Ngayon ay matututo tayo ng dalawang napaka-kapaki-pakinabang na panuntunan sa matematika. Ang mga tuntuning ito ay tinatawag na associative property at ang commutative property ng karagdagan. Sinasabi nila sa amin na kapag nagdagdag kami ng mga numero, maaari naming baguhin ang pagkakasunud-sunod o ang pagpapangkat ng mga numero at makakuha pa rin ng parehong sagot. Ipapaliwanag ng araling ito ang mga ideyang ito sa simpleng wika na may malinaw na mga halimbawa upang maunawaan ng lahat, kahit na nagsisimula ka pa lamang matuto ng matematika.
Ang pagdaragdag ay isa sa pinakamahalagang bahagi ng matematika. Kapag nagdagdag ka ng mga numero, pinagsasama-sama mo ang mga ito upang malaman kung ilan ang lahat nang sabay-sabay. Isipin ito tulad ng pagsasama-sama ng mga piraso ng isang palaisipan. Halimbawa, kung mayroon kang ilang mansanas at nakakuha ka pa ng ilan, idagdag mo ang mga ito nang magkasama upang makita kung gaano karaming mga mansanas ang mayroon ka sa kabuuan. Sa ating pang-araw-araw na buhay, ang karagdagan ay tumutulong sa atin na magbilang ng mga laruan, kendi, lapis, at marami pang ibang bagay.
Ang commutative property ng karagdagan ay nagsasabi sa amin na ang pagkakasunud-sunod kung saan ka magdagdag ng dalawang numero ay hindi nagbabago sa resulta. Nangangahulugan ito na ang pagpapalit ng mga numero ay nagbibigay ng parehong kabuuan. Isipin na mayroon kang 2 kendi at pagkatapos ay makakakuha ka ng 3 pang kendi. Bilangin mo man ang 2 muna at pagkatapos ay ang 3, o ang 3 muna at pagkatapos ay ang 2, magkakaroon ka pa rin ng 5 kendi.
Maaari mong isulat ang commutative property tulad nito:
\(\textrm{Para sa anumang mga numero } a \textrm{ at } b, \, a+b = b+a\) .
Ang panuntunang ito ay lubhang kapaki-pakinabang kapag nagbibilang ka ng maliliit na numero o kahit na malalaking numero dahil ipinapakita nito sa iyo na hindi mahalaga ang order. Ito ay tulad ng pagsasabi na kahit saang paraan mo ilagay ang iyong mga laruan sa sahig, ang bilang ng mga laruan ay mananatiling pareho.
Sinasabi sa atin ng nag-uugnay na pag-aari ng karagdagan na kapag nagdagdag tayo ng tatlo o higit pang mga numero nang magkasama, ang paraan ng pagpapangkat natin sa mga ito ay hindi makakaapekto sa panghuling kabuuan. Nangangahulugan ito na kung magsasama ka ng ilang numero, maaari mong ipangkat muna ang alinman sa dalawa at pagkatapos ay idagdag ang pangatlo sa ibang pagkakataon, at ang sagot ay magiging eksaktong pareho.
Maaari mong makita ito sa isang halimbawa:
\(\textrm{Para sa anumang mga numero } a, b, \textrm{ at } c, \, (a+b)+c = a+(b+c)\) .
Isipin na mayroon kang isang mangkok ng prutas. Maaaring mayroon kang 1 mansanas, 2 saging, at 3 dalandan. Maaari mo munang idagdag ang mga mansanas at saging, at pagkatapos ay idagdag ang mga dalandan. O maaari mo munang idagdag ang mga saging at dalandan, at pagkatapos ay idagdag ang mansanas. Alinmang paraan, ang kabuuang bilang ng mga prutas ay pareho.
Ang karagdagan ay tungkol sa paggawa ng mga kabuuan. Kapag nagdagdag ka, pinagsama-sama mo ang mga numero. Minsan, maaaring mas madali kang magbilang sa pamamagitan ng pagbabago ng pagkakasunud-sunod ng mga numero. Ipinapakita sa iyo ng commutative property na hindi mahalaga kung magdagdag ka ng 3 + 5 o 5 + 3 dahil pareho silang katumbas ng 8.
Ang nag-uugnay na ari-arian ay nagbibigay sa iyo ng kalayaan sa pagpapangkat ng mga numero. Isipin na mayroon kang tatlong tumpok ng mga bloke. Maaari mong bilangin ang mga bloke sa unang dalawang tumpok at pagkatapos ay idagdag ang mga bloke sa ikatlong tumpok. O maaari mong bilangin ang mga bloke sa huling dalawang pile at pagkatapos ay idagdag ang mga bloke sa unang pile. Alinmang paraan, magtatapos ka sa parehong kabuuan. Pinapadali nito ang matematika dahil mapipili mo ang pagpapangkat na pinakasimpleng pakiramdam.
