Back to the topics list

trodimenzionalne figure

Trodimenzionalne figure

U ovoj lekciji učit ćemo o trodimenzionalnim (3D) likovima. To su oblici koji imaju duljinu, širinu i visinu. Možete dodirnuti ove oblike jer zauzimaju prostor. U svakodnevnom životu vidimo mnogo 3D likova. Primjeri uključuju kocke leda, lopte, kutije i limenke.

Uvod

3D figura je oblik koji nije ravan. Za razliku od crteža na papiru, ovi oblici imaju dubinu. Kada govorimo o 3D oblicima, učimo o dijelovima poput strana, rubova i vrhova. Oni nam pomažu da shvatimo kako je oblik izgrađen.

Svakodnevno vidite mnoge predmete s 3D oblicima. Igračka kocka, konzerva juhe ili lopta svakodnevni su primjeri. Učenjem o ovim oblicima možemo prebrojati njihove dijelove, pa čak i izvršiti jednostavne izračune poput volumena ili prostora unutar njih. Poznavanje ovih oblika pomaže nam da razumijemo svijet oko nas.

Osnovni 3D oblici

Pogledajmo neke uobičajene 3D oblike i naučimo ponešto o svakom od njih.

• Kocka : Kocka ima 6 strana. Sve strane su kvadrati i jednake su veličine. Također ima 12 bridova i 8 vrhova. Kocku možete vidjeti u kocki ili bloku s kojim igrate.
• Pravokutna prizma : Ovaj oblik je sličan kocki, ali su joj stranice pravokutnici. Ima 6 stranica, 12 bridova i 8 vrhova. Kutija za cipele ili cigla dobar su primjer pravokutne prizme.
• Sfera : Sfera je okrugla, poput lopte. Ima jednu zakrivljenu površinu. Nema rubove ni vrhove. Mnoge sportske lopte i mjehurići su sfernog oblika.
• Cilindar : Cilindar ima dvije kružne baze sa zakrivljenom površinom koja ide uokolo. Konzerva juhe ili oklagija je cilindar. Ima ukupno 3 površine.
• Kornet : Kornet ima okruglu bazu i šiljast vrh. Kornet za sladoled je čest primjer. Također ima zakrivljenu površinu i jednu ravnu bazu.
• Piramida : Piramida ima poligon kao bazu, obično kvadrat, i trokutaste strane koje se susreću u jednoj točki. Igračka piramida ili poznate piramide u Egiptu savršeni su primjeri.

Svaki od ovih oblika ima svoja posebna svojstva. Iako su svi 3D figure, u stvarnom svijetu izgledaju i funkcioniraju na različite načine.

Razumijevanje dijelova 3D figura

Kada proučavamo 3D figure, učimo tri važna dijela:

• Stranice : To su ravne ili zakrivljene površine koje čine vanjsku stranu oblika. Na primjer, kocka ima 6 kvadratnih strana.
• Rubovi : To su linije gdje se susreću dvije strane. U kocki postoji 12 rubova.
• Vrhovi : To su točke gdje se rubovi susreću. Kocka ima 8 vrhova.

Poznavanje ovih dijelova olakšava opisivanje i rad s različitim oblicima.

Volumen i prostor u 3D figurama

Volumen nam govori koliko prostora ima unutar 3D oblika. Zamislite da ispunjavate oblik malim kockicama. Broj kockica koje možete staviti unutra je volumen oblika. Svaki oblik ima svoju formulu za volumen.

Na primjer, volumen kocke može se pronaći pomoću formule:

\( V = a^3 \)

Ovdje \( a \) označava duljinu jedne stranice kocke. Volumen pravokutne prizme izračunava se na sljedeći način:

\( V = l \times w \times h \)

Gdje je \( l \) duljina, \( w \) širina, a \( h \) visina.

Za cilindar, volumen je dan izrazom:

\( V = \pi r^2 h \)

Ovdje je \( r \) polumjer kružne baze, a \( h \) visina. Ove formule možemo koristiti kako bismo saznali koliko je prostora unutar naših oblika.

Površina 3D figura

Površina je ukupna površina svih strana 3D oblika. Ona nam govori koliko je materijala potrebno za prekrivanje vanjske strane oblika. Na primjer, ako želite omotati kutiju papirom, morate prekriti njezinu površinu.

Iako formule za površinu mogu biti složenije, ideja je jednostavna: zbrojite površinu svake strane. Za kocku sa stranicom \( a \) , površina je:

\( SA = 6a^2 \)

To je zato što svih šest strana imaju površinu od \( a^2 \) .

Riješeni primjer 1: Određivanje volumena kocke

Problem: Izračunajte volumen kocke s duljinom stranice 3 jedinice.

