Back to the topics list

figuras tridimensionais

Figuras tridimensionais

Nesta lição, aprenderemos sobre figuras tridimensionais (3D). São formas que têm comprimento, largura e altura. Você pode tocar nessas formas porque elas ocupam espaço. Vemos muitas figuras tridimensionais em nosso dia a dia. Exemplos incluem cubos de gelo, bolas, caixas e latas.

Introdução

Uma figura tridimensional é uma forma que não é plana. Ao contrário de um desenho no papel, essas formas têm profundidade. Quando falamos sobre formas tridimensionais, aprendemos sobre partes como faces, arestas e vértices. Elas nos ajudam a entender como a forma é construída.

Todos os dias, vemos muitos objetos com formas tridimensionais. Um bloco de brinquedo, uma lata de sopa ou uma bola são exemplos comuns. Ao aprender sobre essas formas, podemos contar suas partes e até mesmo fazer cálculos simples, como volume ou espaço dentro delas. Conhecer essas formas nos ajuda a entender o mundo ao nosso redor.

Formas 3D básicas

Vamos dar uma olhada em algumas formas 3D comuns e aprender um pouco sobre cada uma delas.

• Cubo : Um cubo tem 6 faces. Todas as faces são quadradas e têm o mesmo tamanho. Ele também tem 12 arestas e 8 vértices. Você pode ver um cubo em um dado ou bloco com o qual você joga.
• Prisma retangular : este formato é semelhante a um cubo, mas suas faces são retangulares. Possui 6 faces, 12 arestas e 8 vértices. Uma caixa de sapatos ou um tijolo são bons exemplos de prisma retangular.
• Esfera : Uma esfera é redonda, como uma bola. Possui uma superfície curva. Não possui arestas ou vértices. Muitas bolas esportivas e bolas de sabão têm formas esféricas.
• Cilindro : Um cilindro tem duas bases circulares com uma superfície curva que o circunda. Uma lata de sopa ou um rolo de massa são cilindros. Ele tem três superfícies no total.
• Cone : Um cone tem uma base redonda e uma ponta pontiaguda. Uma casquinha de sorvete é um exemplo comum. Também tem uma superfície curva e uma base plana.
• Pirâmide : Uma pirâmide tem um polígono como base, geralmente um quadrado, e faces triangulares que se encontram em um único ponto. Um brinquedo de pirâmide ou as famosas pirâmides do Egito são exemplos perfeitos.

Cada uma dessas formas tem suas próprias propriedades especiais. Embora sejam todas figuras tridimensionais, elas têm aparência e funcionamento diferentes no mundo real.

Compreendendo as partes das figuras 3D

Quando estudamos figuras 3D, aprendemos três partes importantes:

• Faces : São as superfícies planas ou curvas que compõem a parte externa de uma forma. Por exemplo, um cubo tem 6 faces quadradas.
• Arestas : São as linhas onde duas faces se encontram. Em um cubo, existem 12 arestas.
• Vértices : São os pontos onde as arestas se encontram. Um cubo tem 8 vértices.

Conhecer essas partes torna mais fácil descrever e trabalhar com diferentes formas.

Volume e Espaço em Figuras 3D

O volume nos diz quanto espaço há dentro de uma forma tridimensional. Imagine preencher uma forma com pequenos cubos. O número de cubos que você pode colocar dentro dela é o volume da forma. Cada forma tem sua própria fórmula para volume.

Por exemplo, o volume de um cubo pode ser encontrado usando a fórmula:

\( V = a^3 \)

Aqui, \( a \) representa o comprimento de um lado do cubo. O volume de um prisma retangular é calculado por:

\( V = l \times w \times h \)

Onde \( l \) é o comprimento, \( w \) é a largura e \( h \) é a altura.

Para um cilindro, o volume é dado por:

\( V = \pi r^2 h \)

Aqui, \( r \) é o raio da base circular e \( h \) é a altura. Podemos usar essas fórmulas para descobrir quanto espaço há dentro das nossas formas.

Área de superfície de figuras 3D

A área da superfície é a área total de todas as faces de uma forma tridimensional. Ela nos indica a quantidade de material necessária para cobrir a parte externa da forma. Por exemplo, se você quiser embrulhar uma caixa com papel, precisará cobrir sua área de superfície.

Embora as fórmulas para a área da superfície possam ser mais complexas, a ideia é simples: some a área de cada face. Para um cubo com lado \( a \) , a área da superfície é:

\( SA = 6a^2 \)

Isso ocorre porque todas as seis faces têm uma área de \( a^2 \) cada.

Exemplo resolvido 1: Encontrando o volume de um cubo

Problema: Encontre o volume de um cubo cujo lado mede 3 unidades.

