Bugun biz matematikadan ikkita juda foydali qoidani o'rganamiz. Bu qoidalar assotsiativ xususiyat va qo'shishning kommutativ xususiyati deb ataladi. Ular bizga raqamlarni qo'shganda, biz raqamlarning tartibini yoki guruhlanishini o'zgartirishimiz va hali ham bir xil javob olishimiz mumkinligini aytishadi. Ushbu darsda matematikani endigina o'rganishni boshlayotgan bo'lsangiz ham, hamma tushuna olishi uchun bu fikrlarni sodda tilda aniq misollar bilan tushuntirib beradi.
Qo'shish matematikaning eng muhim qismlaridan biridir. Raqamlarni qo'shsangiz, bir vaqtning o'zida nechta ekanligini bilish uchun ularni birlashtirasiz. Buni jumboq qismlarini birlashtirgandek tasavvur qiling. Misol uchun, sizda bir nechta olma bo'lsa va siz yana bir nechta olma olsangiz, jami nechta olma borligini bilish uchun ularni birlashtirasiz. Kundalik hayotimizda qo'shimcha o'yinchoqlar, shakarlamalar, qalamlar va boshqa ko'p narsalarni sanashimizga yordam beradi.
Qo'shishning kommutativ xususiyati bizga ikkita raqamni qo'shish tartibi natijani o'zgartirmasligini aytadi. Bu raqamlarni almashtirish bir xil summani berishini anglatadi. Tasavvur qiling, sizda 2 ta konfet bor, keyin yana 3 ta konfet olasiz. Avval 2 ni, keyin 3 ni yoki birinchi 3 ni va keyin 2 ni hisoblaysizmi, sizda hali ham 5 ta konfet bo'ladi.
Kommutativ xususiyatni quyidagicha yozishingiz mumkin:
\(\textrm{Har qanday raqamlar uchun } a \textrm{ va } b, \, a+b = b+a\) .
Bu qoida kichik raqamlarni yoki hatto katta raqamlarni sanashda juda foydali, chunki bu tartib muhim emasligini ko'rsatadi. Bu o'yinchoqlaringizni erga qanday qo'yishingizdan qat'iy nazar, o'yinchoqlar soni bir xil bo'lib qoladi, degan gapga o'xshaydi.
Qo'shishning assotsiativ xususiyati shuni ko'rsatadiki, biz uchta yoki undan ko'p sonlarni qo'shganda, ularni guruhlash usuli yakuniy yig'indiga ta'sir qilmaydi. Bu shuni anglatadiki, agar siz bir nechta raqamlarni qo'shsangiz, avval ulardan ikkitasini guruhlashingiz va keyin uchinchisini qo'shishingiz mumkin va javob aynan bir xil bo'ladi.
Buni misol bilan ko'rishingiz mumkin:
\(\textrm{Har qanday raqamlar uchun } a, b, \textrm{ va } c, \, (a+b)+c = a+(b+c)\) .
Tasavvur qiling, sizda bir piyola meva bor. Sizda 1 ta olma, 2 ta banan va 3 ta apelsin boʻlishi mumkin. Avval olma va bananlarni, keyin esa apelsinlarni qo'shishingiz mumkin. Yoki avval banan va apelsin qo'shing, keyin esa olma qo'shing. Qanday bo'lmasin, mevalarning umumiy soni bir xil.
Qo'shish - bu jami yig'ish. Qo'shsangiz, raqamlarni birlashtirasiz. Ba'zan raqamlar tartibini o'zgartirib, hisoblash osonroq bo'lishi mumkin. Kommutativ xususiyat sizga 3 + 5 yoki 5 + 3 qo'shishingiz muhim emasligini ko'rsatadi, chunki ularning ikkalasi ham 8 ga teng.
Assotsiativ xususiyat sizga raqamlarni guruhlashda erkinlik beradi. Tasavvur qiling, sizda uchta qoziq bloklari bor. Birinchi ikkita qoziqdagi bloklarni sanashingiz va keyin uchinchi qoziqdagi bloklarni qo'shishingiz mumkin. Yoki oxirgi ikkita qoziqdagi bloklarni sanashingiz va keyin birinchi qoziqdagi bloklarni qo'shishingiz mumkin. Qanday bo'lmasin, siz bir xil umumiy natijaga erishasiz. Bu matematikani osonlashtiradi, chunki siz eng oddiy bo'lgan guruhlashni tanlashingiz mumkin.
