Back to the topics list

3 хэмжээст тоо

3 хэмжээст дүрсүүд

Энэ хичээлээр бид 3 хэмжээст (3D) дүрсүүдийн талаар суралцах болно. Эдгээр нь урт, өргөн, өндөртэй хэлбэрүүд юм. Эдгээр дүрс нь орон зай эзэлдэг тул та тэдгээрт хүрч болно. Бид өдөр тутмын амьдралдаа маш олон 3D дүрсийг хардаг. Жишээ нь мөсөн шоо, бөмбөг, хайрцаг, лааз зэргийг дурдаж болно.

Танилцуулга

3D дүрс нь хавтгай биш дүрс юм. Цаасан дээрх зургаас ялгаатай нь эдгээр дүрс нь гүн гүнзгий байдаг. Бид 3D дүрсүүдийн талаар ярихдаа нүүр, ирмэг, орой зэрэг хэсгүүдийн талаар суралцдаг. Эдгээр нь хэлбэр дүрс хэрхэн бүтээгдсэнийг ойлгоход тусалдаг.

Өдөр бүр та 3D дүрс бүхий олон объектыг хардаг. Тоглоомын блок, лаазтай шөл эсвэл бөмбөг нь өдөр тутмын жишээ юм. Эдгээр дүрсийн талаар суралцсанаар бид тэдгээрийн хэсгүүдийг тоолж, дотор нь эзлэхүүн эсвэл орон зай гэх мэт энгийн тооцоолол хийх боломжтой. Эдгээр дүрсүүдийн талаар мэдэх нь бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг ойлгоход тусалдаг.

Үндсэн 3D дүрсүүд

Зарим нийтлэг 3D хэлбэрийг авч үзээд тус бүрийн талаар бага зэрэг сурцгаая.

• Шоо : Шоо 6 нүүртэй. Бүх нүүр нь дөрвөлжин хэлбэртэй бөгөөд ижил хэмжээтэй байна. Мөн 12 ирмэг, 8 оройтой. Та тоглож буй шоо эсвэл блок доторх шоо харж болно.
• Тэгш өнцөгт призм : Энэ хэлбэр нь шоотой төстэй боловч нүүр нь тэгш өнцөгт юм. Энэ нь 6 нүүр, 12 ирмэг, 8 оройтой. Гутлын хайрцаг эсвэл тоосго нь тэгш өнцөгт призмийн сайн жишээ юм.
• Бөмбөрцөг : Бөмбөрцөг нь бөмбөг шиг дугуй хэлбэртэй байдаг. Энэ нь нэг муруй гадаргуутай. Энэ нь ирмэг, оройгүй. Спортын олон бөмбөг, бөмбөлөгүүд нь бөмбөрцөг хэлбэртэй байдаг.
• Цилиндр : Цилиндр нь муруй гадаргуутай хоёр дугуй суурьтай. Лаазтай шөл эсвэл гулсмал зүү нь цилиндр юм. Энэ нь нийт 3 гадаргуутай.
• Конус : Конус нь дугуй суурьтай, орой нь үзүүртэй байдаг. Зайрмагны боргоцой бол нийтлэг жишээ юм. Мөн муруй гадаргуутай, нэг хавтгай суурьтай.
• Пирамид : Пирамид нь олон өнцөгт суурьтай, ихэвчлэн дөрвөлжин хэлбэртэй, нэг цэг дээр нийлдэг гурвалжин нүүртэй байдаг. Пирамид тоглоом эсвэл Египетийн алдартай пирамидууд бол төгс жишээ юм.

Эдгээр хэлбэр бүр өөрийн гэсэн онцлог шинж чанартай байдаг. Хэдийгээр тэд бүгд 3D дүрсүүд боловч бодит ертөнцөд өөр өөр байдлаар харагдаж, ажилладаг.

3D дүрсийн хэсгүүдийг ойлгох

Бид 3D дүрсийг судлахдаа гурван чухал хэсгийг сурдаг.