Solução:

1. Escreva a fórmula para o volume de um cubo:
   \( V = a^3 \)
2. Substitua o comprimento do lado na fórmula:
   \( V = (3)^3 \)
3. Calcular o volume:
   \( V = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)
4. O volume do cubo é 27 unidades cúbicas.

Este exemplo nos mostra como usar uma fórmula simples nos ajuda a saber quanto espaço um cubo tem.

Exemplo resolvido 2: Encontrando o volume de um prisma retangular

Problema: Encontre o volume de um prisma retangular com comprimento de 4 unidades, largura de 3 unidades e altura de 2 unidades.

Solução:

1. Escreva a fórmula para o volume de um prisma retangular:
   \( V = l \times w \times h \)
2. Substitua os valores na fórmula:
   \( V = 4 \times 3 \times 2 \)
3. Multiplique os números passo a passo:
   Primeiro, multiplique 4 por 3 para obter 12.
   Depois, multiplique 12 por 2 para obter 24.
4. O volume do prisma retangular é de 24 unidades cúbicas.

Este exemplo nos diz como multiplicar três números para encontrar o espaço dentro de uma caixa.

Exemplo resolvido 3: Encontrando o volume de um cilindro

Problema: Encontre o volume de um cilindro com raio de 2 unidades e altura de 5 unidades.

Solução:

1. Escreva a fórmula para o volume de um cilindro:
   \( V = \pi r^2 h \)
2. Substitua os valores na fórmula:
   \( V = \pi \times (2)^2 \times 5 \)
3. Calcule o raio ao quadrado:
   \( (2)^2 = 4 \)
4. Multiplique pela altura:
   \( 4 \times 5 = 20 \)
5. O volume é:
   \( V = 20\pi \)
6. Se usarmos a aproximação \(\pi \approx 3.14\) , o volume é aproximadamente:
   \( V \approx 20 \times 3.14 = 62.8 \) unidades cúbicas.

Este exemplo nos mostra como usar a fórmula para um cilindro. Também nos ensina como trabalhar com \(\pi\) em nossos cálculos.

Aplicações do mundo real de figuras 3D

Figuras 3D estão por toda parte. Aqui estão alguns exemplos para ajudar você a ver a importância delas:

• Cubo e Prisma Retangular: Muitas caixas, blocos de montar e até mesmo alguns cômodos têm esses formatos. Ao brincar com blocos de montar ou carregar uma caixa, você está utilizando a ideia de formas tridimensionais.
• Esfera: Bolas usadas em esportes como futebol ou basquete são esféricas. Uma fruta redonda, como uma laranja, também pode ser vista como uma esfera, pois é redonda por toda parte.
• Cilindro: Latas, copos e muitos recipientes de armazenamento têm o formato de cilindros. A superfície curva facilita o enrolamento e a sustentação.
• Cone: Casquinhas de sorvete, cones de trânsito e chapéus de festa são exemplos de cones. A ponta pontiaguda e a base redonda os tornam únicos.
• Pirâmides: Além das famosas pirâmides do Egito, às vezes você pode ver pirâmides na arquitetura moderna ou em brinquedos. Elas são interessantes porque têm uma base larga que termina em uma ponta.

Entender essas formas nos ajuda a projetar objetos da vida real e até mesmo a resolver problemas cotidianos, como embalar, construir ou simplesmente brincar com brinquedos.

Propriedades e variações adicionais

Embora tenhamos aprendido as propriedades básicas das formas 3D comuns, há outras ideias interessantes para explorar:

• Simetria: Muitas formas 3D têm propriedades simétricas. Isso significa que podem ser divididas em partes iguais que parecem iguais. Por exemplo, um cubo pode ser dividido em metades iguais de muitas maneiras diferentes.
• Rotação: Algumas formas parecem iguais mesmo quando giradas ou rotacionadas. Uma esfera, por exemplo, parece a mesma de todos os ângulos.
• Escala: Uma forma pode ser ampliada ou reduzida. Se você aumentar a lateral de um cubo, seu volume aumenta. Isso nos ensina sobre proporcionalidade e como a mudança de uma medida afeta toda a forma.

Essas propriedades nos ajudam a enxergar a beleza e a lógica em formas simples. Também auxiliam na resolução de quebra-cabeças práticos em matemática e design.

Exemplos e atividades cotidianas

Imagine brincar com blocos de montar. Cada bloco é um pequeno prisma retangular ou cubo. Ao construir uma torre, você está empilhando figuras tridimensionais. Observe sua casa. Muitos objetos, como cadeiras, mesas e até alguns brinquedos, têm formas tridimensionais. Esses exemplos mostram que a matemática não está apenas em um livro — ela está em todo lugar!

