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figures en 3 dimensions

Figures en 3 dimensions

Dans cette leçon, nous allons découvrir les figures tridimensionnelles (3D). Ce sont des formes qui ont une longueur, une largeur et une hauteur. Vous pouvez les toucher car elles occupent de l'espace. Nous voyons de nombreuses figures tridimensionnelles dans notre quotidien, comme les glaçons, les balles, les boîtes et les canettes.

Introduction

Une figure 3D est une forme qui n'est pas plane. Contrairement à un dessin sur papier, ces formes ont de la profondeur. Lorsqu'on parle de formes 3D, on étudie les parties telles que les faces, les arêtes et les sommets. Elles nous aident à comprendre comment la forme est construite.

Chaque jour, nous voyons de nombreux objets aux formes tridimensionnelles. Un cube, une boîte de soupe ou un ballon en sont des exemples courants. En apprenant à les connaître, nous pouvons compter leurs parties et même effectuer des calculs simples comme le volume ou l'espace qu'elles contiennent. Connaître ces formes nous aide à comprendre le monde qui nous entoure.

Formes 3D de base

Examinons quelques formes 3D courantes et apprenons-en un peu plus sur chacune d’elles.

• Cube : Un cube possède 6 faces. Toutes les faces sont carrées et de même taille. Il possède également 12 arêtes et 8 sommets. On peut voir un cube dans un dé ou un bloc avec lequel on joue.
• Prisme rectangulaire : Cette forme ressemble à un cube, mais ses faces sont rectangulaires. Il possède 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Une boîte à chaussures ou une brique sont de bons exemples de prisme rectangulaire.
• Sphère : Une sphère est ronde, comme un ballon. Sa surface est incurvée. Elle n'a ni arêtes ni sommets. De nombreux ballons et bulles de sport ont une forme sphérique.
• Cylindre : Un cylindre possède deux bases circulaires entourées d'une surface incurvée. Une boîte de soupe ou un rouleau à pâtisserie est un cylindre. Il possède trois surfaces au total.
• Cône : Un cône a une base ronde et un sommet pointu. Un cornet de glace en est un exemple courant. Il a également une surface incurvée et une base plate.
• Pyramide : Une pyramide a pour base un polygone, généralement un carré, et des faces triangulaires qui se rejoignent en un seul point. Une pyramide en jouet ou les célèbres pyramides d'Égypte en sont de parfaits exemples.

Chacune de ces formes possède ses propres propriétés. Bien qu'il s'agisse de figures 3D, leur apparence et leur fonctionnement dans le monde réel sont différents.

Comprendre les parties des figures 3D

Lorsque nous étudions des figures en 3D, nous apprenons trois parties importantes :

• Faces : Ce sont les surfaces planes ou courbes qui constituent l'extérieur d'une forme. Par exemple, un cube possède six faces carrées.
• Arêtes : Ce sont les lignes où deux faces se rencontrent. Dans un cube, il y a 12 arêtes.
• Sommets : Ce sont les points où les arêtes se rencontrent. Un cube possède 8 sommets.

Connaître ces parties permet de décrire et de travailler plus facilement avec différentes formes.

Volume et espace dans les figures 3D

Le volume nous indique l'espace disponible à l'intérieur d'une forme 3D. Imaginez que vous remplissiez une forme de petits cubes. Le nombre de cubes que vous pouvez y placer correspond au volume de la forme. Chaque forme possède sa propre formule de volume.

Par exemple, le volume d'un cube peut être trouvé à l'aide de la formule :

\( V = a^3 \)

Ici, \( a \) représente la longueur d'un côté du cube. Le volume d'un prisme rectangulaire se calcule par :

\( V = l \times w \times h \)

Où \( l \) est la longueur, \( w \) est la largeur et \( h \) est la hauteur.

Pour un cylindre, le volume est donné par :

\( V = \pi r^2 h \)

Ici, \( r \) est le rayon de la base circulaire et \( h \) est la hauteur. Nous pouvons utiliser ces formules pour déterminer l'espace disponible à l'intérieur de nos formes.

Surface des figures 3D

L'aire de surface est l'aire totale de toutes les faces d'une forme 3D. Elle indique la quantité de matériau nécessaire pour recouvrir l'extérieur de la forme. Par exemple, pour emballer une boîte avec du papier, il faut recouvrir sa surface.

Bien que les formules de calcul de l'aire de surface puissent être plus complexes, le principe est simple : additionner l'aire de chaque face. Pour un cube de côté \( a \) , l'aire de surface est :

\( SA = 6a^2 \)

C'est parce que les six faces ont chacune une aire de \( a^2 \) .

Exemple résolu 1 : Trouver le volume d'un cube

Problème : Trouver le volume d'un cube dont la longueur du côté est de 3 unités.

