آج ہم ریاضی کے دو بہت مددگار اصول سیکھنے جا رہے ہیں۔ ان اصولوں کو ملحقہ جائیداد اور اضافے کی commutative پراپرٹی کہا جاتا ہے۔ وہ ہمیں بتاتے ہیں کہ جب ہم نمبر شامل کرتے ہیں، تو ہم نمبروں کی ترتیب یا گروپ بندی کو تبدیل کر سکتے ہیں اور پھر بھی وہی جواب ملتا ہے۔ یہ سبق واضح مثالوں کے ساتھ سادہ زبان میں ان خیالات کی وضاحت کرے گا تاکہ ہر کوئی سمجھ سکے، چاہے آپ ابھی ریاضی سیکھنا ہی شروع کر رہے ہوں۔
اضافہ ریاضی کے سب سے اہم حصوں میں سے ایک ہے۔ جب آپ نمبرز جوڑتے ہیں، تو آپ ان کو ایک ساتھ ڈال رہے ہوتے ہیں تاکہ یہ معلوم کیا جا سکے کہ ایک ساتھ کتنے نمبر ہیں۔ اس کے بارے میں سوچیں جیسے کسی پہیلی کے ٹکڑوں کو اکٹھا کرنا۔ مثال کے طور پر، اگر آپ کے پاس کچھ سیب ہیں اور آپ کو کچھ اور ملتے ہیں، تو آپ ان کو ملا کر دیکھیں کہ آپ کے پاس کل کتنے سیب ہیں۔ ہماری روزمرہ کی زندگی میں، اضافہ ہمیں کھلونے، کینڈی، پنسل، اور بہت سی دوسری چیزوں کو شمار کرنے میں مدد کرتا ہے۔
اضافے کی متغیر خاصیت ہمیں بتاتی ہے کہ جس ترتیب میں آپ دو نمبر جوڑتے ہیں وہ نتیجہ نہیں بدلتا۔ اس کا مطلب ہے کہ نمبروں کو تبدیل کرنے سے ایک ہی رقم ملتی ہے۔ تصور کریں کہ آپ کے پاس 2 کینڈی ہیں اور پھر آپ کو 3 مزید کینڈی ملیں گی۔ چاہے آپ پہلے 2 اور پھر 3، یا 3 پہلے اور پھر 2 کو شمار کریں، آپ کے پاس اب بھی 5 کینڈی ہوں گی۔
آپ تبادلاتی جائیداد کو اس طرح لکھ سکتے ہیں:
\(\textrm{کسی بھی نمبر کے لیے } a \textrm{ اور } b, \, a+b = b+a\) ۔
یہ قاعدہ بہت کارآمد ہے جب آپ چھوٹے یا بڑے نمبر بھی گن رہے ہوں کیونکہ یہ آپ کو دکھاتا ہے کہ ترتیب سے کوئی فرق نہیں پڑتا۔ یہ کہنے کے مترادف ہے کہ چاہے آپ اپنے کھلونے فرش پر کس طرح بھی رکھیں، کھلونوں کی تعداد ایک جیسی رہتی ہے۔
اضافے کی ایسوسی ایٹیو پراپرٹی ہمیں بتاتی ہے کہ جب ہم تین یا زیادہ نمبروں کو ایک ساتھ جوڑتے ہیں تو جس طرح سے ہم ان کو گروپ کرتے ہیں وہ حتمی رقم کو متاثر نہیں کرتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر آپ کچھ نمبرز کو ایک ساتھ جوڑتے ہیں تو آپ ان میں سے کسی بھی دو کو پہلے گروپ کر سکتے ہیں اور پھر تیسرے نمبر کو بعد میں شامل کر سکتے ہیں اور جواب بالکل ایک جیسا ہو گا۔
