Back to the topics list

3-х мерные фигуры

3-мерные фигуры

На этом уроке мы изучим трёхмерные фигуры. Это фигуры, имеющие длину, ширину и высоту. Эти фигуры можно потрогать, потому что они занимают пространство. Мы видим множество трёхмерных фигур в повседневной жизни. Например, кубики льда, мячи, коробки и банки.

Введение

Трёхмерная фигура — это неплоская фигура. В отличие от рисунка на бумаге, эти фигуры обладают объёмом. Когда мы говорим о трёхмерных фигурах, мы имеем в виду такие их части, как грани, рёбра и вершины. Они помогают нам понять, как устроена фигура.

Каждый день мы видим множество предметов трёхмерной формы. Игрушечный кубик, банка супа или мяч — вот повседневные примеры. Изучая эти формы, мы можем считать их части и даже производить простые вычисления, например, определять объём или пространство внутри них. Знание этих форм помогает нам понимать окружающий мир.

Базовые 3D-фигуры

Давайте рассмотрим некоторые распространенные трехмерные фигуры и узнаем немного о каждой из них.

• Куб : У куба 6 граней. Все грани — квадраты одинакового размера. У куба также 12 рёбер и 8 вершин. Куб можно увидеть на игральном кубике или в игральном блоке.
• Прямоугольная призма : эта фигура похожа на куб, но её грани — прямоугольники. У неё 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Обувная коробка или кирпич — хороший пример прямоугольной призмы.
• Сфера : Сфера круглая, как мяч. У неё одна изогнутая поверхность. У неё нет рёбер и вершин. Многие спортивные мячи и пузыри имеют сферическую форму.
• Цилиндр : Цилиндр имеет два круглых основания с изогнутой поверхностью, огибающей их. Банка супа или скалка — это цилиндр. Всего у него три поверхности.
• Конус : конус имеет круглое основание и заостренную верхушку. Типичным примером является рожок для мороженого. Он также имеет изогнутую поверхность и одно плоское основание.
• Пирамида : основание пирамиды представляет собой многоугольник, обычно квадрат, и треугольные грани, сходящиеся в одной точке. Игрушка-пирамида или знаменитые египетские пирамиды — прекрасные примеры.

Каждая из этих фигур обладает своими особыми свойствами. Несмотря на то, что все они трёхмерные, в реальном мире они выглядят и работают по-разному.

Понимание частей 3D-фигур

При изучении трехмерных фигур мы изучаем три важные части:

• Грани : плоские или изогнутые поверхности, образующие внешнюю часть фигуры. Например, у куба 6 квадратных граней.
• Рёбра : это линии, по которым сходятся две грани. У куба 12 рёбер.
• Вершины : точки, в которых сходятся рёбра. У куба 8 вершин.

Знание этих частей облегчает описание и работу с различными формами.

Объем и пространство в трехмерных фигурах

Объём показывает, сколько места находится внутри трёхмерной фигуры. Представьте, что вы заполняете фигуру маленькими кубиками. Количество кубиков, которые можно поместить внутрь, и есть объём фигуры. Для каждой фигуры существует своя формула для вычисления объёма.

Например, объем куба можно найти по формуле:

\( V = a^3 \)

Здесь \( a \) обозначает длину одной стороны куба. Объём прямоугольной призмы вычисляется по формуле:

\( V = l \times w \times h \)

Где \( l \) — длина, \( w \) — ширина, а \( h \) — высота.

Для цилиндра объем определяется по формуле:

\( V = \pi r^2 h \)

Здесь \( r \) — радиус круглого основания, а \( h \) — высота. Мы можем использовать эти формулы, чтобы узнать объём пространства внутри наших фигур.

Площадь поверхности 3D-фигур

Площадь поверхности — это суммарная площадь всех граней трёхмерной фигуры. Она показывает, сколько материала потребуется для покрытия внешней поверхности фигуры. Например, если вы хотите обернуть коробку бумагой, вам нужно покрыть её поверхность.

Хотя формулы для площади поверхности могут быть более сложными, идея проста: сложить площади каждой грани. Для куба со стороной \( a \) площадь поверхности равна:

\( SA = 6a^2 \)

Это потому, что все шесть граней имеют площадь \( a^2 \) каждая.

Решенный пример 1: нахождение объема куба

Задача: найти объем куба со стороной 3 единицы.

