Back to the topics list

--आयामी आंकडा

३-आयामी आकृतिहरू

यस पाठमा, हामी त्रि-आयामिक (३D) आकृतिहरूको बारेमा सिक्नेछौं। यी आकृतिहरूको लम्बाइ, चौडाइ र उचाइ हुन्छ। तपाईं यी आकृतिहरूलाई छुन सक्नुहुन्छ किनभने तिनीहरूले ठाउँ ओगट्छन्। हामी हाम्रो दैनिक जीवनमा धेरै त्रि-आयामिक आकृतिहरू देख्छौं। उदाहरणहरूमा आइस क्यूब, बल, बक्स र क्यान समावेश छन्।

परिचय

त्रि-आयामिक आकृति भनेको समतल नभएको आकार हो। कागजमा कोरिएको चित्र जस्तो नभई, यी आकारहरूमा गहिराइ हुन्छ। जब हामी त्रि-आयामिक आकृतिहरूको बारेमा कुरा गर्छौं, हामी अनुहार, किनारा र शिरोबिंदू जस्ता भागहरूको बारेमा सिक्छौं। तिनीहरूले हामीलाई आकार कसरी बनाइन्छ भनेर बुझ्न मद्दत गर्छन्।

हरेक दिन, तपाईंले 3D आकार भएका धेरै वस्तुहरू देख्नुहुन्छ। खेलौनाको ब्लक, सुपको क्यान, वा बल दैनिक उदाहरणहरू हुन्। यी आकारहरूको बारेमा सिकेर, हामी तिनीहरूका भागहरू गणना गर्न सक्छौं र तिनीहरू भित्रको आयतन वा ठाउँ जस्ता सरल गणनाहरू पनि गर्न सक्छौं। यी आकारहरूको बारेमा जान्दा हामीलाई हाम्रो वरपरको संसार बुझ्न मद्दत गर्छ।

आधारभूत ३D आकारहरू

आउनुहोस्, केही सामान्य ३D आकारहरू हेरौं र प्रत्येकको बारेमा थोरै जानौं।

• घन : एउटा घनमा ६ वटा अनुहार हुन्छन्। सबै अनुहारहरू वर्गाकार हुन्छन् र बराबर आकारका हुन्छन्। यसमा १२ वटा किनारा र ८ वटा शीर्षहरू पनि हुन्छन्। तपाईंले खेल्ने पासा वा ब्लकमा घन देख्न सक्नुहुन्छ।
• आयताकार प्रिज्म : यो आकार घन जस्तै छ तर यसको अनुहार आयताकार छ। यसमा ६ अनुहार, १२ किनारा र ८ वटा शीर्षहरू छन्। जुत्ताको बाकस वा इँटा आयताकार प्रिज्मको राम्रो उदाहरण हो।
• गोलाकार : गोलाकार गोलो हुन्छ, बल जस्तै। यसको एउटा घुमाउरो सतह हुन्छ। यसको किनारा वा शिरोबिंदू हुँदैन। धेरै खेलकुद बल र बुलबुले गोलाकार आकारका हुन्छन्।
• सिलिन्डर : एउटा सिलिन्डरमा दुईवटा गोलाकार आधारहरू हुन्छन् जसको वरिपरि घुम्ने सतह हुन्छ। सुपको क्यान वा रोलिङ पिन एउटा सिलिन्डर हो। यसमा जम्मा ३ वटा सतहहरू हुन्छन्।
• कोन : कोनको आधार गोलो र माथिल्लो भाग चुच्चो हुन्छ। आइसक्रिम कोन यसको सामान्य उदाहरण हो। यसको घुमाउरो सतह र समतल आधार पनि हुन्छ।
• पिरामिड : पिरामिडको आधार बहुभुज हुन्छ, सामान्यतया वर्गाकार हुन्छ, र त्रिकोणीय अनुहारहरू एउटै बिन्दुमा मिल्छन्। पिरामिड खेलौना वा इजिप्टको प्रसिद्ध पिरामिडहरू उत्तम उदाहरण हुन्।

