผลรวมเท่าเดิม
สิ่งนี้ยังเป็นจริงในร้านขายของชำ เมื่อคุณเพิ่มราคาของผลไม้หรือผักต่างๆ คุณสามารถเลือกที่จะเพิ่มในลำดับใดก็ได้หรือจัดกลุ่มในลักษณะที่ทำให้คำนวณได้ง่ายขึ้น วิธีนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงต้นทุนรวม คุณสมบัติเหล่านี้ทำให้การคำนวณในชีวิตประจำวันหลายๆ อย่างง่ายและรวดเร็ว
การทำความเข้าใจคุณสมบัติเหล่านี้จะช่วยสร้างรากฐานที่แข็งแกร่งสำหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์หลายประเภทที่คุณจะต้องแก้ไขในอนาคต คุณสมบัติเหล่านี้เปรียบเสมือนทางลัดเล็กๆ น้อยๆ ที่ช่วยให้คุณจัดเรียงตัวเลขใหม่ในลักษณะที่คำนวณได้ง่ายขึ้น เมื่อคุณเรียนรู้และใช้คุณสมบัติเหล่านี้ คุณจะเริ่มเห็นรูปแบบในตัวเลขและพัฒนาวิธีคิดทางคณิตศาสตร์ที่ดีขึ้น
ลองนึกถึงคุณสมบัติเหล่านี้เป็นกฎในการเล่นเกมที่มีตัวเลข คุณสมบัติการสับเปลี่ยนก็เหมือนกับการจัดของเล่นใหม่บนชั้นวาง ไม่ว่าจะเรียงอย่างไร จำนวนของเล่นทั้งหมดก็ยังคงเท่าเดิม คุณสมบัติการเชื่อมโยงก็เหมือนกับการจัดกลุ่มของว่างก่อนจะแบ่งปันให้เพื่อนๆ ไม่สำคัญว่าคุณจะจัดกลุ่มของว่างชิ้นไหนเข้าด้วยกัน ส่วนแบ่งสุดท้ายจะเท่ากันเสมอ
แนวคิดเหล่านี้ทรงพลังมาก แม้ว่าคุณจะเห็นรายการตัวเลขยาวๆ ที่ต้องบวกกัน คุณก็สามารถใช้คุณสมบัติการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยงเพื่อแบ่งปัญหาออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่ง่ายกว่าได้ วิธีนี้จะช่วยให้คุณทำงานได้เร็วขึ้นและมีความเครียดน้อยลง
ลองนึกภาพว่าคุณกำลังเล่นกับบล็อกตัวต่อ แต่ละบล็อกจะมีตัวเลขกำกับอยู่ คุณต้องการทราบจำนวนตัวเลขทั้งหมดในบล็อกของคุณ บางครั้ง การบวกบล็อกในลำดับที่ต่างกันหรือในกลุ่มที่ต่างกันอาจดูสับสนในตอนแรก แต่เมื่อคุณจำคุณสมบัติการสับเปลี่ยนได้ คุณจะเปลี่ยนลำดับของบล็อกได้โดยไม่มีปัญหาใดๆ และเมื่อคุณจำคุณสมบัติการเชื่อมโยงได้ คุณก็สามารถจัดกลุ่มบล็อกได้ตามต้องการ ไม่ว่าจะทำอย่างไร จำนวนตัวเลขทั้งหมดในบล็อกของคุณจะยังคงเท่าเดิมทุกประการ
คุณอาจเห็นสิ่งนี้เมื่อคุณกำลังจัดเรียงลูกแก้วหลากสีในคอลเลกชันของคุณ คุณสามารถนับลูกแก้วบางลูกพร้อมกันแล้วจึงนับลูกอื่นๆ หรือคุณสามารถรวมลูกแก้วหลายๆ ลูกเข้าด้วยกัน กฎการบวกจะรับประกันว่าผลรวมทั้งหมดจะถูกต้องไม่ว่าจะใช้วิธีใดก็ตาม นี่เป็นแนวคิดที่สร้างความมั่นใจให้กับผู้ที่เพิ่งเริ่มเรียนคณิตศาสตร์