• Нүүр : Эдгээр нь хэлбэрийн гадна талыг бүрдүүлдэг хавтгай эсвэл муруй гадаргуу юм. Жишээлбэл, шоо нь 6 дөрвөлжин нүүртэй.
• Ирмэгүүд : Эдгээр нь хоёр нүүр уулздаг шугамууд юм. Шоо дөрвөлжинд 12 ирмэг байдаг.
• Оройнууд : Эдгээр нь ирмэгүүдийн нийлдэг цэгүүд юм. Шоо 8 оройтой.

Эдгээр хэсгүүдийг мэдэх нь янз бүрийн дүрсийг дүрсэлж, ажиллахад хялбар болгодог.

3D зураг дээрх эзэлхүүн ба орон зай

Эзлэхүүн нь 3D дүрс дотор хэр их зай байгааг хэлж өгдөг. Дүрсийг жижиг шоогаар дүүргэж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Дотор нь хийж болох кубын тоо нь дүрсний эзэлхүүн юм. Дүрс бүр эзлэхүүний өөрийн гэсэн томъёотой байдаг.

Жишээлбэл, кубын эзэлхүүнийг дараах томъёогоор олж болно.

\( V = a^3 \)

Энд \( a \) кубын нэг талын уртыг илэрхийлнэ. Тэгш өнцөгт призмийн эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

\( V = l \times w \times h \)

Энд \( l \) нь урт, \( w \) нь өргөн, \( h \) нь өндөр юм.

Цилиндрийн хувьд эзэлхүүнийг дараах байдлаар тодорхойлно.

\( V = \pi r^2 h \)

Энд \( r \) нь дугуй суурийн радиус, \( h \) нь өндөр юм. Бид эдгээр томъёог ашиглан бидний дүрс дотор хэр их зай байгааг олж мэдэх боломжтой.

3D дүрсүүдийн гадаргуугийн талбай

Гадаргуугийн талбай нь 3D хэлбэрийн бүх нүүрний нийт талбай юм. Энэ нь дүрсний гадна талыг бүрхэхэд хэр их материал шаардагдахыг хэлж өгдөг. Жишээлбэл, хэрэв та хайрцгийг цаасаар боохыг хүсвэл түүний гадаргууг бүрхэх хэрэгтэй.

Хэдийгээр гадаргуугийн талбайн томъёо нь илүү төвөгтэй байж болох ч санаа нь энгийн: нүүр бүрийн талбайг нэмнэ. \( a \) талтай кубын хувьд гадаргуугийн талбай нь:

\( SA = 6a^2 \)

Учир нь бүх зургаан нүүр нь \( a^2 \) талбайтай байдаг.

Шийдвэрлэсэн жишээ 1: Кубын эзэлхүүнийг олох

Бодлого: Хажуугийн урт нь 3 нэгжтэй кубын эзэлхүүнийг ол.

Шийдэл:

1. Кубын эзэлхүүний томъёог бичнэ үү.
   \( V = a^3 \)
2. Хажуугийн уртыг томъёонд орлуулна.
   \( V = (3)^3 \)
3. Эзлэхүүнийг тооцоолох:
   \( V = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)
4. Кубын эзэлхүүн нь 27 шоо нэгж байна.

Энэ жишээ нь энгийн томьёо ашиглах нь шоо хэр их зайтай болохыг мэдэхэд хэрхэн тусалдаг болохыг харуулж байна.

Шийдвэрлэсэн жишээ 2: Тэгш өнцөгт призмийн эзэлхүүнийг олох

Бодлого: Урт нь 4 нэгж, өргөн нь 3 нэгж, өндөр нь 2 нэгжтэй тэгш өнцөгт призмийн эзэлхүүнийг ол.

Шийдэл:

1. Тэгш өнцөгт призмийн эзэлхүүний томъёог бичнэ үү.
   \( V = l \times w \times h \)
2. Томъёонд утгыг орлуулна уу:
   \( V = 4 \times 3 \times 2 \)
3. Тоонуудыг алхам алхмаар үржүүлэх:
   Эхлээд 4 ба 3-ыг үржүүлээд 12 гарна.
   Дараа нь 12-ыг 2-оор үржүүлээд 24 гарна.
4. Тэгш өнцөгт призмийн эзэлхүүн нь 24 шоо нэгж байна.