Tinutulungan ka ng parehong mga panuntunan na mag-isip tungkol sa mga numero sa isang flexible na paraan. Ipinakita nila sa iyo na kahit na baguhin mo ang mga bagay sa paligid, ang matematika ay nananatiling pareho. Napakahalaga nito dahil nangangahulugan ito na makakahanap ka ng iba't ibang paraan upang malutas ang isang problema at laging alam na tama ang iyong sagot.
Problema: Magdagdag ng 4 at 7 gamit ang commutative property.
Hakbang 1: Isulat ang karagdagan sa orihinal nitong anyo: \(4 + 7\) .
Hakbang 2: Ilipat ang pagkakasunud-sunod ng mga numero: \(7 + 4\) .
Hakbang 3: Kalkulahin ang parehong mga expression. Mayroon kaming:
Dahil ang parehong paraan ay nagbibigay ng sagot na 11, gumagana ang commutative property!
Problema: Lutasin ang problema sa pagdaragdag \((2+3)+5\) at ipakita na ito ay kapareho ng \(2+(3+5)\) .
Hakbang 1: Idagdag ang unang dalawang numero sa pagpapangkat \((2+3)\) :
Hakbang 2: Ngayon idagdag ang resulta sa 5:
Alternatibong Pagpapangkat: Ngayon subukang magdagdag sa ibang pagpapangkat: \(2+(3+5)\) .
Hakbang 3: Unang idagdag \(3+5\) :
Hakbang 4: Ngayon idagdag ang resulta sa 2:
Ang parehong pagpapangkat ay nagbibigay sa amin ng 10. Ipinapakita nito na gumagana ang nauugnay na pag-aari dahil \((2+3)+5 = 2+(3+5)\) .
Problema: Lutasin ang problema \(1+(4+6)\) gamit ang parehong commutative at associative na katangian.
Hakbang 1: Unahing lutasin ang loob ng mga panaklong: \(4+6\) :
Hakbang 2: Ngayon idagdag ang 1 sa resulta:
Alternatibong Paraan: Gumamit ng ibang pagpapangkat sa pamamagitan ng pagpapalit ng order. Isipin ito bilang \((1+4)+6\) .
Hakbang 3: Unang kalkulahin \(1+4\) :
Hakbang 4: Pagkatapos ay magdagdag ng 6 sa resulta:
Ang parehong paraan ay nagbibigay ng parehong sagot: 11. Ito ay nagpapakita kung paano gumagana ang commutative at associative properties upang gawing mas madali ang pagdaragdag.
Ang mga ideya ng commutative at associative properties ay hindi lamang para sa paaralan—ang mga ito ay lubhang kapaki-pakinabang sa ating pang-araw-araw na buhay. Kapag nagbibilang ka ng mga bagay, tulad ng iyong mga laruan o meryenda, tinutulungan ka ng mga panuntunang ito na magdagdag ng mas mabilis at mas mababa ang pag-aalala tungkol sa pagkakasunud-sunod o pagpapangkat.
Isipin na naghahanda ka ng mesa para sa tanghalian. Kailangan mong magbilang ng mga plato, tinidor, at kutsara. Hindi mahalaga kung bibilangin mo muna ang mga tinidor bago ang mga kutsara o ang mga kutsara—sinasabi sa iyo ng commutative property na ang kabuuang bilang ng mga piraso ay magiging pareho.
Ang isa pang halimbawa ay kapag nagbabahagi ka ng mga kendi sa iyong mga kaibigan. Ipagpalagay na mayroon kang 3 kendi, 4 na kendi, at 2 kendi mula sa iba't ibang mangkok. Ang associative property ay nagbibigay sa iyo ng kalayaan na idagdag muna ang mga candies mula sa alinmang dalawang bowl at pagkatapos ay idagdag ang pangatlo. Idagdag mo man ang (3+4)+2 o 3+(4+2), pareho pa rin ang kabuuang makukuha mo.
Totoo rin ito sa grocery store. Kapag nagdaragdag ka ng presyo ng iba't ibang prutas o gulay, maaari mong piliing idagdag ang mga ito sa anumang pagkakasunud-sunod o ipangkat ang mga ito sa paraang nagpapadali sa matematika. Hindi nito binabago ang kabuuang halaga. Ginagawang simple at mabilis ng mga katangiang ito ang maraming pang-araw-araw na kalkulasyon.