Решение:

1. Запишите формулу объема куба:
   \( V = a^3 \)
2. Подставим длину стороны в формулу:
   \( V = (3)^3 \)
3. Рассчитаем объем:
   \( V = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)
4. Объем куба составляет 27 кубических единиц.

Этот пример показывает, как использование простой формулы помогает нам узнать объем куба.

Решенный пример 2: нахождение объема прямоугольной призмы

Задача: найти объем прямоугольной призмы, длина которой равна 4 единицам, ширина — 3 единицы, а высота — 2 единицы.

Решение:

1. Запишите формулу объема прямоугольной призмы:
   \( V = l \times w \times h \)
2. Подставим значения в формулу:
   \( V = 4 \times 3 \times 2 \)
3. Умножаем числа шаг за шагом:
   Сначала умножим 4 и 3, чтобы получить 12.
   Затем умножьте 12 на 2, чтобы получить 24.
4. Объем прямоугольной призмы составляет 24 кубических единицы.

В этом примере показано, как перемножить три числа, чтобы найти пространство внутри прямоугольной фигуры.

Решенный пример 3: нахождение объема цилиндра

Задача: найти объем цилиндра с радиусом 2 единицы и высотой 5 единиц.

Решение:

1. Запишите формулу объема цилиндра:
   \( V = \pi r^2 h \)
2. Подставим значения в формулу:
   \( V = \pi \times (2)^2 \times 5 \)
3. Рассчитаем квадрат радиуса:
   \( (2)^2 = 4 \)
4. Умножаем на высоту:
   \( 4 \times 5 = 20 \)
5. Объем:
   \( V = 20\pi \)
6. Если использовать приближение \(\pi \approx 3.14\) , то объем составит приблизительно:
   \( V \approx 20 \times 3.14 = 62.8 \) кубических единиц.

Этот пример показывает, как использовать формулу для цилиндра. Он также учит нас работать с \(\pi\) в наших расчётах.

Реальные применения 3D-фигур

Трёхмерные фигуры окружают нас повсюду. Вот несколько примеров, которые помогут вам понять, насколько они важны:

• Куб и прямоугольная призма: многие коробки, строительные блоки и даже некоторые комнаты имеют эти формы. Играя с игрушечными кубиками или перенося коробку, вы используете идею трёхмерных фигур.
• Сфера: Мячи, используемые в таких видах спорта, как футбол или баскетбол, имеют сферическую форму. Круглый фрукт, например, апельсин, также можно считать сферой, поскольку он круглый по всей поверхности.
• Цилиндр: Банки, стаканы и многие контейнеры для хранения имеют форму цилиндра. Благодаря изогнутой поверхности их удобно катить и держать.
• Рожок: рожки для мороженого, дорожные конусы и праздничные колпаки — примеры рожков. Острый верх и круглое основание делают их уникальными.
• Пирамида: Помимо знаменитых египетских пирамид, пирамиды иногда можно увидеть в современной архитектуре или в игрушках. Они интересны тем, что у них широкое основание, сужающееся к концу.

Понимание этих форм помогает нам проектировать реальные объекты и даже решать повседневные задачи, такие как упаковка, строительство или просто игра с игрушками.

Дополнительные свойства и вариации

Хотя мы изучили основные свойства обычных трехмерных фигур, есть и другие интересные идеи для изучения:

• Симметрия: Многие трёхмерные фигуры обладают симметричными свойствами. Это означает, что их можно разделить на равные части, которые выглядят одинаково. Например, куб можно разделить на равные половины множеством способов.
• Вращение: Некоторые фигуры выглядят одинаково, даже если их повернуть или вращать. Например, сфера выглядит одинаково со всех сторон.
• Масштабирование: фигуру можно увеличить или уменьшить. Если увеличить сторону куба, его объём увеличится. Это учит нас пропорциональности и тому, как изменение одного измерения влияет на всю фигуру.

Эти свойства помогают нам видеть красоту и логику в простых формах. Они также помогают решать практические задачи в математике и дизайне.

Примеры и действия на каждый день

Представьте себе игру с строительными блоками. Каждый блок — это небольшая прямоугольная призма или куб. Строя башню, вы складываете трёхмерные фигуры. Оглянитесь вокруг. Многие предметы, такие как стулья, столы и даже некоторые игрушки, имеют трёхмерную форму. Эти примеры показывают, что математика — не только в книгах, она повсюду!