آپ اسے ایک مثال کے ساتھ دیکھ سکتے ہیں:
\(\textrm{کسی بھی نمبر کے لیے } a, b, \textrm{ اور } c, \, (a+b)+c = a+(b+c)\)
تصور کریں کہ آپ کے پاس پھلوں کا ایک پیالہ ہے۔ آپ کے پاس 1 سیب، 2 کیلے اور 3 سنترے ہو سکتے ہیں۔ آپ پہلے سیب اور کیلے شامل کر سکتے ہیں، اور پھر سنتری شامل کر سکتے ہیں۔ یا آپ پہلے کیلے اور سنتری شامل کر سکتے ہیں، اور پھر سیب شامل کر سکتے ہیں۔ کسی بھی طرح سے، پھلوں کی کل تعداد ایک جیسی ہے۔
اضافہ ٹوٹل بنانے کے بارے میں ہے۔ جب آپ شامل کرتے ہیں، تو آپ نمبر ایک ساتھ رکھتے ہیں۔ بعض اوقات، آپ کو نمبروں کی ترتیب کو تبدیل کرکے شمار کرنا آسان ہو سکتا ہے۔ تبدیلی کی خاصیت آپ کو دکھاتی ہے کہ اگر آپ 3 + 5 یا 5 + 3 شامل کرتے ہیں تو اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا ہے کیونکہ وہ دونوں 8 کے برابر ہیں۔
ایسوسی ایٹیو پراپرٹی آپ کو گروپنگ نمبرز میں آزادی دیتی ہے۔ تصور کریں کہ آپ کے پاس بلاکس کے تین ڈھیر ہیں۔ آپ پہلے دو ڈھیروں میں بلاکس کو شمار کر سکتے ہیں اور پھر تیسرے ڈھیر میں بلاکس کو شامل کر سکتے ہیں۔ یا آپ آخری دو ڈھیروں میں بلاکس کو شمار کر سکتے ہیں اور پھر پہلے ڈھیر میں بلاکس کو شامل کر سکتے ہیں۔ کسی بھی طرح سے، آپ ایک ہی کل کے ساتھ ختم ہوتے ہیں۔ یہ ریاضی کو آسان بناتا ہے کیونکہ آپ اس گروپ بندی کا انتخاب کرسکتے ہیں جو سب سے آسان محسوس ہو۔
دونوں اصول آپ کو اعداد کے بارے میں لچکدار طریقے سے سوچنے میں مدد کرتے ہیں۔ وہ آپ کو دکھاتے ہیں کہ یہاں تک کہ اگر آپ چیزیں بدلتے ہیں، ریاضی وہی رہتی ہے۔ یہ بہت اہم ہے کیونکہ اس کا مطلب ہے کہ آپ کسی مسئلے کو حل کرنے کے مختلف طریقے تلاش کر سکتے ہیں اور ہمیشہ جان سکتے ہیں کہ آپ کا جواب درست ہے۔
مسئلہ: متغیر خاصیت کا استعمال کرتے ہوئے 4 اور 7 کا اضافہ کریں۔
مرحلہ 1: اضافہ کو اس کی اصل شکل میں لکھیں: \(4 + 7\) ۔
مرحلہ 2: نمبروں کی ترتیب کو تبدیل کریں: \(7 + 4\) ۔
مرحلہ 3: دونوں تاثرات کا حساب لگائیں۔ ہمارے پاس ہے:
چونکہ دونوں طریقے 11 کا جواب دیتے ہیں، اس لیے متغیر جائیداد کام کرتی ہے!