อีกวิธีหนึ่งที่สนุกในการคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้คือการลองนึกภาพว่าคุณกำลังทำสลัดผลไม้ คุณอาจใส่แอปเปิล กล้วย และสตรอว์เบอร์รีในลำดับใดก็ได้ หรือจัดกลุ่มผลไม้บางอย่างเข้าด้วยกันแล้วใส่ลงในชาม ไม่ว่าจะใช้วิธีใด คุณก็ยังคงมีสลัดผลไม้เหมือนเดิม คุณสมบัติการสับเปลี่ยนช่วยให้คุณเปลี่ยนลำดับ (แอปเปิล กล้วย แล้วสตรอว์เบอร์รี หรือสตรอว์เบอร์รี แอปเปิล แล้วกล้วย) และคุณสมบัติการเชื่อมโยงช่วยให้คุณตัดสินใจได้ว่าควรผสมผลไม้ชนิดใดเข้าด้วยกันก่อน ในทุกกรณี คุณจะได้ผลไม้ทั้งหมดเท่ากัน
คุณสมบัติเหล่านี้ยังช่วยได้เมื่อคุณคิดถึงตัวเลขที่ใหญ่ขึ้นในภายหลัง แม้ว่าเราจะใช้ตัวเลขง่ายๆ ในปัจจุบัน แต่กฎเดียวกันนี้ก็ใช้ได้กับตัวเลขที่ใหญ่ขึ้นด้วยเช่นกัน สิ่งนี้ทำให้การเรียนรู้คณิตศาสตร์เป็นเรื่องสนุก เพราะกฎที่คุณเรียนรู้เมื่อยังเด็กจะตามคุณไปเมื่อคุณโตขึ้นและเผชิญกับปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น
เมื่อคุณนับเงิน วางแผนว่ามีสติกเกอร์กี่อัน หรือแม้แต่เมื่อคุณช่วยงานในครัว คุณมักจะนำสิ่งของต่างๆ มารวมกัน คุณสมบัติการสับเปลี่ยนจะบอกคุณว่าไม่สำคัญว่าคุณจะบวกต้นทุนของสิ่งของชิ้นหนึ่งก่อนอีกชิ้นหรือไม่ โดยผลรวมจะเท่าเดิม ตัวอย่างเช่น หากคุณซื้อของเล่นในราคา 5 ดอลลาร์และหนังสือในราคา 7 ดอลลาร์ คุณสามารถบวกเป็น \(5+7\) หรือ \(7+5\) ไม่ว่าจะใช้วิธีใด คุณก็ใช้เงินไป 12 ดอลลาร์
คุณสมบัติการเชื่อมโยงทำงานในลักษณะเดียวกัน เมื่อคุณเตรียมอาหารกลางวัน คุณอาจนำอาหารต่างๆ มารวมกัน คุณสามารถจัดกลุ่มอาหารเหล่านี้ในลำดับใดก็ได้ หากคุณมีแซนด์วิช 3 ชิ้น แอปเปิล 2 ลูก และกล้วย 4 ลูก คุณสามารถเพิ่มแซนด์วิชและแอปเปิลก่อนแล้วจึงเพิ่มกล้วย หรือคุณสามารถเพิ่มแอปเปิลและกล้วยก่อนแล้วจึงเพิ่มแซนด์วิช จำนวนรายการอาหารทั้งหมดจะเท่ากับ 9 รายการเสมอ การใช้คุณสมบัติเหล่านี้สามารถช่วยให้คุณรวมรายการต่างๆ ได้อย่างรวดเร็วและตรวจสอบงานของคุณได้หากคุณไม่แน่ใจ
คุณสมบัติเหล่านี้มีประโยชน์มากในเกมและปริศนา ปริศนาหลายๆ เกมจะขอให้คุณผสมตัวเลขในรูปแบบต่างๆ หากคุณเข้าใจว่าสามารถผสมและจัดกลุ่มตัวเลขได้ตามที่คุณต้องการ คุณจะสามารถแก้ปริศนาได้เร็วขึ้นและสนุกกับคณิตศาสตร์มากขึ้น ทุกครั้งที่คุณใช้คุณสมบัติเหล่านี้ คุณกำลังฝึกฝนทักษะการคิดของคุณในรูปแบบที่สนุกสนานและสร้างสรรค์