Seu professor pode levar brinquedos ou ferramentas simples para a aula para ajudar você a ver essas formas pessoalmente. Observar objetos do cotidiano pode tornar o aprendizado de figuras 3D divertido e fácil. Prestando atenção, você reconhecerá essas formas em supermercados, parques e até mesmo no parquinho.

Explorando através do desenho

Você também pode praticar o desenho dessas formas 3D no papel. Comece desenhando um quadrado simples. Em seguida, desenhe outro quadrado um pouco afastado do primeiro. Em seguida, conecte seus cantos com linhas. Este desenho pode se tornar um cubo! Ao conectar diferentes formas no seu desenho, você entenderá como os rostos se unem em objetos 3D.

Desenhar ajuda nossa mente a entender como o espaço funciona. Ao desenhar um retângulo e adicionar um pouco mais de profundidade, você estará mostrando uma caixa tridimensional. Use lápis de cor para destacar ainda mais cada face. Esta atividade pode ajudar você a se lembrar das partes das formas tridimensionais, como faces, arestas e vértices.

Comparando figuras 2D e 3D

É importante saber a diferença entre formas bidimensionais (2D) e tridimensionais (3D). Uma forma bidimensional, como um quadrado ou um círculo, tem apenas comprimento e largura. É plana, como um desenho no papel. Em contraste, uma forma tridimensional tem uma medida extra: a altura. Essa dimensão extra torna a forma real e palpável.

Por exemplo, o desenho de um círculo no papel é bidimensional. No entanto, uma bola é uma esfera tridimensional. A bola pode ser segurada na mão. Essa dimensão extra ajuda os objetos a terem volume e espaço dentro deles.

Compreendendo a importância das figuras 3D na geometria

Figuras tridimensionais são uma parte importante da geometria. A geometria nos ajuda a entender formas, tamanhos e as propriedades do espaço. Ao estudar figuras tridimensionais, aprendemos não apenas a aparência dos objetos, mas também como eles funcionam. Esse conhecimento é muito útil na construção, no design e na criação artística.

Engenheiros e arquitetos usam formas 3D para projetar edifícios. Artistas as usam para criar esculturas. Até jogos de computador usam figuras 3D para dar vida a personagens e mundos. Aprender sobre essas formas desde cedo estabelece as bases para muitas carreiras interessantes no futuro.

Resumo dos pontos principais

Hoje, aprendemos sobre várias ideias importantes relacionadas a figuras tridimensionais:

• Definição: Formas 3D têm comprimento, largura e altura. Elas ocupam espaço e podem ser tocadas.
• Formas comuns: O cubo, o prisma retangular, a esfera, o cilindro, o cone e a pirâmide são exemplos de figuras 3D que vemos todos os dias.
• Partes de Figuras 3D: Faces, arestas e vértices descrevem a estrutura de uma forma. Por exemplo, um cubo tem 6 faces, 12 arestas e 8 vértices.
• Volume: O volume nos diz quanto espaço há dentro de uma forma tridimensional. Aprendemos fórmulas como \( V = a^3 \) para um cubo e \( V = l \times w \times h \) para um prisma retangular.
• Área de Superfície: A área de superfície é a área total de todas as faces de uma forma. Para um cubo, a fórmula é \( SA = 6a^2 \) .
• Exemplos resolvidos: Resolvemos exemplos para um cubo, um prisma retangular e um cilindro. Esses exemplos mostraram métodos passo a passo para calcular o volume.
• Aplicações no mundo real: Objetos do cotidiano como caixas, bolas e latas são exemplos de formas 3D. Nós as vemos em nossas casas, escolas e playgrounds.
• Conceitos extras: Conceitos como simetria, rotação e escala nos ajudam a entender mais sobre como as formas funcionam e mudam.
• Comparação com figuras 2D: Ao contrário das formas 2D, as figuras 3D têm profundidade. Isso as torna reais e palpáveis.

Ao aprender sobre esses pontos, você terá uma base sólida em figuras tridimensionais. Lembre-se de que a matemática está ao seu redor e observar formas no dia a dia torna o aprendizado divertido e útil.

Continue praticando o que aprendeu observando os objetos ao seu redor. Observe como um cubo, uma esfera ou um cilindro são usados de diferentes maneiras. Isso ajudará você a enxergar a beleza da geometria e a se tornar um melhor solucionador de problemas.

Esta lição é só o começo. À medida que você cresce e aprende mais matemática, descobrirá coisas ainda mais interessantes sobre figuras 3D e geometria. Divirta-se explorando e mantenha sua curiosidade viva!