Hôm nay chúng ta sẽ học hai quy tắc rất hữu ích trong toán học. Các quy tắc này được gọi là tính chất kết hợp và tính chất giao hoán của phép cộng. Chúng cho chúng ta biết rằng khi chúng ta cộng các số, chúng ta có thể thay đổi thứ tự hoặc nhóm các số và vẫn nhận được cùng một câu trả lời. Bài học này sẽ giải thích những ý tưởng này bằng ngôn ngữ đơn giản với các ví dụ rõ ràng để mọi người đều có thể hiểu, ngay cả khi bạn mới bắt đầu học toán.
Phép cộng là một trong những phần quan trọng nhất của toán học. Khi bạn cộng các số, bạn đang ghép chúng lại với nhau để tìm ra có bao nhiêu số cùng một lúc. Hãy nghĩ về nó giống như việc ghép các mảnh ghép của một câu đố. Ví dụ, nếu bạn có một số quả táo và bạn có thêm một vài quả nữa, bạn cộng chúng lại với nhau để xem tổng cộng bạn có bao nhiêu quả táo. Trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta, phép cộng giúp chúng ta đếm đồ chơi, kẹo, bút chì và nhiều thứ khác.
Tính chất giao hoán của phép cộng cho chúng ta biết rằng thứ tự bạn cộng hai số không làm thay đổi kết quả. Điều này có nghĩa là việc hoán đổi các số cho cùng một tổng. Hãy tưởng tượng bạn có 2 viên kẹo và sau đó bạn nhận được thêm 3 viên kẹo nữa. Cho dù bạn đếm số 2 trước rồi đếm số 3, hay số 3 trước rồi đếm số 2, bạn vẫn sẽ có 5 viên kẹo.
Bạn có thể viết tính chất giao hoán như thế này:
\(\textrm{Đối với bất kỳ số nào } a \textrm{ Và } b, \, a+b = b+a\) .
Quy tắc này rất hữu ích khi bạn đếm số nhỏ hoặc thậm chí số lớn vì nó cho bạn thấy thứ tự không quan trọng. Giống như nói rằng bất kể bạn đặt đồ chơi của mình trên sàn theo cách nào, số lượng đồ chơi vẫn giữ nguyên.
Tính chất kết hợp của phép cộng cho chúng ta biết rằng khi chúng ta cộng ba hoặc nhiều số lại với nhau, cách chúng ta nhóm chúng lại không ảnh hưởng đến tổng cuối cùng. Điều này có nghĩa là nếu bạn cộng một số số lại với nhau, bạn có thể nhóm bất kỳ hai số nào trong số chúng trước rồi cộng số thứ ba sau, và kết quả sẽ giống hệt nhau.
Bạn có thể thấy điều này qua ví dụ sau:
\(\textrm{Đối với bất kỳ số nào } a, b, \textrm{ Và } c, \, (a+b)+c = a+(b+c)\) .
Hãy tưởng tượng bạn có một bát trái cây. Bạn có thể có 1 quả táo, 2 quả chuối và 3 quả cam. Bạn có thể thêm táo và chuối trước, sau đó thêm cam. Hoặc bạn có thể thêm chuối và cam trước, sau đó thêm táo. Dù bằng cách nào, tổng số trái cây đều như nhau.
Phép cộng là về việc tạo tổng. Khi bạn cộng, bạn ghép các số lại với nhau. Đôi khi, bạn có thể thấy dễ đếm hơn bằng cách thay đổi thứ tự các số. Tính chất giao hoán cho bạn thấy rằng không quan trọng nếu bạn cộng 3 + 5 hoặc 5 + 3 vì cả hai đều bằng 8.
Tính chất kết hợp cho bạn sự tự do trong việc nhóm các số. Hãy tưởng tượng bạn có ba chồng khối. Bạn có thể đếm các khối trong hai chồng đầu tiên rồi cộng các khối trong chồng thứ ba. Hoặc bạn có thể đếm các khối trong hai chồng cuối cùng rồi cộng các khối trong chồng đầu tiên. Dù bằng cách nào, bạn cũng sẽ có cùng một tổng số. Điều này giúp việc tính toán dễ dàng hơn vì bạn có thể chọn cách nhóm mà bạn cảm thấy đơn giản nhất.