Ikkala qoida ham raqamlar haqida moslashuvchan tarzda o'ylashga yordam beradi. Ular sizga narsalarni o'zgartirsangiz ham, matematika o'zgarmasligini ko'rsatadi. Bu juda muhim, chunki siz muammoni hal qilishning turli usullarini topishingiz va har doim javobingiz to'g'ri ekanligini bilishingiz mumkin.
Muammo: Kommutativ xususiyatdan foydalanib 4 va 7 qo'shing.
1-qadam: Qo'shimchani asl ko'rinishida yozing: \(4 + 7\) .
2-qadam: Raqamlar tartibini almashtiring: \(7 + 4\) .
3-qadam: Ikkala ifodani ham hisoblang. Bizda ... bor:
Ikkala yo'l ham 11 ga javob berganligi sababli, kommutativ xususiyat ishlaydi!
Masala: \((2+3)+5\) qo‘shish masalasini yeching va u \(2+(3+5)\) bilan bir xil ekanligini ko‘rsating.
1-qadam: \((2+3)\) guruhidagi dastlabki ikkita raqamni qo'shing:
2-qadam: Endi natijani 5 ga qo'shing:
Muqobil guruhlash: Endi boshqa guruhga qo‘shib ko‘ring: \(2+(3+5)\) .
3-qadam: Avval \(3+5\) qo'shing:
4-qadam: Endi natijani 2 ga qo'shing:
Ikkala guruhlash ham bizga 10 ni beradi. Bu assotsiativ xususiyatning ishlashini ko'rsatadi, chunki \((2+3)+5 = 2+(3+5)\) .
Masala: \(1+(4+6)\) masalani kommutativ va assotsiativ xossalardan foydalanib yeching.
1-qadam: Avval qavsning ichki qismini yeching: \(4+6\) :
2-qadam: Endi natijaga 1 qo'shing:
Muqobil usul: Buyurtmani almashtirish orqali boshqa guruhlashdan foydalaning. Buni \((1+4)+6\) deb tasavvur qiling.
3-qadam: Avval \(1+4\) hisoblang:
4-qadam: Keyin natijaga 6 qo'shing:
Ikkala yo'l ham bir xil javob beradi: 11. Bu qo'shishni osonlashtirish uchun kommutativ va assotsiativ xususiyatlar birgalikda qanday ishlashini ko'rsatadi.
Kommutativ va assotsiativ xususiyatlar g'oyalari nafaqat maktab uchun - ular bizning kundalik hayotimizda juda foydali. O'yinchoqlar yoki gazaklar kabi narsalarni sanab o'tayotganingizda, bu qoidalar buyurtma yoki guruhlash haqida kamroq tashvishlanmasdan, tezroq qo'shishga yordam beradi.
Tasavvur qiling, siz tushlik uchun dasturxon tuzyapsiz. Plitalar, vilkalar va qoshiqlarni hisoblashingiz kerak. Qoshiqlardan oldin vilkalarni yoki qoshiqlarni sanash muhim emas - kommutativ xususiyat sizga bo'laklarning umumiy soni bir xil bo'lishini aytadi.
Yana bir misol, siz do'stlaringiz bilan shirinliklarni baham ko'rganingizda. Faraz qilaylik, sizda 3 ta konfet, 4 ta konfet va turli kosalardan 2 ta konfet bor. Assotsiativ xususiyat sizga birinchi navbatda har qanday ikkita kosadan shakar qo'shish va keyin uchinchisini qo'shish erkinligini beradi. (3+4)+2 yoki 3+(4+2) qo'shsangiz ham bir xil jami olasiz.
Bu oziq-ovqat do'konida ham mavjud. Turli xil meva yoki sabzavotlarning narxini qo'shayotganda, ularni istalgan tartibda qo'shishni yoki matematikani osonlashtiradigan tarzda guruhlashni tanlashingiz mumkin. Bu umumiy xarajatlarni o'zgartirmaydi. Bu xususiyatlar ko'plab kundalik hisoblarni sodda va tez qiladi.