Энэ жишээ нь хайрцаг шиг дүрс доторх орон зайг олохын тулд гурван тоог хэрхэн үржүүлэхийг хэлж өгдөг.

Шийдвэрлэсэн жишээ 3: Цилиндрийн эзэлхүүнийг олох

Бодлого: 2 нэгж радиус, 5 нэгж өндөртэй цилиндрийн эзэлхүүнийг ол.

Шийдэл:

1. Цилиндрийн эзэлхүүний томъёог бичнэ үү.
   \( V = \pi r^2 h \)
2. Томъёонд утгыг орлуулна уу:
   \( V = \pi \times (2)^2 \times 5 \)
3. Радиусын квадратыг тооцоолох:
   \( (2)^2 = 4 \)
4. Өндөрөөр үржүүлэх:
   \( 4 \times 5 = 20 \)
5. Эзлэхүүн нь:
   \( V = 20\pi \)
6. Хэрэв бид ойролцоогоор \(\pi \approx 3.14\) хэрэглэвэл эзлэхүүн нь ойролцоогоор:
   \( V \approx 20 \times 3.14 = 62.8 \) куб нэгж.

Энэ жишээ нь цилиндрт томъёог хэрхэн ашиглахыг харуулж байна. Мөн тооцоололдоо \(\pi\) тэй хэрхэн ажиллахыг заадаг.

3D дүрсний бодит хэрэглээ

3D дүрсүүд бидний эргэн тойронд байдаг. Эдгээр нь хэр чухал болохыг ойлгоход туслах хэдэн жишээ энд байна:

• Шоо ба тэгш өнцөгт призм: Олон хайрцаг, барилгын блок, тэр ч байтугай зарим өрөөнд ийм хэлбэртэй байдаг. Тоглоомын блокоор тоглох эсвэл хайрцаг авч явахдаа та 3D дүрсийн санааг ашиглаж байна.
• Бөмбөрцөг: Хөл бөмбөг, сагсан бөмбөг зэрэг спортод ашигладаг бөмбөг бол бөмбөрцөг юм. Жүрж шиг бөөрөнхий жимс нь бүхэлдээ бөөрөнхий байдаг тул бөмбөрцөг хэлбэртэй харагдаж болно.
• Цилиндр: Лааз, ундааны шил, олон хадгалах савнууд нь цилиндр хэлбэртэй байдаг. Муруй гадаргуу нь тэдгээрийг өнхрүүлж, барьж авахад хялбар болгодог.
• Конус: Зайрмагны боргоцой, замын боргоцой, үдэшлэгийн малгай нь боргоцойны жишээ юм. Шовх үзүүртэй дээд ба дугуй суурь нь тэднийг өвөрмөц болгодог.
• Пирамид: Египетийн алдартай пирамидуудаас гадна орчин үеийн архитектур эсвэл тоглоомонд пирамидуудыг заримдаа харж болно. Тэд нэг цэгт хүрч ирдэг өргөн суурьтай учраас сонирхолтой байдаг.

Эдгээр дүрсийг ойлгох нь бидэнд бодит объектуудыг зохион бүтээх, тэр ч байтугай савлах, барих, тоглоом тоглох гэх мэт өдөр тутмын асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг.

Нэмэлт шинж чанарууд ба өөрчлөлтүүд

Бид нийтлэг 3D дүрсүүдийн үндсэн шинж чанаруудыг олж мэдсэн боловч судлах өөр сонирхолтой санаанууд байна:

• Symmetry: Олон 3D дүрс нь тэгш хэмтэй шинж чанартай байдаг. Энэ нь тэдгээрийг ижил харагдах ижил хэсгүүдэд хувааж болно гэсэн үг юм. Жишээлбэл, шоо олон янзын аргаар тэнцүү хагаст хуваагдаж болно.
• Эргүүлэх: Зарим дүрс нь эргүүлэх, эргүүлэх үед ч адилхан харагддаг. Жишээлбэл, бөмбөрцөг бүх өнцгөөс ижил харагддаг.
• Масштаб: Дүрсийг томруулж эсвэл жижиг болгож болно. Хэрэв та шоо дөрвөлжин талыг томруулж байвал түүний хэмжээ нэмэгддэг. Энэ нь пропорциональ байдал, нэг хэмжилтийг өөрчлөх нь бүхэл хэлбэрт хэрхэн нөлөөлдөг талаар бидэнд заадаг.