ในบทเรียนนี้ เราได้เรียนรู้ว่าการบวกคือการรวมตัวเลขเข้าด้วยกัน คุณสมบัติการสับเปลี่ยนแสดงให้เราเห็นว่าลำดับของตัวเลขไม่ทำให้คำตอบเปลี่ยนไป ตัวอย่างเช่น ไม่ว่าคุณจะเขียน \(4+7\) หรือ \(7+4\) ผลลัพธ์ก็จะเหมือนกัน คุณสมบัติการเชื่อมโยงบอกเราว่าเมื่อบวกตัวเลขสามตัวขึ้นไป วิธีที่คุณจัดกลุ่มตัวเลขจะไม่มีความสำคัญ ไม่ว่าคุณจะคำนวณ \((2+3)+5\) หรือ \(2+(3+5)\) ผลรวมจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง
คุณสมบัติทั้งสองนี้มีประโยชน์มากในการทำให้คณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่ายและสนุกขึ้น คุณสมบัติเหล่านี้ช่วยให้คุณเปลี่ยนลำดับหรือการจัดกลุ่มของตัวเลขได้เมื่อคุณบวกตัวเลขเข้าด้วยกัน แนวคิดนี้ไม่เพียงแต่มีประโยชน์ในห้องเรียนเท่านั้น แต่ยังมีประโยชน์ในชีวิตประจำวันอีกด้วย ทุกครั้งที่คุณนับของเล่น แบ่งปันขนม หรือช่วยซื้อของ คุณกำลังใช้คุณสมบัติเหล่านี้โดยที่คุณไม่รู้ตัวด้วยซ้ำ
โปรดจำไว้ว่าคณิตศาสตร์เต็มไปด้วยกฎที่มีประโยชน์ที่สามารถทำให้ปัญหาที่ท้าทายนั้นง่ายขึ้น คุณสมบัติการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยงเป็นเหมือนเครื่องมือเล็กๆ ในกล่องเครื่องมือคณิตศาสตร์ของคุณ เมื่อคุณเรียนรู้วิธีการทำงานของมันแล้ว คุณก็สามารถใช้มันเพื่อแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วและมั่นใจ ด้วยการฝึกฝนและการสังเกตคุณสมบัติเหล่านี้ในโลกที่อยู่รอบตัวคุณ คุณจะกลายเป็นนักคณิตศาสตร์ที่แข็งแกร่งและมั่นใจมากขึ้น
ประเด็นสำคัญที่ต้องจำ:
การใช้คุณสมบัติเหล่านี้จะช่วยให้คุณมั่นใจได้ว่าคำตอบของคุณถูกต้อง ไม่ว่าคุณจะเปลี่ยนลำดับหรือจัดกลุ่มตัวเลขก็ตาม โปรดจำกฎเหล่านี้ไว้ แล้วคุณจะพบว่าการบวกนั้นไม่เพียงแต่ทำได้ง่ายแต่ยังสนุกมากอีกด้วย!
ตอนนี้คุณรู้คุณสมบัติการสับเปลี่ยนและการเปลี่ยนหมู่ของการบวกแล้ว คุณได้เรียนรู้เครื่องมืออันทรงพลังสำหรับการทำงานกับตัวเลขแล้ว เพลิดเพลินไปกับการใช้เครื่องมือเหล่านี้ในขณะที่สำรวจคณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตประจำวันเพิ่มเติม โปรดจำไว้ว่าความมหัศจรรย์ของคณิตศาสตร์คือมันจะคงอยู่ตลอดไป ไม่ว่าคุณจะมองมันอย่างไรก็ตาม