Otopina:

1. Napišite formulu za volumen kocke:
   \( V = a^3 \)
2. U formulu uvrstimo duljinu stranice:
   \( V = (3)^3 \)
3. Izračunajte volumen:
   \( V = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)
4. Volumen kocke je 27 kubnih jedinica.

Ovaj primjer nam pokazuje kako nam korištenje jednostavne formule pomaže da znamo koliko prostora ima kocka.

Riješeni primjer 2: Određivanje volumena pravokutne prizme

Problem: Izračunajte volumen pravokutne prizme duljine 4 jedinice, širine 3 jedinice i visine 2 jedinice.

Otopina:

1. Napišite formulu za volumen pravokutne prizme:
   \( V = l \times w \times h \)
2. Zamijenite vrijednosti u formulu:
   \( V = 4 \times 3 \times 2 \)
3. Množite brojeve korak po korak:
   Prvo, pomnožite 4 i 3 da biste dobili 12.
   Zatim pomnožite 12 s 2 da biste dobili 24.
4. Volumen pravokutne prizme je 24 kubne jedinice.

Ovaj primjer nam pokazuje kako pomnožiti tri broja kako bismo pronašli prostor unutar oblika nalik kutiji.

Riješeni primjer 3: Određivanje volumena cilindra

Problem: Izračunajte volumen cilindra s polumjerom od 2 jedinice i visinom od 5 jedinica.

Otopina:

1. Napišite formulu za volumen cilindra:
   \( V = \pi r^2 h \)
2. Zamijenite vrijednosti u formulu:
   \( V = \pi \times (2)^2 \times 5 \)
3. Izračunajte kvadrat radijusa:
   \( (2)^2 = 4 \)
4. Pomnožite s visinom:
   \( 4 \times 5 = 20 \)
5. Volumen je:
   \( V = 20\pi \)
6. Ako koristimo aproksimaciju \(\pi \approx 3.14\) , volumen je približno:
   \( V \approx 20 \times 3.14 = 62.8 \) kubičnih jedinica.

Ovaj primjer nam pokazuje kako koristiti formulu za cilindar. Također nas uči kako raditi s \(\pi\) u našem izračunu.

Primjena 3D figura u stvarnom svijetu

3D figure su svuda oko nas. Evo nekoliko primjera koji će vam pomoći da shvatite koliko su važne:

• Kocka i pravokutna prizma: Mnoge kutije, građevni blokovi, pa čak i neke sobe imaju ove oblike. Kada se igrate s igračkama-blokovima ili nosite kutiju, koristite ideju 3D oblika.
• Sfera: Lopte koje se koriste u sportovima poput nogometa ili košarke su sfere. Okruglo voće poput naranče također se može smatrati sferom jer je okruglo sa svih strana.
• Cilindar: Limenke, čaše za piće i mnoge posude za pohranu imaju oblik cilindara. Zakrivljena površina olakšava ih kotrljanje i držanje.
• Kornet: Korneti za sladoled, prometni čunjevi i kape za zabave su primjeri korneta. Šiljasti vrh i okrugla baza čine ih jedinstvenima.
• Piramida: Osim poznatih piramida u Egiptu, ponekad možete vidjeti piramide i u modernoj arhitekturi ili u igračkama. Zanimljive su jer imaju široku bazu koja se završava u špicu.

Razumijevanje ovih oblika pomaže nam u dizajniranju predmeta iz stvarnog života, pa čak i u rješavanju svakodnevnih problema poput pakiranja, gradnje ili jednostavnog igranja s igračkama.

Dodatna svojstva i varijacije

Iako smo naučili osnovna svojstva uobičajenih 3D oblika, postoje i druge zanimljive ideje za istraživanje:

• Simetrija: Mnogi 3D oblici imaju simetrična svojstva. To znači da se mogu podijeliti na jednake dijelove koji izgledaju isto. Na primjer, kocka se može podijeliti na jednake polovice na mnogo različitih načina.
• Rotacija: Neki oblici izgledaju isto čak i kada se okrenu ili rotiraju. Kugla, na primjer, izgleda isto iz svakog kuta.
• Skaliranje: Oblik se može povećati ili smanjiti. Ako povećate stranicu kocke, povećava se i njezin volumen. To nas uči o proporcionalnosti i kako promjena jedne mjere utječe na cijeli oblik.

Ova svojstva nam pomažu da vidimo ljepotu i logiku u jednostavnim oblicima. Također pomažu u rješavanju praktičnih zagonetki u matematici i dizajnu.

Svakodnevni primjeri i aktivnosti

Zamislite da se igrate s građevinskim blokovima. Svaki blok je mala pravokutna prizma ili kocka. Kada gradite toranj, slažete 3D figure. Pogledajte oko sebe u svom domu. Mnogi predmeti poput stolica, stolova, pa čak i nekih igračaka imaju 3D oblike. Ovi primjeri pokazuju da matematika nije samo u knjizi - ona je posvuda!