Cả hai quy tắc đều giúp bạn suy nghĩ về các con số theo cách linh hoạt. Chúng cho bạn thấy rằng ngay cả khi bạn thay đổi mọi thứ, phép toán vẫn giữ nguyên. Điều này rất quan trọng vì nó có nghĩa là bạn có thể tìm ra nhiều cách khác nhau để giải một bài toán và luôn biết rằng câu trả lời của bạn là đúng.
Bài toán: Cộng 4 và 7 bằng tính chất giao hoán.
Bước 1: Viết phép cộng ở dạng ban đầu: \(4 + 7\) .
Bước 2: Đảo ngược thứ tự các số: \(7 + 4\) .
Bước 3: Tính cả hai biểu thức. Ta có:
Vì cả hai cách đều cho đáp án là 11 nên tính chất giao hoán có hiệu quả!
Bài toán: Giải bài toán cộng \((2+3)+5\) và chứng minh rằng nó tương đương với \(2+(3+5)\) .
Bước 1: Cộng hai số đầu tiên trong nhóm \((2+3)\) :
Bước 2: Bây giờ cộng kết quả vào 5:
Nhóm thay thế: Bây giờ hãy thử thêm vào một nhóm khác: \(2+(3+5)\) .
Bước 3: Đầu tiên thêm \(3+5\) :
Bước 4: Bây giờ thêm kết quả vào 2:
Cả hai nhóm đều cho ta kết quả là 10. Điều này cho thấy tính chất kết hợp hoạt động vì \((2+3)+5 = 2+(3+5)\) .
Bài toán: Giải bài toán \(1+(4+6)\) bằng cả tính chất giao hoán và tính chất kết hợp.
Bước 1: Đầu tiên giải phần bên trong dấu ngoặc đơn: \(4+6\) :
Bước 2: Bây giờ thêm 1 vào kết quả:
Phương pháp thay thế: Sử dụng một nhóm khác bằng cách đổi thứ tự. Hãy nghĩ về nó như \((1+4)+6\) .
Bước 3: Đầu tiên tính \(1+4\) :
Bước 4: Sau đó cộng 6 vào kết quả:
Cả hai cách đều đưa ra cùng một câu trả lời: 11. Điều này cho thấy tính chất giao hoán và kết hợp hoạt động cùng nhau như thế nào để làm cho phép cộng dễ hơn.
Các ý tưởng về tính chất giao hoán và kết hợp không chỉ dành cho trường học—chúng rất hữu ích trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta. Khi bạn đếm đồ vật, như đồ chơi hoặc đồ ăn nhẹ, các quy tắc này giúp bạn cộng nhanh hơn và ít lo lắng hơn về thứ tự hoặc nhóm.
Hãy tưởng tượng bạn đang dọn bàn ăn trưa. Bạn cần đếm số đĩa, nĩa và thìa. Không quan trọng là bạn đếm nĩa trước thìa hay thìa trước—tính chất giao hoán cho bạn biết rằng tổng số miếng sẽ bằng nhau.
Một ví dụ khác là khi bạn chia kẹo với bạn bè. Giả sử bạn có 3 viên kẹo, 4 viên kẹo và 2 viên kẹo từ các bát khác nhau. Tính chất kết hợp cho phép bạn tự do thêm kẹo từ bất kỳ hai bát nào trước rồi thêm viên thứ ba. Cho dù bạn cộng (3+4)+2 hay 3+(4+2), bạn vẫn nhận được tổng số như nhau.
Điều này cũng đúng trong cửa hàng tạp hóa. Khi bạn cộng giá của các loại trái cây hoặc rau quả khác nhau, bạn có thể chọn thêm chúng theo bất kỳ thứ tự nào hoặc nhóm chúng theo cách giúp tính toán dễ dàng hơn. Nó không làm thay đổi tổng chi phí. Những đặc tính này giúp nhiều phép tính hàng ngày trở nên đơn giản và nhanh chóng.