Solution:

1. Écrivez la formule du volume d'un cube :
   \( V = a^3 \)
2. Remplacez la longueur du côté dans la formule :
   \( V = (3)^3 \)
3. Calculer le volume :
   \( V = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)
4. Le volume du cube est de 27 unités cubiques.

Cet exemple nous montre comment l’utilisation d’une formule simple nous aide à savoir combien d’espace possède un cube.

Exemple résolu 2 : Déterminer le volume d'un prisme rectangulaire

Problème : Trouvez le volume d'un prisme rectangulaire d'une longueur de 4 unités, d'une largeur de 3 unités et d'une hauteur de 2 unités.

Solution:

1. Écrivez la formule du volume d'un prisme rectangulaire :
   \( V = l \times w \times h \)
2. Remplacez les valeurs dans la formule :
   \( V = 4 \times 3 \times 2 \)
3. Multipliez les nombres étape par étape :
   Tout d’abord, multipliez 4 et 3 pour obtenir 12.
   Ensuite, multipliez 12 par 2 pour obtenir 24.
4. Le volume du prisme rectangulaire est de 24 unités cubes.

Cet exemple nous explique comment multiplier trois nombres pour trouver l’espace à l’intérieur d’une forme en forme de boîte.

Exemple résolu 3 : Trouver le volume d'un cylindre

Problème : Trouver le volume d'un cylindre avec un rayon de 2 unités et une hauteur de 5 unités.

Solution:

1. Écrivez la formule du volume d'un cylindre :
   \( V = \pi r^2 h \)
2. Remplacez les valeurs dans la formule :
   \( V = \pi \times (2)^2 \times 5 \)
3. Calculer le rayon au carré :
   \( (2)^2 = 4 \)
4. Multiplier par la hauteur :
   \( 4 \times 5 = 20 \)
5. Le volume est:
   \( V = 20\pi \)
6. Si nous utilisons l'approximation \(\pi \approx 3.14\) , le volume est approximativement :
   \( V \approx 20 \times 3.14 = 62.8 \) unités cubes.

Cet exemple nous montre comment utiliser la formule d'un cylindre. Il nous apprend également à utiliser \(\pi\) dans nos calculs.

Applications concrètes des figures 3D

Les figures 3D sont omniprésentes. Voici quelques exemples pour vous aider à comprendre leur importance :

• Cube et prisme rectangulaire : De nombreuses boîtes, blocs de construction et même certaines pièces présentent ces formes. Lorsque vous jouez avec des blocs ou transportez une boîte, vous utilisez le concept de formes 3D.
• Sphère : Les ballons utilisés dans des sports comme le football ou le basket-ball sont des sphères. Un fruit rond comme une orange peut également être considéré comme une sphère, car il est entièrement rond.
• Cylindre : Les canettes, les verres et de nombreux contenants de stockage ont une forme cylindrique. Leur surface incurvée facilite leur transport et leur manipulation.
• Cône : Les cornets de glace, les cônes de signalisation et les chapeaux de fête sont des exemples de cônes. Leur sommet pointu et leur base ronde les rendent uniques.
• Pyramide : Outre les célèbres pyramides d'Égypte, on en trouve parfois dans l'architecture moderne ou sur des jouets. Elles sont intéressantes car elles possèdent une base large et pointue.

Comprendre ces formes nous aide à concevoir des objets réels et même à résoudre des problèmes quotidiens tels que l’emballage, la construction ou simplement jouer avec des jouets.

Propriétés et variations supplémentaires

Bien que nous ayons appris les propriétés de base des formes 3D courantes, il existe d’autres idées intéressantes à explorer :

• Symétrie : De nombreuses formes 3D possèdent des propriétés symétriques. Cela signifie qu'elles peuvent être divisées en parties égales d'apparence identique. Par exemple, un cube peut être divisé en deux moitiés égales de différentes manières.
• Rotation : Certaines formes ont la même apparence même lorsqu'elles sont tournées. Une sphère, par exemple, a la même apparence sous tous les angles.
• Mise à l'échelle : Une forme peut être agrandie ou réduite. Si l'on augmente le côté d'un cube, son volume augmente. Cela nous enseigne la proportionnalité et comment la modification d'une mesure affecte la forme entière.

Ces propriétés nous aident à percevoir la beauté et la logique des formes simples. Elles nous aident également à résoudre des énigmes pratiques en mathématiques et en design.

Exemples et activités du quotidien

Imaginez jouer avec des blocs de construction. Chaque bloc est un petit prisme rectangulaire ou un cube. Construire une tour, c'est empiler des figures en 3D. Regardez autour de vous chez vous. De nombreux objets comme des chaises, des tables et même des jouets ont des formes en 3D. Ces exemples montrent que les mathématiques ne se limitent pas aux livres : elles sont partout !