مسئلہ: اضافے کا مسئلہ حل کریں \((2+3)+5\) اور دکھائیں کہ یہ \(2+(3+5)\) کے برابر ہے۔
مرحلہ 1: گروپ بندی میں پہلے دو نمبر شامل کریں \((2+3)\) :
مرحلہ 2: اب نتیجہ 5 میں شامل کریں:
متبادل گروپ بندی: اب ایک مختلف گروپ بندی میں شامل کرنے کی کوشش کریں: \(2+(3+5)\) ۔
مرحلہ 3: پہلے شامل کریں \(3+5\) :
مرحلہ 4: اب نتیجہ 2 میں شامل کریں:
دونوں گروپ ہمیں 10 دیتے ہیں۔ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ ایسوسی ایٹیو پراپرٹی کام کرتی ہے کیونکہ \((2+3)+5 = 2+(3+5)\) ۔
مسئلہ: مسئلہ کو حل کریں \(1+(4+6)\)
مرحلہ 1: پہلے قوسین کے اندر کو حل کریں: \(4+6\) :
مرحلہ 2: اب نتیجہ میں 1 شامل کریں:
متبادل طریقہ: آرڈر کو تبدیل کرکے ایک مختلف گروپنگ کا استعمال کریں۔ اسے \((1+4)+6\) کے طور پر سوچیں۔
مرحلہ 3: پہلے حساب لگائیں \(1+4\) :
مرحلہ 4: پھر نتیجہ میں 6 شامل کریں:
دونوں طریقے ایک ہی جواب دیتے ہیں: 11۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ کس طرح کمیوٹیٹیو اور ایسوسی ایٹیو پراپرٹیز مل کر کام کرتے ہیں تاکہ اضافہ کو آسان بنایا جا سکے۔
کمیوٹیٹیو اور ایسوسی ایٹیو پراپرٹیز کے آئیڈیاز صرف اسکول کے لیے نہیں ہیں بلکہ ہماری روزمرہ کی زندگی میں بہت مفید ہیں۔ جب آپ اپنے کھلونے یا اسنیکس جیسی چیزوں کی گنتی کر رہے ہوتے ہیں، تو یہ اصول آپ کو آرڈر یا گروپ بندی کے بارے میں کم فکر کے ساتھ تیزی سے شامل کرنے میں مدد کرتے ہیں۔
تصور کریں کہ آپ دوپہر کے کھانے کے لیے میز ترتیب دے رہے ہیں۔ آپ کو پلیٹیں، کانٹے اور چمچوں کو شمار کرنے کی ضرورت ہے۔ اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ آپ چمچوں سے پہلے کانٹے گنتے ہیں یا چمچوں سے پہلے - بدلنے والی پراپرٹی آپ کو بتاتی ہے کہ ٹکڑوں کی کل تعداد ایک جیسی ہوگی۔
ایک اور مثال یہ ہے کہ جب آپ اپنے دوستوں کے ساتھ کینڈی بانٹتے ہیں۔ فرض کریں کہ آپ کے پاس مختلف پیالوں سے 3 کینڈی، 4 کینڈی اور 2 کینڈی ہیں۔ ایسوسی ایٹیو پراپرٹی آپ کو آزادی دیتی ہے کہ پہلے کسی بھی دو پیالوں میں کینڈی شامل کریں اور پھر تیسرے کو شامل کریں۔ چاہے آپ (3+4)+2 یا 3+(4+2) شامل کریں، آپ کو اب بھی وہی کل ملتا ہے۔
یہ گروسری اسٹور میں بھی سچ ہے۔ جب آپ مختلف پھلوں یا سبزیوں کی قیمتیں شامل کر رہے ہیں، تو آپ انہیں کسی بھی ترتیب میں شامل کرنے کا انتخاب کر سکتے ہیں یا انہیں اس طرح سے گروپ کر سکتے ہیں جس سے ریاضی آسان ہو۔ یہ کل لاگت کو تبدیل نہیں کرتا ہے۔ یہ خصوصیات روزمرہ کے بہت سے حسابات کو آسان اور تیز بناتی ہیں۔