Ang pag-unawa sa mga katangiang ito ay nakakatulong na bumuo ng matibay na pundasyon para sa maraming uri ng mga problema sa matematika na malulutas mo sa hinaharap. Ang mga ito ay tulad ng maliliit na shortcut na nagbibigay-daan sa iyong muling ayusin ang mga numero sa mga paraan na mas madaling kalkulahin. Kapag natutunan mo at ginamit ang mga katangiang ito, magsisimula kang makakita ng mga pattern sa mga numero at bumuo ng isang mas mahusay na paraan ng pag-iisip tungkol sa matematika.
Isipin ang mga katangiang ito bilang mga panuntunan sa paglalaro ng mga numero. Ang commutative property ay tulad ng muling pagsasaayos ng iyong mga laruan sa isang istante. Kahit paano mo ihanay ang mga ito, ang kabuuang bilang ng mga laruan ay nananatiling pareho. Ang associative property ay tulad ng pagpapangkat-pangkat ng iyong mga meryenda bago ito ibahagi sa iyong mga kaibigan. Hindi mahalaga kung aling mga meryenda ang pinagsama-sama mo-ang huling bahagi ay palaging pareho.
Ang mga ideyang ito ay napakalakas. Kahit na makakita ka ng mahabang listahan ng mga numerong idaragdag, maaari mong gamitin ang commutative at associative na mga katangian para hatiin ang problema sa mas maliliit at mas madaling bahagi. Ginagawa nitong mas mabilis at hindi gaanong nakaka-stress ang iyong trabaho.
Isipin na naglalaro ka ng mga bloke ng gusali. Ang bawat bloke ay may isang numero dito. Gusto mong malaman ang kabuuan ng mga numero sa iyong mga bloke. Minsan, ang pagdaragdag ng mga bloke sa iba't ibang mga order o sa iba't ibang mga grupo ay maaaring mukhang nakakalito sa simula. Ngunit kapag naaalala mo ang commutative property, maaari mong baguhin ang pagkakasunud-sunod ng mga bloke nang walang anumang problema. At, kapag naaalala mo ang nauugnay na pag-aari, maaari mong pangkatin ang mga bloke sa anumang paraan na gusto mo. Kahit paano mo ito gawin, ang kabuuang bilang sa iyong mga bloke ay mananatiling eksaktong pareho.
Maaari mong makita ito kapag pinag-uuri mo ang iyong koleksyon ng mga makukulay na marbles. Maaari mong bilangin ang ilang mga marbles nang magkasama at pagkatapos ay bilangin ang iba, o maaari mong paghaluin ang iba't ibang mga grupo. Ang mga tuntunin ng karagdagan ay ginagarantiya na ang kabuuan ay magiging tama sa alinmang paraan. Ito ay isang nakakapanatag na ideya para sa sinumang nagsisimula sa matematika.
Ang isa pang nakakatuwang paraan upang isipin ito ay sa pamamagitan ng pag-iisip na gumagawa ka ng fruit salad. Maaari kang magdagdag ng mga mansanas, saging, at strawberry sa anumang pagkakasunud-sunod, o pagsama-samahin ang ilang prutas at pagkatapos ay idagdag ang mga ito sa mangkok. Alinmang paraan, mayroon ka pa ring parehong fruit salad. Hinahayaan ka ng commutative property na baguhin ang pagkakasunud-sunod (mansanas, saging, pagkatapos ay strawberry o strawberry, mansanas, pagkatapos ay saging) at hinahayaan ka ng nauugnay na ari-arian na magpasya kung aling mga prutas ang unang paghaluin. Sa bawat kaso, makakakuha ka ng parehong kabuuang halaga ng prutas.
Nakakatulong din ang mga property na ito kapag nag-iisip ka tungkol sa mas malalaking numero sa susunod. Kahit na gumagamit kami ng mga simpleng numero ngayon, gumagana din ang parehong mga panuntunan para sa mas malalaking numero. Ginagawa nitong masaya ang pag-aaral ng matematika dahil ang mga panuntunang natutunan mo noong bata ka pa ay susunod sa iyo habang ikaw ay tumatanda at nahaharap sa mas kumplikadong mga problema.