Vaš učitelj može donijeti igračke ili jednostavne alate u razred kako bi vam pomogao da uživo vidite te oblike. Promatranje svakodnevnih predmeta može učiniti učenje 3D figura zabavnim i lakim. Obraćajući pažnju, prepoznat ćete ove oblike u supermarketima, parkovima, pa čak i na igralištu.

Istraživanje kroz crtanje

Također možete vježbati crtanje ovih 3D oblika na papiru. Započnite crtanjem jednostavnog kvadrata. Zatim nacrtajte još jedan kvadrat malo dalje od prvog. Zatim spojite njihove kutove linijama. Ovaj crtež može postati kocka! Spajanjem različitih oblika u crtežu shvatit ćete kako se površine spajaju u 3D objektima.

Crtanje pomaže našem umu da shvati kako prostor funkcionira. Kada nacrtate pravokutnik i dodate malo više za dubinu, prikazujete 3D kutiju. Koristite svoje bojice kako biste svaku stranu istaknuli. Ova aktivnost vam može pomoći da zapamtite dijelove 3D oblika poput strana, rubova i vrhova.

Usporedba 2D i 3D figura

Važno je znati razliku između dvodimenzionalnih (2D) i trodimenzionalnih (3D) oblika. Dvodimenzionalni oblik poput kvadrata ili kruga ima samo duljinu i širinu. Ravan je, poput crteža na papiru. Nasuprot tome, 3D oblik ima dodatnu mjeru - visinu. Ova dodatna dimenzija čini oblik stvarnim i opipljivim.

Na primjer, crtež kruga na papiru je 2D. Međutim, lopta je 3D sfera. Lopta se može držati u ruci. Ova dodatna dimenzija pomaže objektima da imaju volumen i prostor unutar sebe.

Razumijevanje važnosti 3D figura u geometriji

3D figure su veliki dio geometrije. Geometrija nam pomaže razumjeti oblike, veličine i svojstva prostora. Proučavanjem 3D figura učimo ne samo kako objekti izgledaju već i kako funkcioniraju. To znanje je vrlo korisno u izgradnji, dizajniranju i stvaranju umjetnosti.

Inženjeri i arhitekti koriste 3D oblike za projektiranje zgrada. Umjetnici ih koriste za stvaranje skulptura. Čak i računalne igre koriste 3D figure kako bi oživjele likove i svjetove. Učenje o tim oblicima u ranoj dobi postavlja temelje za mnoge zanimljive karijere u budućnosti.

Sažetak ključnih točaka

Danas smo naučili o nekoliko važnih ideja vezanih uz trodimenzionalne figure:

• Definicija: 3D oblici imaju duljinu, širinu i visinu. Zauzimaju prostor i mogu se dodirnuti.
• Uobičajeni oblici: Kocka, pravokutna prizma, sfera, valjak, stožac i piramida primjeri su 3D figura koje svakodnevno vidimo.
• Dijelovi 3D figura: Strane, bridovi i vrhovi opisuju strukturu oblika. Na primjer, kocka ima 6 strana, 12 bridova i 8 vrhova.
• Volumen: Volumen nam govori koliko prostora ima unutar 3D oblika. Naučili smo formule kao što su \( V = a^3 \) za kocku i \( V = l \times w \times h \) za pravokutnu prizmu.
• Površina: Površina je ukupna površina svih strana oblika. Za kocku, formula je \( SA = 6a^2 \) .
• Riješeni primjeri: Riješili smo primjere za kocku, pravokutnu prizmu i valjak. Ovi primjeri pokazali su postupne metode za izračunavanje volumena.
• Primjena u stvarnom svijetu: Svakodnevni predmeti poput kutija, lopti i limenki primjeri su 3D oblika. Vidimo ih u našim domovima, školama i na igralištima.
• Dodatni koncepti: Koncepti poput simetrije, rotacije i skaliranja pomažu nam da bolje razumijemo kako oblici funkcioniraju i mijenjaju se.
• Usporedba s 2D figurama: Za razliku od 2D oblika, 3D figure imaju dubinu. To ih čini stvarnima i opipljivima.

Učenjem o ovim točkama sada imate snažnu osnovu u 3D figurama. Zapamtite da je matematika svuda oko vas, a promatranje oblika u svakodnevnom životu čini učenje zabavnim i korisnim.

Nastavite vježbati ono što ste naučili promatrajući predmete oko sebe. Primijetite kako se kocka, kugla ili valjak koriste na različite načine. To će vam pomoći da vidite ljepotu geometrije i postanete bolji rješavač problema.

Ova lekcija je samo početak. Kako budete rasli i učili više matematike, otkrit ćete još više uzbudljivih stvari o 3D likovima i geometriji. Uživajte u istraživanju i održavajte svoju znatiželju živom!