Ваш учитель может принести в класс игрушки или простые инструменты, чтобы помочь вам увидеть эти фигуры лично. Наблюдение за повседневными предметами может сделать изучение трёхмерных фигур увлекательным и лёгким. Если вы будете внимательны, вы сможете узнавать эти фигуры в супермаркетах, парках и даже на детской площадке.

Исследование через рисунок

Вы также можете попрактиковаться в рисовании этих трёхмерных фигур на бумаге. Начните с простого квадрата. Затем нарисуйте ещё один квадрат немного дальше от первого. Затем соедините их углы линиями. Из этого рисунка может получиться куб! Соединяя разные фигуры на рисунке, вы поймёте, как грани складываются в трёхмерные объекты.

Рисование помогает нашему сознанию понять, как устроено пространство. Рисуя прямоугольник и добавляя немного глубины, вы изображаете трёхмерную коробку. Используйте цветные карандаши, чтобы сделать каждую грань более выразительной. Это упражнение поможет вам запомнить такие элементы трёхмерных фигур, как грани, рёбра и вершины.

Сравнение 2D и 3D фигур

Важно понимать разницу между двумерными (2D) и трёхмерными (3D) фигурами. Двумерная фигура, например, квадрат или круг, имеет только длину и ширину. Она плоская, как рисунок на бумаге. В отличие от неё, трёхмерная фигура имеет дополнительную величину – высоту. Это дополнительное измерение делает фигуру реальной и осязаемой.

Например, рисунок круга на бумаге — это двумерный объект. Однако мяч — это трёхмерная сфера. Мяч можно держать в руке. Это дополнительное измерение придаёт предметам объём и пространство внутри.

Понимание важности трехмерных фигур в геометрии

Трёхмерные фигуры играют важную роль в геометрии. Геометрия помогает нам понимать формы, размеры и свойства пространства. Изучая трёхмерные фигуры, мы узнаём не только, как выглядят объекты, но и как они работают. Эти знания очень полезны в строительстве, проектировании и создании произведений искусства.

Инженеры и архитекторы используют трёхмерные фигуры для проектирования зданий. Художники используют их для создания скульптур. Даже в компьютерных играх трёхмерные фигуры используются для оживления персонажей и миров. Знакомство с этими фигурами в раннем возрасте закладывает основу для многих интересных профессий в будущем.

Краткое изложение ключевых моментов

Сегодня мы узнали о нескольких важных идеях, связанных с трехмерными фигурами:

• Определение: Трёхмерные фигуры имеют длину, ширину и высоту. Они занимают пространство и их можно потрогать.
• Распространенные формы: куб, прямоугольная призма, сфера, цилиндр, конус и пирамида — примеры трехмерных фигур, которые мы видим каждый день.
• Части трёхмерных фигур: грани, рёбра и вершины описывают структуру фигуры. Например, у куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
• Объём: Объём показывает, сколько места находится внутри трёхмерной фигуры. Мы изучили такие формулы, как \( V = a^3 \) для куба и \( V = l \times w \times h \) для прямоугольной призмы.
• Площадь поверхности: Площадь поверхности — это сумма площадей всех граней фигуры. Для куба формула: \( SA = 6a^2 \) .
• Решённые примеры: Мы решили примеры для куба, прямоугольной призмы и цилиндра. В этих примерах показаны пошаговые методы вычисления объёма.
• Применение в реальном мире: Повседневные предметы, такие как коробки, мячи и банки, являются примерами трёхмерных фигур. Мы видим их дома, в школах и на игровых площадках.
• Дополнительные концепции: такие концепции, как симметрия, вращение и масштабирование, помогают нам лучше понять, как работают и изменяются формы.
• Сравнение с 2D-фигурами: В отличие от 2D-фигур, 3D-фигуры обладают глубиной. Это делает их реальными и осязаемыми.

Изучив эти моменты, вы получите прочную основу для изучения трёхмерных фигур. Помните, что математика повсюду вокруг вас, и наблюдение за формами в повседневной жизни делает обучение увлекательным и полезным.

Продолжайте практиковать полученные знания, рассматривая окружающие предметы. Обратите внимание на то, как куб, сфера или цилиндр используются по-разному. Это поможет вам увидеть красоту геометрии и научиться лучше решать задачи.

Этот урок — только начало. По мере того, как вы будете расти и узнавать больше о математике, вы откроете для себя ещё больше интересного о трёхмерных фигурах и геометрии. Наслаждайтесь исследованиями и не теряйте любопытства!