यी प्रत्येक आकारका आ-आफ्नै विशेष गुणहरू छन्। यद्यपि तिनीहरू सबै 3D आकृतिहरू हुन्, तिनीहरू वास्तविक संसारमा फरक तरिकाले देखिन्छन् र काम गर्छन्।

थ्रीडी फिगरका भागहरू बुझ्ने

जब हामी त्रि-आयामिक आकृतिहरूको अध्ययन गर्छौं, हामी तीन महत्त्वपूर्ण भागहरू सिक्छौं:

• अनुहारहरू : यी समतल वा घुमाउरो सतहहरू हुन् जसले आकारको बाहिरी भाग बनाउँछ। उदाहरणका लागि, एउटा घनमा ६ वटा वर्गाकार अनुहारहरू हुन्छन्।
• किनाराहरू : यी ती रेखाहरू हुन् जहाँ दुई अनुहारहरू मिल्छन्। घनमा, १२ वटा किनाराहरू हुन्छन्।
• माथिल्लो भागहरू : यी ती बिन्दुहरू हुन् जहाँ किनारहरू मिल्छन्। एउटा घनमा ८ वटा माथिल्लो भाग हुन्छन्।

यी भागहरू जान्दा विभिन्न आकारहरूको वर्णन गर्न र काम गर्न सजिलो हुन्छ।

त्रि-आयामिक चित्रहरूमा आयतन र ठाउँ

आयतनले हामीलाई बताउँछ कि त्रि-आयामिक आकार भित्र कति ठाउँ छ। कल्पना गर्नुहोस् कि कुनै आकारलाई साना क्यूबहरूले भरिएको छ। तपाईंले भित्र राख्न सक्ने क्यूबहरूको संख्या आकारको आयतन हो। प्रत्येक आकारको आयतनको लागि आफ्नै सूत्र हुन्छ।

उदाहरणका लागि, घनको आयतन सूत्र प्रयोग गरेर पत्ता लगाउन सकिन्छ:

\( V = a^3 \)

यहाँ, \( a \) घनको एक छेउको लम्बाइलाई जनाउँछ। आयताकार प्रिज्मको आयतन निम्न अनुसार गणना गरिन्छ:

\( V = l \times w \times h \)

जहाँ \( l \) लम्बाइ हो, \( w \) चौडाइ हो, र \( h \) उचाइ हो।

सिलिन्डरको लागि, भोल्युम निम्न द्वारा दिइएको छ:

\( V = \pi r^2 h \)

यहाँ, \( r \) गोलाकार आधारको त्रिज्या हो र \( h \) उचाइ हो। हाम्रा आकारहरू भित्र कति ठाउँ छ भनेर जान्न हामी यी सूत्रहरू प्रयोग गर्न सक्छौं।

त्रि-आयामिक चित्रहरूको सतह क्षेत्रफल

सतह क्षेत्रफल भनेको 3D आकारको सबै अनुहारहरूको कुल क्षेत्रफल हो। यसले हामीलाई आकारको बाहिरी भाग ढाक्न कति सामग्री चाहिन्छ भनेर बताउँछ। उदाहरणका लागि, यदि तपाईं कागजले बक्स बेर्न चाहनुहुन्छ भने, तपाईंले यसको सतह क्षेत्रफल ढाक्नु पर्छ।

सतह क्षेत्रफलको लागि सूत्रहरू अझ जटिल हुन सक्छन्, तर विचार सरल छ: प्रत्येक भागको क्षेत्रफल जोड्नुहोस्। \( a \) साइड भएको घनको लागि, सतह क्षेत्रफल यो हो:

\( SA = 6a^2 \)

यो किनभने सबै छवटा अनुहारहरूको क्षेत्रफल \( a^2 \) हुन्छ।

समाधान गरिएको उदाहरण १: घनको आयतन पत्ता लगाउने

समस्या: ३ एकाइको तर्फको लम्बाइ भएको घनको आयतन पत्ता लगाउनुहोस्।

समाधान:

1. घनको आयतनको सूत्र लेख्नुहोस्:
   \( V = a^3 \)
2. सूत्रमा पक्षको लम्बाइ प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
   \( V = (3)^3 \)
3. भोल्युम गणना गर्नुहोस्:
   \( V = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)
4. घनको आयतन २७ घन एकाइ छ।

यो उदाहरणले हामीलाई देखाउँछ कि कसरी साधारण सूत्र प्रयोग गर्नाले हामीलाई घनमा कति ठाउँ छ भनेर जान्न मद्दत गर्छ।

समाधान गरिएको उदाहरण २: आयताकार प्रिज्मको आयतन पत्ता लगाउने

समस्या: ४ एकाइ लम्बाइ, ३ एकाइ चौडाइ र २ एकाइ उचाइ भएको आयताकार प्रिज्मको आयतन पत्ता लगाउनुहोस्।

समाधान:

1. आयताकार प्रिज्मको आयतनको सूत्र लेख्नुहोस्:
   \( V = l \times w \times h \)
2. मानहरूलाई सूत्रमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
   \( V = 4 \times 3 \times 2 \)
3. संख्याहरूलाई चरणबद्ध रूपमा गुणन गर्नुहोस्:
   पहिले, १२ प्राप्त गर्न ४ र ३ लाई गुणन गर्नुहोस्।
   त्यसपछि, २४ प्राप्त गर्न १२ लाई २ ले गुणन गर्नुहोस्।
4. आयताकार प्रिज्मको आयतन २४ घन एकाइ छ।

यो उदाहरणले हामीलाई बक्स जस्तो आकार भित्रको ठाउँ पत्ता लगाउन तीन संख्याहरूलाई कसरी गुणन गर्ने भनेर बताउँछ।

समाधान गरिएको उदाहरण ३: सिलिन्डरको आयतन पत्ता लगाउने

समस्या: २ एकाइको त्रिज्या र ५ एकाइको उचाइ भएको सिलिन्डरको आयतन पत्ता लगाउनुहोस्।

समाधान:

1. सिलिन्डरको आयतनको सूत्र लेख्नुहोस्:
   \( V = \pi r^2 h \)
2. मानहरूलाई सूत्रमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
   \( V = \pi \times (2)^2 \times 5 \)
3. वर्गको त्रिज्या गणना गर्नुहोस्:
   \( (2)^2 = 4 \)
4. उचाइले गुणन गर्नुहोस्:
   \( 4 \times 5 = 20 \)
5. भोल्युम यो हो:
   \( V = 20\pi \)
6. यदि हामीले अनुमान \(\pi \approx 3.14\) प्रयोग गर्यौं भने, भोल्युम लगभग हुन्छ:
   \( V \approx 20 \times 3.14 = 62.8 \) घन एकाइ।

यो उदाहरणले हामीलाई सिलिन्डरको लागि सूत्र कसरी प्रयोग गर्ने भनेर देखाउँछ। यसले हामीलाई हाम्रो गणनामा \(\pi\) सँग कसरी काम गर्ने भनेर पनि सिकाउँछ।

थ्रीडी फिगरहरूको वास्तविक-विश्व अनुप्रयोगहरू

त्रि-आयामिक आकृतिहरू हामी वरिपरि छन्। तिनीहरू कति महत्त्वपूर्ण छन् भनेर बुझ्न मद्दत गर्न यहाँ केही उदाहरणहरू दिइएका छन्:

• घन र आयताकार प्रिज्म: धेरै बक्सहरू, भवन ब्लकहरू, र केही कोठाहरूमा पनि यी आकारहरू हुन्छन्। जब तपाईं खेलौना ब्लकहरूसँग खेल्नुहुन्छ वा बक्स बोक्नुहुन्छ, तपाईं 3D आकारहरूको विचार प्रयोग गर्दै हुनुहुन्छ।
• गोला: फुटबल वा बास्केटबल जस्ता खेलहरूमा प्रयोग हुने बलहरू गोलाकार हुन्छन्। सुन्तला जस्तो गोलो फललाई पनि गोलाकारको रूपमा देख्न सकिन्छ किनभने यो चारैतिर गोलो हुन्छ।
• सिलिन्डर: क्यान, पिउने गिलास, र धेरै भण्डारण कन्टेनरहरू सिलिन्डरको आकारमा हुन्छन्। घुमाउरो सतहले तिनीहरूलाई घुमाउन र समात्न सजिलो बनाउँछ।
• कोन: आइसक्रिम कोन, ट्राफिक कोन र पार्टी टोपी कोनका उदाहरण हुन्। पोइन्ट गरिएको माथिल्लो भाग र गोलो आधारले तिनीहरूलाई अद्वितीय बनाउँछ।
• पिरामिड: इजिप्टका प्रसिद्ध पिरामिडहरू बाहेक, तपाईं कहिलेकाहीं आधुनिक वास्तुकला वा खेलौनाहरूमा पिरामिडहरू देख्न सक्नुहुन्छ। तिनीहरू रोचक छन् किनभने तिनीहरूको फराकिलो आधार छ जुन एक बिन्दुमा आउँछ।

यी आकारहरू बुझ्नाले हामीलाई वास्तविक जीवनका वस्तुहरू डिजाइन गर्न र प्याकिङ, निर्माण, वा खेलौनाहरूसँग खेल्ने जस्ता दैनिक समस्याहरू समाधान गर्न मद्दत गर्छ।

अतिरिक्त गुणहरू र भिन्नताहरू

हामीले सामान्य 3D आकारहरूको आधारभूत गुणहरू सिकिसकेका छौं, तर अन्वेषण गर्न अन्य रोचक विचारहरू पनि छन्:

• सममिति: धेरै त्रि-आयामिक आकारहरूमा सममित गुणहरू हुन्छन्। यसको अर्थ तिनीहरूलाई समान देखिने समान भागहरूमा विभाजन गर्न सकिन्छ। उदाहरणका लागि, घनलाई धेरै फरक तरिकाले बराबर आधा भागहरूमा विभाजन गर्न सकिन्छ।
• परिक्रमा: केही आकारहरू घुमाउँदा वा घुमाउँदा पनि उस्तै देखिन्छन्। उदाहरणका लागि, एउटा गोलाकार, हरेक कोणबाट उस्तै देखिन्छ।
• स्केलिङ: आकारलाई ठूलो वा सानो बनाउन सकिन्छ। यदि तपाईंले घनको छेउ बढाउनुभयो भने, यसको आयतन बढ्छ। यसले हामीलाई समानुपातिकताको बारेमा सिकाउँछ र एउटा मापन परिवर्तन गर्दा सम्पूर्ण आकारलाई कसरी असर गर्छ।

यी गुणहरूले हामीलाई सरल आकारहरूमा सुन्दरता र तर्क हेर्न मद्दत गर्छन्। तिनीहरूले गणित र डिजाइनमा व्यावहारिक पजलहरू समाधान गर्न पनि मद्दत गर्छन्।

दैनिक उदाहरण र गतिविधिहरू

भवन ब्लकहरूसँग खेल्ने कल्पना गर्नुहोस्। प्रत्येक ब्लक एउटा सानो आयताकार प्रिज्म वा घन हो। जब तपाईं टावर बनाउनुहुन्छ, तपाईं 3D आकृतिहरू थुपार्दै हुनुहुन्छ। आफ्नो घर वरिपरि हेर्नुहोस्। कुर्सी, टेबल, र केही खेलौनाहरू जस्ता धेरै वस्तुहरूमा पनि 3D आकारहरू हुन्छन्। यी उदाहरणहरूले देखाउँछन् कि गणित केवल किताबमा मात्र हुँदैन - यो जताततै हुन्छ!