Ushbu xususiyatlarni tushunish kelajakda hal qiladigan matematik muammolarning ko'p turlari uchun mustahkam poydevor yaratishga yordam beradi. Ular kichik yorliqlarga o'xshaydi, bu sizga raqamlarni hisoblash osonroq bo'lgan tarzda qayta tartiblash imkonini beradi. Ushbu xususiyatlarni o'rganganingizda va foydalansangiz, siz raqamlardagi naqshlarni ko'ra boshlaysiz va matematika haqida yaxshiroq fikrlashni rivojlantirasiz.
Bu xususiyatlarni raqamlar bilan o'yin o'ynash qoidalari sifatida tasavvur qiling. Kommutativ xususiyat o'yinchoqlaringizni javonda qayta joylashtirishga o'xshaydi. Ularni qanday qatorga qo'ysangiz ham, o'yinchoqlarning umumiy soni bir xil bo'lib qoladi. Assotsiativ xususiyat sizning gazaklaringizni do'stlaringiz bilan baham ko'rishdan oldin ularni guruhlash kabidir. Qaysi gazaklarni birlashtirganingiz muhim emas - yakuniy ulush har doim bir xil bo'ladi.
Bu fikrlar juda kuchli. Qo'shiladigan raqamlarning uzun ro'yxatini ko'rsangiz ham, muammoni kichikroq, osonroq qismlarga ajratish uchun kommutativ va assotsiativ xususiyatlardan foydalanishingiz mumkin. Bu sizning ishingizni tezroq va kamroq stressli qiladi.
Tasavvur qiling, siz qurilish bloklari bilan o'ynayapsiz. Har bir blokda raqam mavjud. Siz bloklaringizdagi raqamlarning umumiy miqdorini bilmoqchisiz. Ba'zan bloklarni turli tartibda yoki turli guruhlarda qo'shish dastlab chalkash tuyulishi mumkin. Ammo kommutativ xususiyatni eslab qolsangiz, bloklarning tartibini hech qanday muammosiz o'zgartirishingiz mumkin. Va assotsiativ xususiyatni eslaganingizda, bloklarni o'zingiz xohlagan tarzda guruhlashingiz mumkin. Buni qanday qilishingizdan qat'iy nazar, bloklaringizning umumiy soni bir xil bo'lib qoladi.
Buni rangli marmarlar kollektsiyangizni saralayotganingizda ko'rishingiz mumkin. Ba'zi marmarlarni birga sanashingiz mumkin, keyin esa boshqalarni sanashingiz yoki turli guruhlarni aralashtirishingiz mumkin. Qo'shish qoidalari jami har qanday holatda ham to'g'ri bo'lishini kafolatlaydi. Bu matematikani boshlagan har bir kishi uchun juda ishonchli g'oya.
Bu haqda o'ylashning yana bir qiziqarli usuli - mevali salat tayyorlayotganingizni tasavvur qilishdir. Siz olma, banan va qulupnayni istalgan tartibda qo'shishingiz yoki ba'zi mevalarni birga guruhlashingiz va keyin ularni idishga qo'shishingiz mumkin. Qanday bo'lmasin, siz hali ham bir xil mevali salatga egasiz. Kommutativ xususiyat sizga tartibni o'zgartirish imkonini beradi (olma, banan, keyin qulupnay yoki qulupnay, olma, keyin banan) va assotsiativ xususiyat birinchi navbatda qaysi mevalarni aralashtirishni tanlash imkonini beradi. Har holda, siz bir xil umumiy miqdorda meva olasiz.
Bu xususiyatlar keyinchalik kattaroq raqamlar haqida o'ylaganingizda ham yordam beradi. Bugun biz oddiy raqamlardan foydalansak ham, xuddi shu qoidalar kattaroq raqamlar uchun ham ishlaydi. Bu matematikani o'rganishni qiziqarli qiladi, chunki siz yoshligingizda o'rgangan qoidalar siz ulg'ayganingizda va murakkabroq muammolarga duch kelganingizda sizga amal qiladi.
Siz pulni hisoblaganingizda, qancha stikeringiz borligini rejalashtirganingizda yoki hatto oshxonada yordam berayotganingizda, siz ko'pincha narsalarni birga qo'shasiz. Kommutativ xususiyat sizga bir elementning narxini boshqasiga qo'shishingiz muhim emasligini aytadi - jami bir xil bo'lib qoladi. Misol uchun, agar siz 5 dollarga o'yinchoq va 7 dollarga kitob sotib olsangiz, ularni \(5+7\) yoki \(7+5\) sifatida qo'shishingiz mumkin. Qanday bo'lmasin, siz 12 dollar sarflaysiz.