Эдгээр шинж чанарууд нь бидэнд гоо үзэсгэлэн, логикийг энгийн хэлбэрээр харахад тусалдаг. Тэд мөн математик, дизайны практик оньсого шийдвэрлэхэд тусалдаг.

Өдөр тутмын жишээ ба үйл ажиллагаа

Барилгын блокоор тоглож байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Блок бүр нь жижиг тэгш өнцөгт призм эсвэл шоо юм. Та цамхаг барихдаа 3D дүрсийг давхарлаж байна. Гэрийнхээ эргэн тойрноо хар. Сандал, ширээ, тэр байтугай зарим тоглоом зэрэг олон объект 3D хэлбэртэй байдаг. Эдгээр жишээнүүд нь математик нь зөвхөн номонд байдаггүй, хаа сайгүй байдаг гэдгийг харуулж байна!

Таны багш эдгээр дүрсийг биечлэн харахад туслах тоглоом эсвэл энгийн багаж хэрэгслийг ангидаа авчирч болно. Өдөр тутмын объектуудыг ажиглах нь 3D дүрсийг сурахад хөгжилтэй, хялбар болгодог. Анхаарал хандуулснаар та супермаркет, цэцэрлэгт хүрээлэн, тэр ч байтугай тоглоомын талбайд эдгээр дүрсийг таних болно.

Зурах замаар судлах

Та мөн эдгээр 3D дүрсийг цаасан дээр зурах дасгал хийж болно. Энгийн дөрвөлжин зурж эхэл. Дараа нь эхнийхээс бага зэрэг зайд өөр нэг дөрвөлжин зур. Дараа нь тэдгээрийн булангуудыг шугамаар холбоно. Энэ зураг нь шоо болж чадна! Зурган дээрх янз бүрийн дүрсүүдийг холбосноор та 3D объектод нүүр царай хэрхэн нийлдэгийг ойлгох болно.

Зурах нь бидний оюун ухаанд сансар огторгуй хэрхэн ажилладагийг харахад тусалдаг. Тэгш өнцөгт зурж, гүнзгийрүүлэхийн тулд бага зэрэг нэмэхэд та 3D хайрцаг харуулж байна. Нүүр бүрийг илүү тод харагдуулахын тулд өнгөт харандаагаа ашигла. Энэ үйл ажиллагаа нь нүүр, ирмэг, орой зэрэг 3D хэлбэрийн хэсгүүдийг санахад тусална.

2D болон 3D дүрсүүдийг харьцуулах

2 хэмжээст (2 хэмжээст) ба 3 хэмжээст (3 хэмжээст) дүрсүүдийн ялгааг мэдэх нь чухал. Дөрвөлжин эсвэл тойрог гэх мэт 2D хэлбэр нь зөвхөн урт ба өргөнтэй байдаг. Энэ нь цаасан дээр зурсан зураг шиг хавтгай юм. Үүний эсрэгээр, 3D хэлбэр нь нэмэлт хэмжилттэй байдаг - өндөр. Энэхүү нэмэлт хэмжээс нь дүрсийг бодитой, мэдрэгчтэй болгодог.

Жишээлбэл, цаасан дээр тойрог зурах нь 2D юм. Гэсэн хэдий ч бөмбөг бол 3D бөмбөрцөг юм. Бөмбөгийг гартаа барьж болно. Энэхүү нэмэлт хэмжээс нь объектуудад эзэлхүүн, орон зайтай болоход тусалдаг.

Геометрийн 3D дүрсийн ач холбогдлыг ойлгох

3D дүрс нь геометрийн томоохон хэсэг юм. Геометр нь орон зайн хэлбэр, хэмжээ, шинж чанарыг ойлгоход тусалдаг. 3D дүрсийг судалснаар бид объектууд хэрхэн харагдахаас гадна хэрхэн ажилладаг талаар суралцдаг. Энэхүү мэдлэг нь урлагийг бүтээх, дизайн хийх, бүтээхэд маш их хэрэгтэй байдаг.