तपाईंको शिक्षकले तपाईंलाई यी आकारहरू व्यक्तिगत रूपमा हेर्न मद्दत गर्न कक्षामा खेलौना वा साधारण उपकरणहरू ल्याउन सक्छन्। दैनिक वस्तुहरू अवलोकन गर्नाले 3D आकृतिहरू सिक्न रमाइलो र सजिलो बनाउन सक्छ। ध्यान दिएर, तपाईंले सुपरमार्केट, पार्क र खेल मैदानमा पनि यी आकारहरू चिन्नुहुनेछ।

रेखाचित्र मार्फत अन्वेषण गर्दै

तपाईं यी ३D आकारहरू कागजमा कोर्न अभ्यास गर्न सक्नुहुन्छ। एउटा साधारण वर्ग कोरेर सुरु गर्नुहोस्। त्यसपछि, पहिलो वर्गबाट ​​अलि टाढा अर्को वर्ग कोर्नुहोस्। त्यसपछि, तिनीहरूका कुनाहरूलाई रेखाहरूले जोड्नुहोस्। यो रेखाचित्र घन बन्न सक्छ! तपाईंको रेखाचित्रमा विभिन्न आकारहरू जोडेर, तपाईंले बुझ्नुहुनेछ कि कसरी अनुहारहरू ३D वस्तुहरूमा एकसाथ आउँछन्।

रेखाचित्रले हाम्रो दिमागलाई ठाउँ कसरी काम गर्छ भनेर हेर्न मद्दत गर्छ। जब तपाईं आयत कोर्नुहुन्छ र गहिराइको लागि अलिकति अतिरिक्त थप्नुहुन्छ, तपाईं 3D बक्स देखाउँदै हुनुहुन्छ। प्रत्येक अनुहारलाई अझ फरक देखाउन आफ्नो रंगीन पेन्सिल प्रयोग गर्नुहोस्। यो गतिविधिले तपाईंलाई अनुहार, किनारा र माथिल्लो भागहरू जस्ता 3D आकारका भागहरू सम्झन मद्दत गर्न सक्छ।

२D र ३D चित्रहरूको तुलना गर्दै

२-आयामी (२D) र ३-आयामी (३D) आकारहरू बीचको भिन्नता जान्न महत्त्वपूर्ण छ। वर्ग वा वृत्त जस्तो २D आकारको लम्बाइ र चौडाइ मात्र हुन्छ। यो कागजमा चित्र जस्तै समतल हुन्छ। यसको विपरीत, ३D आकारको अतिरिक्त मापन हुन्छ - उचाइ। यो अतिरिक्त आयामले आकारलाई वास्तविक र स्पर्शयोग्य बनाउँछ।

उदाहरणका लागि, कागजमा वृत्तको रेखाचित्र २D हुन्छ। यद्यपि, बल भनेको ३D गोलाकार हो। बललाई तपाईंको हातमा समात्न सकिन्छ। यो अतिरिक्त आयामले वस्तुहरूलाई आयतन र ठाउँ भित्र राख्न मद्दत गर्छ।

ज्यामितिमा थ्रीडी फिगरहरूको महत्त्व बुझ्दै

त्रिआयामिक आकृतिहरू ज्यामितिको एक ठूलो भाग हुन्। ज्यामितिले हामीलाई आकार, आकार र ठाउँका गुणहरू बुझ्न मद्दत गर्छ। त्रिआयामिक आकृतिहरूको अध्ययन गरेर, हामी वस्तुहरू कस्तो देखिन्छन् भनेर मात्र होइन तर तिनीहरूले कसरी काम गर्छन् भनेर पनि सिक्छौं। यो ज्ञान निर्माण, डिजाइन र कला सिर्जना गर्न धेरै उपयोगी छ।

इन्जिनियरहरू र आर्किटेक्टहरूले भवनहरू डिजाइन गर्न 3D आकारहरू प्रयोग गर्छन्। कलाकारहरूले मूर्तिकलाहरू सिर्जना गर्न तिनीहरूलाई प्रयोग गर्छन्। कम्प्युटर गेमहरूले पनि पात्रहरू र संसारहरूलाई जीवन्त बनाउन 3D आकृतिहरू प्रयोग गर्छन्। सानै उमेरमा यी आकारहरूको बारेमा सिक्नुले भविष्यमा धेरै उत्कृष्ट करियरहरूको लागि आधार तयार पार्छ।