ان خصوصیات کو سمجھنے سے ریاضی کے کئی قسم کے مسائل کے لیے ایک مضبوط بنیاد بنانے میں مدد ملتی ہے جو آپ مستقبل میں حل کریں گے۔ وہ چھوٹے شارٹ کٹس کی طرح ہیں جو آپ کو اعداد کو ان طریقوں سے دوبارہ ترتیب دینے دیتے ہیں جن کی گنتی کرنا آسان ہو۔ جب آپ ان خصوصیات کو سیکھتے اور استعمال کرتے ہیں، تو آپ کو اعداد میں پیٹرن نظر آنے لگتے ہیں اور ریاضی کے بارے میں سوچنے کا ایک بہتر طریقہ تیار ہوتا ہے۔
ان خصوصیات کو نمبروں کے ساتھ گیم کھیلنے کے اصول سمجھیں۔ تبدیل شدہ جائیداد اپنے کھلونوں کو شیلف پر دوبارہ ترتیب دینے کے مترادف ہے۔ اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا ہے کہ آپ انہیں کس طرح قطار میں لگاتے ہیں، کھلونوں کی کل تعداد ایک جیسی رہتی ہے۔ ایسوسی ایٹیو پراپرٹی اپنے اسنیکس کو اپنے دوستوں کے ساتھ بانٹنے سے پہلے گروپ بندی کی طرح ہے۔ اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا ہے کہ آپ کون سے اسنیکس کو اکٹھا کرتے ہیں — حتمی حصہ ہمیشہ ایک جیسا ہوتا ہے۔
یہ خیالات بہت طاقتور ہیں۔ یہاں تک کہ جب آپ کو شامل کرنے کے لیے نمبروں کی ایک لمبی فہرست نظر آتی ہے، تب بھی آپ اس مسئلے کو چھوٹے، آسان حصوں میں تقسیم کرنے کے لیے متغیر اور اشتراکی خصوصیات کا استعمال کر سکتے ہیں۔ یہ آپ کے کام کو تیز اور کم دباؤ بناتا ہے۔
تصور کریں کہ آپ عمارت کے بلاکس کے ساتھ کھیل رہے ہیں۔ ہر بلاک پر ایک نمبر ہوتا ہے۔ آپ اپنے بلاکس پر کل نمبر جاننا چاہتے ہیں۔ بعض اوقات، مختلف آرڈرز یا مختلف گروپس میں بلاکس کو شامل کرنا پہلے تو الجھا ہوا لگتا ہے۔ لیکن جب آپ کو تبدیل کرنے والی جائیداد یاد آتی ہے، تو آپ بغیر کسی پریشانی کے بلاکس کی ترتیب کو تبدیل کر سکتے ہیں۔ اور، جب آپ کو ایسوسی ایٹیو پراپرٹی یاد آتی ہے، تو آپ اپنی پسند کے مطابق بلاکس کو گروپ کر سکتے ہیں۔ اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا ہے کہ آپ اسے کیسے کرتے ہیں، آپ کے بلاکس کی کل تعداد بالکل وہی رہتی ہے۔
جب آپ رنگین سنگ مرمروں کے اپنے مجموعے کو چھانٹ رہے ہوں تو آپ اسے دیکھ سکتے ہیں۔ آپ کچھ ماربلز کو ایک ساتھ گن سکتے ہیں اور پھر دوسروں کو گن سکتے ہیں، یا آپ مختلف گروپس کو ملا سکتے ہیں۔ اضافے کے اصول اس بات کی ضمانت دیتے ہیں کہ کل دونوں طرح سے درست ہوگا۔ یہ ریاضی میں شروع کرنے والے ہر فرد کے لیے ایک بہت ہی تسلی بخش خیال ہے۔
اس کے بارے میں سوچنے کا ایک اور تفریحی طریقہ یہ ہے کہ آپ یہ تصور کریں کہ آپ پھل کا ترکاریاں بنا رہے ہیں۔ آپ کسی بھی ترتیب میں سیب، کیلے اور اسٹرابیری شامل کر سکتے ہیں، یا کچھ پھلوں کو ایک ساتھ جوڑ کر پیالے میں شامل کر سکتے ہیں۔ کسی بھی طرح سے، آپ کے پاس اب بھی وہی فروٹ سلاد ہے۔ تبدیلی کی خاصیت آپ کو آرڈر کو تبدیل کرنے دیتی ہے (سیب، کیلے، پھر اسٹرابیری یا اسٹرابیری، سیب، پھر کیلے) اور ایسوسی ایٹیو پراپرٹی آپ کو یہ فیصلہ کرنے دیتی ہے کہ کون سے پھلوں کو پہلے آپس میں ملانا ہے۔ ہر صورت میں، آپ کو پھل کی ایک ہی مقدار ملتی ہے.