Инженерүүд болон архитекторууд барилга барихдаа 3D дүрсийг ашигладаг. Уран бүтээлчид тэдгээрийг уран баримал хийхэд ашигладаг. Компьютер тоглоомууд ч гэсэн 3D дүрсийг ашиглан дүр, ертөнцийг амилуулдаг. Залуу насандаа эдгээр дүрсүүдийн талаар суралцсанаар ирээдүйд олон сайхан карьеруудын суурийг тавьдаг.

Гол санаануудын хураангуй

Өнөөдөр бид 3 хэмжээст дүрстэй холбоотой хэд хэдэн чухал санааг олж мэдсэн.

• Тодорхойлолт: 3D дүрс нь урт, өргөн, өндөртэй. Тэд зай эзэлдэг бөгөөд хүрч болно.
• Нийтлэг хэлбэрүүд: Куб, тэгш өнцөгт призм, бөмбөрцөг, цилиндр, конус, пирамид нь бидний өдөр бүр хардаг 3D дүрсүүдийн жишээ юм.
• 3D зургийн хэсгүүд: Нүүр, ирмэг, орой нь дүрсний бүтцийг дүрсэлдэг. Жишээлбэл, шоо нь 6 нүүр, 12 ирмэг, 8 оройтой.
• Эзлэхүүн: Эзлэхүүн нь 3D дүрс дотор хэр их зай байгааг хэлж өгдөг. Бид кубын хувьд \( V = a^3 \) тэгш өнцөгт призмийн хувьд \( V = l \times w \times h \) гэх мэт томъёог сурсан.
• Гадаргуугийн талбай: Гадаргуугийн талбай нь дүрсийн бүх нүүрний нийт талбай юм. Кубын хувьд томъёо нь \( SA = 6a^2 \) байна.
• Шийдвэрлэсэн жишээ: Бид шоо, тэгш өнцөгт призм, цилиндрийн жишээг шийдсэн. Эдгээр жишээнүүд нь эзлэхүүнийг тооцоолох алхам алхмаар аргуудыг харуулсан.
• Бодит ертөнцийн хэрэглээ: Хайрцаг, бөмбөг, лааз зэрэг өдөр тутмын эд зүйлс нь 3D хэлбэрийн жишээ юм. Бид тэднийг гэр, сургууль, тоглоомын талбай дээрээ хардаг.
• Нэмэлт ойлголтууд: Тэгш хэм, эргэлт, масштаб зэрэг ойлголтууд нь дүрс хэрхэн ажилладаг, өөрчлөгддөг талаар илүү ихийг ойлгоход тусалдаг.
• 2D дүрстэй харьцуулах: 2D дүрсээс ялгаатай нь 3D дүрс нь гүнтэй байдаг. Энэ нь тэднийг бодитой, мэдрэгчтэй болгодог.

Эдгээр цэгүүдийн талаар суралцсанаар та одоо 3 хэмжээст дүрс дээр бат бөх суурьтай болсон. Математик таны эргэн тойронд байдаг бөгөөд өдөр тутмын амьдралдаа хэлбэр дүрсийг ажиглах нь суралцахыг хөгжилтэй, хэрэгцээтэй болгодог гэдгийг санаарай.

Эргэн тойрныхоо эд зүйлсийг харж сурсан зүйлээ үргэлжлүүлэн дадлагажуул. Шоо, бөмбөрцөг, цилиндрийг янз бүрийн аргаар хэрхэн ашиглаж байгааг анхаарч үзээрэй. Энэ нь танд геометрийн гоо сайхныг олж харахад тусалж, асуудлыг илүү сайн шийддэг хүн болгоно.

Энэ хичээл нь зөвхөн эхлэл юм. Та өсч томрох, илүү их математик сурах тусам 3D дүрс, геометрийн талаар илүү сонирхолтой зүйлсийг олж мэдэх болно. Эрдэм шинжилгээ хийж, сониуч зангаа хадгалаарай!