Assotsiativ mulk xuddi shunday ishlaydi. Tushlik tayyorlaganingizda, turli xil oziq-ovqat mahsulotlarini bir joyga qo'yishingiz mumkin. Siz ularni istalgan tartibda guruhlashingiz mumkin. Agar sizda 3 ta sendvich, 2 ta olma va 4 ta banan bo'lsa, avval sendvich va olma qo'shib, keyin banan qo'shishingiz mumkin. Yoki avval olma va bananlarni qo'shib, keyin sendvichlarni qo'shishingiz mumkin. Oziq-ovqat mahsulotlarining umumiy soni har doim 9 bo'ladi. Bu xususiyatlardan foydalanish sizga tezda narsalarni qo'shishga va ishonchingiz komil bo'lmasa, ishingizni tekshirishga yordam beradi.
Hatto o'yinlar va jumboqlarda ham bu xususiyatlar juda foydali. Ko'pgina jumboqlar sizdan raqamlarni turli yo'llar bilan birlashtirishingizni so'raydi. Agar siz raqamlarni xohlaganingizcha aralashtirib, guruhlashingiz mumkinligini tushunsangiz, jumboqlarni tezroq hal qilishingiz va matematikadan ko'proq zavq olishingiz mumkin. Ushbu xususiyatlardan har safar foydalanganda siz o'yin va ijodiy tarzda fikrlash qobiliyatingizni charxlaysiz.
Ushbu darsda biz qo'shish raqamlarni birlashtirish ekanligini bilib oldik. Kommutativ xususiyat bizga raqamlarning tartibi javobni o'zgartirmasligini ko'rsatadi. Masalan, \(4+7\) yoki \(7+4\) yozasizmi, natija bir xil bo'ladi. Assotsiativ xususiyat bizga uchta yoki undan ortiq raqamni qo'shganda raqamlarni qanday guruhlash muhim emasligini aytadi. \((2+3)+5\) yoki \(2+(3+5)\) hisoblaysizmi, yig'indi o'zgarishsiz qoladi.
Bu ikki xususiyat matematikani oson va qiziqarli qilishda juda foydali. Ular bir-biriga qo'shganda raqamlarning tartibini yoki guruhlanishini o'zgartirishga imkon beradi. Bu fikr nafaqat sinfda, balki kundalik hayotda ham foydalidir. Qachonki siz o'yinchoqlaringizni hisoblasangiz, gazaklaringizni baham ko'rsangiz yoki xarid qilishda yordam bersangiz, siz o'zingiz bilmagan holda bu xususiyatlardan foydalanasiz.
Esingizda bo'lsin, matematika qiyin muammolarni soddalashtiradigan foydali qoidalarga to'la. Kommutativ va assotsiativ xususiyatlar sizning matematik asboblar qutingizdagi kichik vositalarga o'xshaydi. Ularning qanday ishlashini bilib olgach, muammolarni tez va ishonchli hal qilish uchun ulardan foydalanishingiz mumkin. Amaliyot bilan va atrofingizdagi dunyoda ushbu xususiyatlarni payqab, siz kuchliroq va ishonchli matematik bo'lasiz.
Esda tutish kerak bo'lgan asosiy fikrlar:
Ushbu xususiyatlardan foydalanib, siz raqamlarning tartibini yoki guruhlanishini o'zgartirsangiz ham, javoblaringiz to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin. Ushbu qoidalarni yodda tuting va siz qo'shish nafaqat oson, balki juda qiziqarli ekanligini bilib olasiz!
Endi siz qo'shishning kommutativ va assotsiativ xususiyatlarini bilganingizdan so'ng, siz raqamlar bilan ishlash uchun kuchli vositalarni o'rgandingiz. Ko'proq matematika va kundalik muammolarni o'rganayotganda ushbu vositalardan zavqlaning. Esingizda bo'lsin, matematikaning sehri shundaki, u har doim haqiqat bo'lib qoladi, siz unga qanday qarasangiz ham.