یہ خصوصیات اس وقت بھی مدد کرتی ہیں جب آپ بعد میں بڑی تعداد کے بارے میں سوچ رہے ہوں۔ اگرچہ آج ہم سادہ نمبر استعمال کر رہے ہیں، یہی اصول بڑی تعداد کے لیے بھی کام کرتے ہیں۔ اس سے ریاضی سیکھنے میں مزہ آتا ہے کیونکہ جب آپ جوان ہوتے ہیں تو جو اصول آپ سیکھتے ہیں وہ آپ کی عمر بڑھنے پر آپ کی پیروی کریں گے اور آپ کو مزید پیچیدہ مسائل کا سامنا کرنا پڑے گا۔
جب آپ پیسے گن رہے ہوتے ہیں، منصوبہ بنا رہے ہوتے ہیں کہ آپ کے پاس کتنے اسٹیکرز ہیں، یا یہاں تک کہ جب آپ کچن میں مدد کر رہے ہیں، تو آپ اکثر چیزیں ایک ساتھ جوڑتے ہیں۔ تبدیل شدہ جائیداد آپ کو بتاتی ہے کہ اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا ہے کہ اگر آپ ایک شے کی قیمت کو دوسرے سے پہلے شامل کرتے ہیں- کل وہی رہتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر آپ 5 ڈالر میں ایک کھلونا اور 7 ڈالر میں ایک کتاب خرید رہے ہیں، تو آپ انہیں \(5+7\) یا \(7+5\) کے طور پر شامل کر سکتے ہیں۔ کسی بھی طرح سے، آپ 12 ڈالر خرچ کرتے ہیں۔
ایسوسی ایٹیو پراپرٹی اسی طرح کام کرتی ہے۔ جب آپ اپنا دوپہر کا کھانا پیک کرتے ہیں، تو آپ مختلف کھانے کی اشیاء جمع کر سکتے ہیں۔ آپ انہیں کسی بھی ترتیب میں گروپ کر سکتے ہیں۔ اگر آپ کے پاس 3 سینڈوچ، 2 سیب اور 4 کیلے ہیں، تو آپ پہلے سینڈوچ اور سیب شامل کر سکتے ہیں اور پھر کیلے شامل کر سکتے ہیں۔ یا آپ پہلے سیب اور کیلے ڈال سکتے ہیں اور پھر سینڈوچ شامل کر سکتے ہیں۔ کھانے کی اشیاء کی کل تعداد ہمیشہ 9 ہوگی۔ ان خصوصیات کو استعمال کرنے سے آپ چیزوں کو تیزی سے شامل کرسکتے ہیں اور اگر آپ کو یقین نہیں ہے تو اپنا کام چیک کریں۔
یہاں تک کہ کھیل اور پہیلیاں میں، یہ خصوصیات بہت مفید ہیں. بہت سی پہیلیاں آپ سے نمبروں کو مختلف طریقوں سے جوڑنے کو کہتے ہیں۔ اگر آپ سمجھتے ہیں کہ آپ اپنی مرضی کے مطابق نمبروں کو مکس اور گروپ کر سکتے ہیں، تو آپ پہیلیاں تیزی سے حل کر سکتے ہیں اور ریاضی کے ساتھ زیادہ مزہ کر سکتے ہیں۔ جب بھی آپ ان خصوصیات کو استعمال کرتے ہیں، آپ اپنی سوچ کی مہارت کو زندہ دل اور تخلیقی انداز میں تیز کر رہے ہوتے ہیں۔