Hiểu được những đặc tính này giúp xây dựng nền tảng vững chắc cho nhiều loại bài toán mà bạn sẽ giải trong tương lai. Chúng giống như những lối tắt nhỏ cho phép bạn sắp xếp lại các con số theo cách dễ tính toán hơn. Khi bạn học và sử dụng những đặc tính này, bạn bắt đầu thấy được các mô hình trong các con số và phát triển cách suy nghĩ tốt hơn về toán học.
Hãy nghĩ về những đặc tính này như các quy tắc để chơi trò chơi với các con số. Tính chất giao hoán giống như việc sắp xếp lại đồ chơi của bạn trên một cái kệ. Bất kể bạn xếp chúng theo cách nào, tổng số đồ chơi vẫn giữ nguyên. Tính chất kết hợp giống như việc nhóm các món ăn nhẹ của bạn lại trước khi chia sẻ chúng với bạn bè. Không quan trọng bạn nhóm những món ăn nhẹ nào lại với nhau—phần chia cuối cùng luôn giống nhau.
Những ý tưởng này rất mạnh mẽ. Ngay cả khi bạn thấy một danh sách dài các số cần cộng, bạn có thể sử dụng các tính chất giao hoán và kết hợp để chia nhỏ bài toán thành các phần nhỏ hơn, dễ hơn. Điều này giúp công việc của bạn nhanh hơn và ít căng thẳng hơn.
Hãy tưởng tượng bạn đang chơi với các khối xây dựng. Mỗi khối có một con số trên đó. Bạn muốn biết tổng số các con số trên các khối của mình. Đôi khi, việc thêm các khối theo thứ tự khác nhau hoặc vào các nhóm khác nhau có thể có vẻ khó hiểu lúc đầu. Nhưng khi bạn nhớ tính chất giao hoán, bạn có thể thay đổi thứ tự của các khối mà không gặp vấn đề gì. Và, khi bạn nhớ tính chất kết hợp, bạn có thể nhóm các khối theo bất kỳ cách nào bạn thích. Bất kể bạn làm như thế nào, tổng số trên các khối của bạn vẫn giữ nguyên chính xác.
Bạn có thể thấy điều này khi bạn đang sắp xếp bộ sưu tập bi nhiều màu của mình. Bạn có thể đếm một số viên bi cùng nhau rồi đếm những viên khác, hoặc bạn có thể trộn các nhóm khác nhau. Các quy tắc cộng đảm bảo rằng tổng số sẽ chính xác theo cả hai cách. Đây là một ý tưởng rất đáng tin cậy cho bất kỳ ai mới bắt đầu học toán.
Một cách thú vị khác để nghĩ về nó là tưởng tượng bạn đang làm một món salad trái cây. Bạn có thể thêm táo, chuối và dâu tây theo bất kỳ thứ tự nào, hoặc nhóm một số loại trái cây lại với nhau rồi cho vào bát. Dù bằng cách nào, bạn vẫn có cùng một món salad trái cây. Tính chất giao hoán cho phép bạn thay đổi thứ tự (táo, chuối, sau đó là dâu tây hoặc dâu tây, táo, sau đó là chuối) và tính chất kết hợp cho phép bạn quyết định loại trái cây nào sẽ trộn với nhau trước. Trong mọi trường hợp, bạn sẽ có được tổng lượng trái cây như nhau.
Những đặc tính này cũng giúp ích khi bạn nghĩ về những con số lớn hơn sau này. Mặc dù chúng ta đang sử dụng những con số đơn giản ngày nay, nhưng các quy tắc tương tự cũng áp dụng cho những con số lớn hơn. Điều này làm cho việc học toán trở nên thú vị vì các quy tắc bạn học khi còn nhỏ sẽ theo bạn khi bạn lớn lên và đối mặt với những bài toán phức tạp hơn.