मुख्य बुँदाहरूको सारांश

आज, हामीले ३-आयामी आकृतिहरूसँग सम्बन्धित धेरै महत्त्वपूर्ण विचारहरूको बारेमा सिक्यौं:

• परिभाषा: त्रि-आयामिक आकारहरूको लम्बाइ, चौडाइ र उचाइ हुन्छ। तिनीहरूले ठाउँ लिन्छन् र छुन सकिन्छ।
• सामान्य आकारहरू: घन, आयताकार प्रिज्म, गोलाकार, बेलनाकार, शंकु र पिरामिड हामीले हरेक दिन देख्ने त्रि-आयामिक आकृतिहरूका उदाहरण हुन्।
• त्रि-आयामिक आकृतिका भागहरू: अनुहार, किनारा र शीर्षहरूले आकारको संरचना वर्णन गर्छन्। उदाहरणका लागि, घनमा ६ अनुहार, १२ किनारा र ८ शीर्षहरू हुन्छन्।
• आयतन: आयतनले हामीलाई 3D आकार भित्र कति ठाउँ छ भनेर बताउँछ। हामीले घनको लागि \( V = a^3 \) र आयताकार प्रिज्मको लागि \( V = l \times w \times h \) जस्ता सूत्रहरू सिक्यौं।
• सतह क्षेत्रफल: सतह क्षेत्रफल भनेको आकारका सबै अनुहारहरूको कुल क्षेत्रफल हो। घनको लागि, सूत्र \( SA = 6a^2 \) हो।
• समाधान गरिएका उदाहरणहरू: हामीले घन, आयताकार प्रिज्म र सिलिन्डरका उदाहरणहरू समाधान गर्यौं। यी उदाहरणहरूले आयतन गणना गर्ने चरण-दर-चरण विधिहरू देखाए।
• वास्तविक-विश्व अनुप्रयोगहरू: बक्स, बल र क्यान जस्ता दैनिक वस्तुहरू 3D आकारका उदाहरण हुन्। हामी तिनीहरूलाई हाम्रो घर, विद्यालय र खेल मैदानहरूमा देख्छौं।
• अतिरिक्त अवधारणाहरू: सममिति, परिक्रमा, र स्केलिंग जस्ता अवधारणाहरूले हामीलाई आकारहरू कसरी काम गर्छन् र परिवर्तन हुन्छन् भन्ने बारे थप बुझ्न मद्दत गर्छन्।
• २D आकृतिहरूसँग तुलना: २D आकृतिहरूको विपरीत, ३D आकृतिहरूमा गहिराइ हुन्छ। यसले तिनीहरूलाई वास्तविक र स्पर्शयोग्य बनाउँछ।

यी बुँदाहरूको बारेमा सिकेर, अब तपाईंसँग ३-आयामी आकृतिहरूमा बलियो जग छ। याद गर्नुहोस् कि गणित तपाईंको वरिपरि छ, र दैनिक जीवनमा आकारहरू अवलोकन गर्नाले सिक्न रमाइलो र उपयोगी बनाउँछ।

आफ्नो वरपरका वस्तुहरू हेरेर सिकेका कुराहरूको अभ्यास गरिरहनुहोस्। घन, गोलाकार वा बेलनाकार कसरी विभिन्न तरिकाले प्रयोग गरिन्छ भन्ने कुरामा ध्यान दिनुहोस्। यसले तपाईंलाई ज्यामितिमा रहेको सुन्दरता हेर्न र तपाईंलाई राम्रो समस्या समाधानकर्ता बनाउन मद्दत गर्नेछ।

यो पाठ त सुरुवात मात्र हो। तपाईं बढ्दै जाँदा र गणित सिक्दै जाँदा, तपाईंले 3D आकृतिहरू र ज्यामितिको बारेमा अझ रोमाञ्चक कुराहरू पत्ता लगाउनुहुनेछ। अन्वेषणको आनन्द लिनुहोस् र आफ्नो जिज्ञासालाई जीवित राख्नुहोस्!