Back to the topics list

3-димензионални фигури

3-димензионални фигури

Во оваа лекција, ќе учиме за 3Д фигури. Тоа се форми кои имаат должина, ширина и висина. Можете да ги допрете овие форми бидејќи зафаќаат простор. Гледаме многу 3Д фигури во нашиот секојдневен живот. Примери за тоа се коцки мраз, топки, кутии и лименки.

Вовед

3Д фигура е форма која не е рамна. За разлика од цртежот на хартија, овие форми имаат длабочина. Кога зборуваме за 3Д форми, учиме за делови како површини, рабови и темиња. Тие ни помагаат да разбереме како е изградена формата.

Секој ден гледате многу предмети со 3Д форми. Играчка коцка, конзерва супа или топка се секојдневни примери. Со учење за овие форми, можеме да ги броиме нивните делови, па дури и да правиме едноставни пресметки како волумен или простор во нив. Познавањето на овие форми ни помага да го разбереме светот околу нас.

Основни 3Д форми

Да разгледаме некои вообичаени 3Д форми и да научиме малку за секоја од нив.

• Коцка : Коцката има 6 површини. Сите површини се квадрати и се со еднаква големина. Исто така, има 12 рабови и 8 темиња. Можете да видите коцка во коцка или блок со кој играте.
• Правоаголна призма : Оваа форма е слична на коцка, но нејзините површини се правоаголници. Има 6 површини, 12 рабови и 8 темиња. Кутија за чевли или тула е добар пример за правоаголна призма.
• Сфера : Сферата е тркалезна, како топка. Има една закривена површина. Нема рабови или темиња. Многу спортски топки и меурчиња се сферични форми.
• Цилиндер : Цилиндерот има две кружни основи со закривена површина што се врти наоколу. Конзерва супа или сукало е цилиндар. Има вкупно 3 површини.
• Корнет : Корнетот има тркалезна основа и зашилен врв. Корнетот за сладолед е чест пример. Исто така, има закривена површина и една рамна основа.
• Пирамида : Пирамидата има полигон како основа, обично квадрат, и триаголни површини што се среќаваат во една точка. Пирамида-играчка или познатите пирамиди во Египет се совршени примери.

Секоја од овие форми има свои посебни својства. Иако сите се 3Д фигури, тие изгледаат и функционираат на различни начини во реалниот свет.

Разбирање на делови од 3D фигури

Кога проучуваме 3Д фигури, учиме три важни делови:

• Линии : Ова се рамни или закривени површини што ја сочинуваат надворешноста на некоја форма. На пример, коцката има 6 квадратни површини.
• Рабови : Ова се линиите каде што се среќаваат две површини. Во коцка има 12 рабови.
• Врвови : Ова се точките каде што се среќаваат рабовите. Коцката има 8 темиња.

Познавањето на овие делови го олеснува опишувањето и работата со различни форми.

Волумен и простор во 3Д фигури

Волуменот ни кажува колку простор има во 3Д форма. Замислете дека полните форма со мали коцки. Бројот на коцки што можете да ги ставите внатре е волуменот на формата. Секоја форма има своја формула за волумен.

На пример, волуменот на коцка може да се пресмета со помош на формулата:

\( V = a^3 \)

Тука, \( a \) ја претставува должината на едната страна од коцката. Волуменот на правоаголна призма се пресметува со:

\( V = l \times w \times h \)

Каде што \( l \) е должината, \( w \) е ширината, а \( h \) е висината.

За цилиндар, волуменот е даден со:

\( V = \pi r^2 h \)

Тука, \( r \) е радиусот на кружната основа, а \( h \) е висината. Можеме да ги користиме овие формули за да дознаеме колку простор има во нашите форми.

Површина на 3Д фигури

Површината е вкупната површина на сите површини на 3Д форма. Таа ни кажува колку материјал е потребен за да се покрие надворешната страна на формата. На пример, ако сакате да завиткате кутија со хартија, треба да ја покриете нејзината површина.

Иако формулите за површина можат да бидат посложени, идејата е едноставна: соберете ја површината на секоја страна. За коцка со страна \( a \) , површината е:

\( SA = 6a^2 \)

Ова е затоа што сите шест површини имаат површина од \( a^2 \) .

Решен пример 1: Наоѓање на волуменот на коцка

Задача: Пресметајте го волуменот на коцка со страна од 3 единици.