Khi bạn đếm tiền, lên kế hoạch xem bạn có bao nhiêu nhãn dán, hoặc thậm chí khi bạn giúp việc trong bếp, bạn thường cộng các thứ lại với nhau. Tính chất giao hoán cho bạn biết rằng không quan trọng nếu bạn cộng chi phí của một mặt hàng trước mặt hàng khác—tổng số vẫn giữ nguyên. Ví dụ, nếu bạn mua một món đồ chơi giá 5 đô la và một cuốn sách giá 7 đô la, bạn có thể cộng chúng lại thành \(5+7\) hoặc \(7+5\) . Dù bằng cách nào, bạn cũng phải chi 12 đô la.
Tính chất liên kết cũng hoạt động tương tự. Khi bạn chuẩn bị bữa trưa, bạn có thể sắp xếp các loại thực phẩm khác nhau. Bạn có thể nhóm chúng theo bất kỳ thứ tự nào. Nếu bạn có 3 chiếc bánh sandwich, 2 quả táo và 4 quả chuối, bạn có thể thêm bánh sandwich và táo trước rồi mới thêm chuối. Hoặc bạn có thể thêm táo và chuối trước rồi mới thêm bánh sandwich. Tổng số lượng thực phẩm sẽ luôn là 9. Sử dụng các tính chất này có thể giúp bạn cộng nhanh và kiểm tra công việc của mình nếu bạn không chắc chắn.
Ngay cả trong trò chơi và câu đố, những đặc tính này cũng rất hữu ích. Nhiều câu đố yêu cầu bạn kết hợp các con số theo nhiều cách khác nhau. Nếu bạn hiểu rằng bạn có thể trộn và nhóm các con số theo bất kỳ cách nào bạn thích, bạn có thể giải câu đố nhanh hơn và vui hơn với toán học. Mỗi lần bạn sử dụng những đặc tính này, bạn đang mài giũa kỹ năng tư duy của mình theo cách vui tươi và sáng tạo.
Trong bài học này, chúng ta đã học rằng phép cộng là về việc ghép các số lại với nhau. Tính chất giao hoán cho chúng ta thấy rằng thứ tự của các số không làm thay đổi câu trả lời. Ví dụ, cho dù bạn viết \(4+7\) hay \(7+4\) thì kết quả vẫn như nhau. Tính chất kết hợp cho chúng ta biết rằng khi cộng ba số trở lên, cách bạn nhóm các số không quan trọng. Cho dù bạn tính \((2+3)+5\) hay \(2+(3+5)\) thì tổng vẫn không đổi.
Hai tính chất này rất hữu ích trong việc làm cho toán học trở nên dễ dàng và thú vị. Chúng cho phép bạn thay đổi thứ tự hoặc nhóm các số khi bạn cộng chúng lại với nhau. Ý tưởng này không chỉ hữu ích trong lớp học mà còn trong cuộc sống hàng ngày. Bất cứ khi nào bạn đếm đồ chơi, chia sẻ đồ ăn nhẹ hoặc giúp mua sắm, bạn đang sử dụng những tính chất này mà thậm chí không biết.
Hãy nhớ rằng, toán học có đầy đủ các quy tắc hữu ích có thể làm cho các bài toán khó trở nên đơn giản hơn. Các tính chất giao hoán và kết hợp giống như những công cụ nhỏ trong hộp công cụ toán học của bạn. Khi bạn học được cách chúng hoạt động, bạn có thể sử dụng chúng để giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và tự tin. Với sự luyện tập và bằng cách nhận thấy những tính chất này trong thế giới xung quanh, bạn sẽ trở thành một nhà toán học mạnh mẽ và tự tin hơn.
Những điểm chính cần nhớ:
Bằng cách sử dụng các tính chất này, bạn có thể chắc chắn rằng câu trả lời của mình là đúng, bất kể bạn có thay đổi thứ tự hay nhóm các số hay không. Hãy ghi nhớ các quy tắc này và bạn sẽ thấy rằng phép cộng không chỉ dễ mà còn rất thú vị!
Bây giờ bạn đã biết các tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng, bạn đã học được các công cụ mạnh mẽ để làm việc với các con số. Hãy tận hưởng việc sử dụng các công cụ này trong khi khám phá thêm toán học và các vấn đề hàng ngày. Hãy nhớ rằng, phép thuật của toán học là nó luôn đúng, bất kể bạn nhìn nhận nó như thế nào.