Votre enseignant pourrait apporter des jouets ou des outils simples en classe pour vous aider à visualiser ces formes. Observer des objets du quotidien peut rendre l'apprentissage des figures en 3D amusant et facile. En étant attentif, vous reconnaîtrez ces formes dans les supermarchés, les parcs et même dans la cour de récréation.

Explorer par le dessin

Vous pouvez également vous entraîner à dessiner ces formes 3D sur papier. Commencez par dessiner un carré simple. Ensuite, dessinez un autre carré légèrement à l'écart du premier. Reliez ensuite leurs angles par des lignes. Ce dessin peut devenir un cube ! En reliant différentes formes de votre dessin, vous comprendrez comment les faces s'assemblent dans les objets 3D.

Le dessin aide notre esprit à visualiser le fonctionnement de l'espace. En dessinant un rectangle et en ajoutant un peu de profondeur, vous créez une boîte en 3D. Utilisez vos crayons de couleur pour faire ressortir chaque face. Cette activité peut vous aider à mémoriser les éléments des formes 3D, comme les faces, les arêtes et les sommets.

Comparaison des figures 2D et 3D

Il est important de connaître la différence entre les formes bidimensionnelles (2D) et tridimensionnelles (3D). Une forme bidimensionnelle, comme un carré ou un cercle, n'a que sa longueur et sa largeur. Elle est plane, comme un dessin sur papier. En revanche, une forme tridimensionnelle possède une dimension supplémentaire : la hauteur. Cette dimension supplémentaire rend la forme réelle et palpable.

Par exemple, un cercle dessiné sur du papier est en 2D. En revanche, une balle est une sphère en 3D. On peut la tenir dans la main. Cette dimension supplémentaire confère aux objets du volume et de l'espace.

Comprendre l'importance des figures 3D en géométrie

Les figures 3D jouent un rôle essentiel en géométrie. La géométrie nous aide à comprendre les formes, les dimensions et les propriétés de l'espace. En étudiant les figures 3D, nous apprenons non seulement à quoi ressemblent les objets, mais aussi comment ils fonctionnent. Ces connaissances sont très utiles pour la construction, la conception et la création artistique.

Les ingénieurs et les architectes utilisent des formes 3D pour concevoir des bâtiments. Les artistes les utilisent pour créer des sculptures. Même les jeux vidéo utilisent des figures 3D pour donner vie à des personnages et à des univers. Apprendre ces formes dès le plus jeune âge ouvre la voie à de nombreuses carrières prometteuses.

Résumé des points clés

Aujourd'hui, nous avons appris plusieurs idées importantes liées aux figures en 3 dimensions :

• Définition : Les formes 3D ont une longueur, une largeur et une hauteur. Elles occupent de l'espace et peuvent être touchées.
• Formes courantes : Le cube, le prisme rectangulaire, la sphère, le cylindre, le cône et la pyramide sont des exemples de figures en 3D que nous voyons tous les jours.
• Parties des figures 3D : les faces, les arêtes et les sommets décrivent la structure d'une forme. Par exemple, un cube possède 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.
• Volume : Le volume indique l'espace disponible à l'intérieur d'une forme tridimensionnelle. Nous avons appris des formules telles que \( V = a^3 \) pour un cube et \( V = l \times w \times h \) pour un prisme rectangulaire.
• Aire de surface : L'aire de surface est l'aire totale de toutes les faces d'une forme. Pour un cube, la formule est \( SA = 6a^2 \) .
• Exemples résolus : Nous avons résolu des exemples pour un cube, un prisme rectangulaire et un cylindre. Ces exemples ont montré des méthodes étape par étape pour calculer le volume.
• Applications concrètes : Les objets du quotidien comme les boîtes, les balles et les canettes sont des exemples de formes 3D. On les retrouve dans nos maisons, nos écoles et nos terrains de jeux.
• Concepts supplémentaires : des concepts tels que la symétrie, la rotation et la mise à l’échelle nous aident à mieux comprendre comment les formes fonctionnent et changent.
• Comparaison avec les figures 2D : Contrairement aux formes 2D, les figures 3D ont de la profondeur. Cela les rend réelles et palpables.

En apprenant ces points, vous disposez désormais de bases solides pour les figures tridimensionnelles. N'oubliez pas que les mathématiques sont omniprésentes et qu'observer les formes du quotidien rend l'apprentissage amusant et utile.

Continuez à mettre en pratique ce que vous avez appris en observant les objets qui vous entourent. Observez comment un cube, une sphère ou un cylindre sont utilisés de différentes manières. Cela vous aidera à percevoir la beauté de la géométrie et à mieux résoudre les problèmes.

Cette leçon n'est qu'un début. À mesure que vous progresserez et apprendrez davantage de mathématiques, vous découvrirez des aspects encore plus passionnants des figures 3D et de la géométrie. Amusez-vous à explorer et à nourrir votre curiosité !