اس سبق میں، ہم نے سیکھا کہ اضافہ نمبروں کو ایک ساتھ رکھنے کے بارے میں ہے۔ متغیر خاصیت ہمیں دکھاتی ہے کہ نمبروں کی ترتیب جواب کو تبدیل نہیں کرتی ہے۔ مثال کے طور پر، چاہے آپ لکھیں \(4+7\) یا \(7+4\) ، نتیجہ ایک ہی ہے۔ ایسوسی ایٹیو پراپرٹی ہمیں بتاتی ہے کہ تین یا زیادہ نمبرز کو شامل کرتے وقت، آپ کے نمبروں کو گروپ کرنے کے طریقے سے کوئی فرق نہیں پڑتا ہے۔ چاہے آپ حساب کریں \((2+3)+5\) یا \(2+(3+5)\) ، رقم میں کوئی تبدیلی نہیں ہوگی۔
یہ دونوں خصوصیات ریاضی کو آسان اور پرلطف بنانے میں بہت مددگار ہیں۔ جب آپ ان کو ایک ساتھ شامل کرتے ہیں تو وہ آپ کو نمبروں کی ترتیب یا گروپ بندی کو تبدیل کرنے کی اجازت دیتے ہیں۔ یہ خیال نہ صرف کلاس روم میں بلکہ روزمرہ کی زندگی میں بھی مفید ہے۔ جب بھی آپ اپنے کھلونے گنتے ہیں، اپنے اسنیکس کا اشتراک کرتے ہیں، یا خریداری میں مدد کرتے ہیں، تو آپ ان خصوصیات کو جانے بغیر بھی استعمال کر رہے ہوتے ہیں۔
یاد رکھیں، ریاضی ایسے مددگار اصولوں سے بھری ہوئی ہے جو مشکل مسائل کو آسان بنا سکتے ہیں۔ آپ کے ریاضی کے ٹول باکس میں کمیوٹیٹو اور ایسوسی ایٹیو پراپرٹیز چھوٹے ٹولز کی طرح ہیں۔ ایک بار جب آپ یہ سیکھ لیں کہ وہ کیسے کام کرتے ہیں، تو آپ ان کا استعمال جلدی اور اعتماد کے ساتھ مسائل کو حل کرنے کے لیے کر سکتے ہیں۔ مشق کے ساتھ اور اپنے ارد گرد کی دنیا میں ان خصوصیات کو دیکھ کر، آپ ایک مضبوط اور زیادہ پر اعتماد ریاضی دان بن جائیں گے۔
یاد رکھنے کے لیے اہم نکات:
ان خصوصیات کو استعمال کرکے، آپ اس بات کا یقین کر سکتے ہیں کہ آپ کے جوابات درست ہیں، چاہے آپ نمبروں کی ترتیب یا گروپ بندی کو تبدیل کریں۔ ان اصولوں کو ذہن میں رکھیں، اور آپ دیکھیں گے کہ اضافہ نہ صرف آسان ہے بلکہ بہت مزہ بھی ہے!
اب جب کہ آپ کو اضافے کی متغیر اور ہم آہنگی کی خصوصیات معلوم ہیں، آپ نے اعداد کے ساتھ کام کرنے کے لیے طاقتور ٹولز سیکھ لیے ہیں۔ مزید ریاضی اور روزمرہ کے مسائل کو دریافت کرتے ہوئے ان ٹولز کے استعمال سے لطف اٹھائیں۔ یاد رکھیں، ریاضی کا جادو یہ ہے کہ یہ ہمیشہ سچ رہتا ہے، چاہے آپ اسے کیسے دیکھیں۔