Решение:

1. Напишете ја формулата за волумен на коцка:
   \( V = a^3 \)
2. Заменете ја должината на страната во формулата:
   \( V = (3)^3 \)
3. Пресметајте го волуменот:
   \( V = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)
4. Волуменот на коцката е 27 кубни единици.

Овој пример ни покажува како користењето на едноставна формула ни помага да знаеме колку простор има коцката.

Решен пример 2: Наоѓање на волуменот на правоаголна призма

Задача: Пресметајте го волуменот на правоаголна призма со должина од 4 единици, ширина од 3 единици и висина од 2 единици.

Решение:

1. Напишете ја формулата за волумен на правоаголна призма:
   \( V = l \times w \times h \)
2. Заменете ги вредностите во формулата:
   \( V = 4 \times 3 \times 2 \)
3. Множете ги броевите чекор по чекор:
   Прво, помножете 4 со 3 за да добиете 12.
   Потоа, помножете 12 со 2 за да добиете 24.
4. Волуменот на правоаголната призма е 24 кубни единици.

Овој пример ни кажува како да множиме три броја за да го најдеме просторот во облик сличен на кутија.

Решен пример 3: Наоѓање на волуменот на цилиндарот

Задача: Пронајдете го волуменот на цилиндар со радиус од 2 единици и висина од 5 единици.

Решение:

1. Напишете ја формулата за волумен на цилиндар:
   \( V = \pi r^2 h \)
2. Заменете ги вредностите во формулата:
   \( V = \pi \times (2)^2 \times 5 \)
3. Пресметај го радиусот на квадрат:
   \( (2)^2 = 4 \)
4. Помножете со висината:
   \( 4 \times 5 = 20 \)
5. Волуменот е:
   \( V = 20\pi \)
6. Ако ја користиме апроксимацијата \(\pi \approx 3.14\) , волуменот е приближно:
   \( V \approx 20 \times 3.14 = 62.8 \) кубни единици.

Овој пример ни покажува како да ја користиме формулата за цилиндар. Исто така, нè учи како да работиме со \(\pi\) во нашето пресметување.

Примени на 3D фигури во реалниот свет

3Д фигурите се насекаде околу нас. Еве неколку примери кои ќе ви помогнат да видите колку се важни:

• Коцка и правоаголна призма: Многу кутии, градежни блокови, па дури и некои соби ги имаат овие форми. Кога играте со играчки блокови или носите кутија, ја користите идејата за 3Д форми.
• Сфера: Топките што се користат во спортови како фудбал или кошарка се сфери. Тркалезно овошје како портокал може да се смета и за сфера бидејќи е тркалезно од целата површина.
• Цилиндар: Лименките, чашите за пиење и многу садови за складирање се во облик на цилиндри. Закривената површина ги прави лесни за тркалање и држење.
• Корнет: Корнетите за сладолед, сообраќајните конуси и капите за забави се примери за корнети. Зашилениот врв и тркалезната основа ги прават уникатни.
• Пирамида: Освен познатите пирамиди во Египет, понекогаш можете да видите пирамиди во модерната архитектура или во играчките. Тие се интересни бидејќи имаат широка основа што завршува во еден врв.

Разбирањето на овие форми ни помага да дизајнираме објекти од реалниот живот, па дури и да решаваме секојдневни проблеми како што се пакување, градење или едноставно играње со играчки.

Дополнителни својства и варијации

Иако ги научивме основните својства на вообичаените 3Д форми, постојат и други интересни идеи за истражување:

• Симетрија: Многу 3Д форми имаат симетрични својства. Ова значи дека можат да се поделат на еднакви делови што изгледаат исто. На пример, коцка може да се подели на еднакви половини на многу различни начини.
• Ротација: Некои форми изгледаат исто дури и кога се вртат или ротираат. Сферата, на пример, изгледа исто од секој агол.
• Скалирање: Формата може да се направи поголема или помала. Ако ја зголемите страната на коцката, нејзиниот волумен се зголемува. Ова нè учи за пропорционалноста и како промената на една димензија влијае на целата форма.

Овие својства ни помагаат да ја видиме убавината и логиката во едноставни форми. Тие исто така помагаат во решавањето практични загатки во математиката и дизајнот.

Секојдневни примери и активности

Замислете си како си играте со градежни блокови. Секој блок е мала правоаголна призма или коцка. Кога градите кула, редите 3Д фигури. Погледнете наоколу во вашиот дом. Многу предмети како столчиња, маси, па дури и некои играчки имаат 3Д форми. Овие примери покажуваат дека математиката не е само во книга - таа е насекаде!