Kapag nagbibilang ka ng pera, nagpaplano kung gaano karaming mga sticker ang mayroon ka, o kahit na tumulong ka sa kusina, madalas mong pinagsama ang mga bagay. Sinasabi sa iyo ng commutative property na hindi mahalaga kung idagdag mo ang halaga ng isang item bago ang isa pa—nananatiling pareho ang kabuuan. Halimbawa, kung bibili ka ng laruan sa halagang 5 dolyar at isang libro sa halagang 7 dolyar, maaari mong idagdag ang mga ito bilang \(5+7\) o \(7+5\) . Sa alinmang paraan, gumastos ka ng 12 dolyar.
Ang nag-uugnay na ari-arian ay gumagana nang katulad. Kapag nag-impake ka ng iyong tanghalian, maaari kang magsama-sama ng iba't ibang mga pagkain. Maaari mong pangkatin ang mga ito sa anumang pagkakasunud-sunod. Kung mayroon kang 3 sandwich, 2 mansanas, at 4 na saging, maaari mong idagdag muna ang mga sandwich at mansanas at pagkatapos ay idagdag ang mga saging. O maaari mong idagdag ang mga mansanas at saging muna at pagkatapos ay idagdag ang mga sandwich. Ang kabuuang bilang ng mga pagkain ay palaging magiging 9. Ang paggamit ng mga katangiang ito ay makakatulong sa iyong magdagdag ng mga bagay nang mabilis at suriin ang iyong trabaho kung hindi ka sigurado.
Kahit na sa mga laro at palaisipan, ang mga katangiang ito ay lubhang kapaki-pakinabang. Maraming mga puzzle ang humihiling sa iyo na pagsamahin ang mga numero sa iba't ibang paraan. Kung naiintindihan mo na maaari kang maghalo at magpangkat ng mga numero gayunpaman ang gusto mo, maaari mong malutas ang mga puzzle nang mas mabilis at magsaya sa matematika. Sa tuwing gagamitin mo ang mga katangiang ito, hinahasa mo ang iyong mga kasanayan sa pag-iisip sa mapaglaro at malikhaing paraan.
Sa araling ito, nalaman natin na ang pagdaragdag ay tungkol sa pagsasama-sama ng mga numero. Ipinapakita sa amin ng commutative property na hindi binabago ng pagkakasunud-sunod ng mga numero ang sagot. Halimbawa, kung isusulat mo man \(4+7\) o \(7+4\) , pareho ang resulta. Sinasabi sa amin ng associative property na kapag nagdadagdag ng tatlo o higit pang mga numero, hindi mahalaga ang paraan ng pagpapangkat mo ng mga numero. Kalkulahin mo man \((2+3)+5\) o \(2+(3+5)\) , mananatiling hindi nagbabago ang kabuuan.
Ang dalawang katangiang ito ay lubhang nakakatulong sa paggawa ng matematika na madali at masaya. Pinapayagan ka nitong baguhin ang pagkakasunud-sunod o pagpapangkat ng mga numero kapag pinagsama mo ang mga ito. Ang ideyang ito ay hindi lamang kapaki-pakinabang sa silid-aralan kundi maging sa pang-araw-araw na buhay. Sa tuwing binibilang mo ang iyong mga laruan, ibahagi ang iyong mga meryenda, o tumulong sa pamimili, ginagamit mo ang mga pag-aari na ito nang hindi mo nalalaman.
Tandaan, ang matematika ay puno ng mga kapaki-pakinabang na panuntunan na maaaring gawing mas simple ang mga mapanghamong problema. Ang commutative at associative properties ay parang maliliit na tool sa iyong math toolbox. Kapag natutunan mo kung paano gumagana ang mga ito, magagamit mo ang mga ito upang malutas ang mga problema nang mabilis at may kumpiyansa. Sa pagsasanay at sa pamamagitan ng pagpuna sa mga katangiang ito sa mundo sa paligid mo, ikaw ay magiging isang mas malakas at mas kumpiyansa na mathematician.
Mga Pangunahing Punto na Dapat Tandaan:
Sa paggamit ng mga katangiang ito, makatitiyak kang tama ang iyong mga sagot, kahit na baguhin mo ang pagkakasunud-sunod o pagpapangkat ng mga numero. Isaisip ang mga alituntuning ito, at makikita mo na ang pagdaragdag ay hindi lamang madali kundi napakasaya rin!
Ngayong alam mo na ang commutative at associative na katangian ng karagdagan, natutunan mo na ang mga mahuhusay na tool para sa pagtatrabaho sa mga numero. Masiyahan sa paggamit ng mga tool na ito habang nag-e-explore ng higit pang matematika at pang-araw-araw na problema. Tandaan, ang mahika ng matematika ay na ito ay laging nananatiling totoo, kahit paano mo ito tingnan.