Вашиот наставник може да донесе играчки или едноставни алатки на час за да ви помогне да ги видите овие форми лично. Набљудувањето на секојдневните предмети може да го направи учењето 3Д фигури забавно и лесно. Со обрнување внимание, ќе ги препознаете овие форми во супермаркетите, парковите, па дури и на игралиштето.

Истражување преку цртање

Можете исто така да вежбате цртање на овие 3Д форми на хартија. Започнете со цртање едноставен квадрат. Потоа, нацртајте друг квадрат малку подалеку од првиот. Потоа, поврзете ги неговите агли со линии. Овој цртеж може да стане коцка! Со поврзување на различни форми во вашиот цртеж, ќе разберете како лицата се спојуваат во 3Д објекти.

Цртањето му помага на нашиот ум да види како функционира просторот. Кога цртате правоаголник и додавате малку повеќе за длабочина, прикажувате 3Д кутија. Користете ги вашите обоени моливи за да ја истакнете секоја страна. Оваа активност може да ви помогне да ги запомните деловите од 3Д формите како што се страните, рабовите и темињата.

Споредување на 2D и 3D фигури

Важно е да се знае разликата помеѓу 2-димензионалните (2D) и 3-димензионалните (3D) форми. 2D форма како квадрат или круг има само должина и ширина. Таа е рамна, како цртеж на хартија. Спротивно на тоа, 3D формата има дополнителна мерка - висина. Оваа дополнителна димензија ја прави формата реална и допирлива.

На пример, цртежот на круг на хартија е 2D. Сепак, топката е 3D сфера. Топката може да се држи во рака. Оваа дополнителна димензија им помага на предметите да имаат волумен и простор во нив.

Разбирање на важноста на 3D фигурите во геометријата

3Д фигурите се голем дел од геометријата. Геометријата ни помага да ги разбереме облиците, големините и својствата на просторот. Со проучување на 3Д фигурите, учиме не само како изгледаат објектите, туку и како функционираат. Ова знаење е многу корисно во градењето, дизајнирањето и создавањето уметност.

Инженерите и архитектите користат 3Д форми за дизајнирање згради. Уметниците ги користат за создавање скулптури. Дури и компјутерските игри користат 3Д фигури за да оживеат ликови и светови. Учењето за овие форми на рана возраст ја поставува основата за многу кул кариери во иднина.

Резиме на клучните точки

Денес научивме за неколку важни идеи поврзани со тродимензионални фигури:

• Дефиниција: 3Д формите имаат должина, ширина и висина. Тие зафаќаат простор и можат да се допрат.
• Вообичаени форми: Коцката, правоаголната призма, сферата, цилиндарот, конусот и пирамидата се примери за 3Д фигури што ги гледаме секој ден.
• Делови од 3Д фигури: Линиите, рабовите и темињата ја опишуваат структурата на обликот. На пример, коцката има 6 лица, 12 рабови и 8 темиња.
• Волумен: Волуменот ни кажува колку простор има во 3Д форма. Научивме формули како што се \( V = a^3 \) за коцка и \( V = l \times w \times h \) за правоаголна призма.
• Површина: Површината е вкупната површина на сите површини на една форма. За коцка, формулата е \( SA = 6a^2 \) .
• Решени примери: Решивме примери за коцка, правоаголна призма и цилиндар. Овие примери покажаа методи за пресметување на волуменот чекор-по-чекор.
• Примени во реалниот свет: Секојдневните предмети како кутии, топки и конзерви се примери за 3Д форми. Ги гледаме во нашите домови, училишта и игралишта.
• Дополнителни концепти: Концептите како што се симетрија, ротација и скалирање ни помагаат да разбереме повеќе за тоа како функционираат и се менуваат облиците.
• Споредба со 2D фигури: За разлика од 2D формите, 3D фигурите имаат длабочина. Ова ги прави реални и допирни.

Со учење за овие точки, сега имате силна основа за тродимензионални фигури. Запомнете дека математиката е насекаде околу вас, а набљудувањето на формите во секојдневниот живот го прави учењето забавно и корисно.

Продолжете да го вежбате она што сте го научиле гледајќи ги предметите околу вас. Забележете како коцка, сфера или цилиндар се користат на различни начини. Ова ќе ви помогне да ја видите убавината во геометријата и ќе ве направи подобар решавач на проблеми.

Оваа лекција е само почеток. Како што растете и учите повеќе математика, ќе откривате уште повозбудливи работи за 3Д фигурите и геометријата. Уживајте во истражувањето и негувајте ја вашата љубопитност!