Back to the topics list

3-мірні фігури

Тривимірні фігури

У цьому уроці ми дізнаємося про тривимірні (3D) фігури. Це фігури, які мають довжину, ширину та висоту. Ви можете торкатися цих фігур, тому що вони займають місце. Ми бачимо багато тривимірних фігур у нашому повсякденному житті. Прикладами є кубики льоду, кульки, коробки та банки.

Вступ

3D-фігура — це форма, яка не є плоскою. На відміну від малюнка на папері, ці фігури мають глибину. Коли ми говоримо про 3D-фігури, ми дізнаємося про такі частини, як грані, ребра та вершини. Вони допомагають нам зрозуміти, як побудована фігура.

Щодня ви бачите багато об'єктів з тривимірними формами. Іграшковий кубик, банка супу або м'яч – це повсякденні приклади. Вивчаючи ці форми, ми можемо рахувати їхні частини та навіть робити прості обчислення, такі як об'єм або простір всередині них. Знання про ці форми допомагає нам зрозуміти світ навколо нас.

Основні 3D-фігури

Давайте розглянемо деякі поширені 3D-фігури та дізнаємося трохи про кожну з них.

• Куб : Куб має 6 граней. Усі грані є квадратами та мають однаковий розмір. Він також має 12 ребер та 8 вершин. Ви можете побачити кубик у кидковому кубику або блоці, з яким граєте.
• Прямокутна призма : ця форма схожа на куб, але її грані — прямокутники. Вона має 6 граней, 12 ребер та 8 вершин. Коробка для взуття або цегла — гарний приклад прямокутної призми.
• Сфера : Сфера кругла, як м'яч. Вона має одну криволінійну поверхню. Вона не має ребер або вершин. Багато спортивних м'ячів та бульбашок мають сферичну форму.
• Циліндр : Циліндр має дві круглі основи з вигнутою поверхнею, яка огинає їх. Банка супу або качалка – це циліндр. Він має загалом 3 поверхні.
• Конус : Конус має круглу основу та загострену верхівку. Ріжок для морозива є поширеним прикладом. Він також має вигнуту поверхню та одну плоску основу.
• Піраміда : Піраміда має за основу багатокутник, зазвичай квадрат, та трикутні грані, які сходяться в одній точці. Іграшкова піраміда або відомі піраміди в Єгипті є чудовими прикладами.

Кожна з цих фігур має свої особливі властивості. Хоча всі вони є тривимірними фігурами, у реальному світі вони виглядають і працюють по-різному.

Розуміння частин 3D-фігур

Коли ми вивчаємо тривимірні фігури, ми дізнаємося три важливі частини:

• Грані : це плоскі або криволінійні поверхні, що утворюють зовнішню частину фігури. Наприклад, куб має 6 квадратних граней.
• Ребра : це лінії, де зустрічаються дві грані. У кубі 12 ребер.
• Вершини : це точки, де зустрічаються ребра. Куб має 8 вершин.

Знання цих частин полегшує опис та роботу з різними фігурами.

Об'єм і простір у 3D-фігурах

Об'єм показує, скільки місця знаходиться всередині тривимірної фігури. Уявіть, що ви заповнюєте фігуру маленькими кубиками. Кількість кубиків, які ви можете помістити всередину, і є об'ємом фігури. Кожна фігура має свою власну формулу для визначення об'єму.

Наприклад, об'єм куба можна знайти за формулою:

\( V = a^3 \)

Тут \( a \) означає довжину однієї сторони куба. Об'єм прямокутної призми обчислюється за формулою:

\( V = l \times w \times h \)

Де \( l \) довжина, \( w \) — ширина, а \( h \) — висота.

Для циліндра об'єм визначається за формулою:

\( V = \pi r^2 h \)

Тут \( r \) — радіус круглої основи, а \( h \) — висота. Ми можемо використовувати ці формули, щоб дізнатися, скільки місця всередині наших фігур.

Площа поверхні 3D-фігур

Площа поверхні — це загальна площа всіх граней тривимірної фігури. Вона показує, скільки матеріалу потрібно для покриття зовнішньої частини фігури. Наприклад, якщо ви хочете обгорнути коробку папером, вам потрібно покрити площу її поверхні.

Хоча формули для площі поверхні можуть бути складнішими, ідея проста: підсумуйте площу кожної грані. Для куба зі стороною \( a \) площа поверхні дорівнює:

\( SA = 6a^2 \)

Це пояснюється тим, що всі шість граней мають площу \( a^2 \) кожна.

Розв'язаний приклад 1: Знаходження об'єму куба

Задача: Знайдіть об'єм куба з довжиною ребра 3 одиниці.

Рішення:

1. Запишіть формулу для обчислення об'єму куба:
   \( V = a^3 \)
2. Підставте довжину сторони у формулу:
   \( V = (3)^3 \)
3. Обчисліть об'єм:
   \( V = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)
4. Об'єм куба становить 27 кубічних одиниць.

Цей приклад показує нам, як використання простої формули допомагає нам дізнатися, скільки місця має куб.

Розв'язаний приклад 2: Знаходження об'єму прямокутної призми

Задача: Знайдіть об'єм прямокутної призми довжиною 4 одиниці, шириною 3 одиниці та висотою 2 одиниці.

Рішення:

1. Запишіть формулу для обчислення об'єму прямокутної призми:
   \( V = l \times w \times h \)
2. Підставте значення у формулу:
   \( V = 4 \times 3 \times 2 \)
3. Помножте числа крок за кроком:
   Спочатку помножте 4 на 3, щоб отримати 12.
   Потім помножте 12 на 2, щоб отримати 24.
4. Об'єм прямокутної призми дорівнює 24 кубічним одиницям.

У цьому прикладі показано, як помножити три числа, щоб знайти простір всередині прямокутної фігури.

Розв'язаний приклад 3: Знаходження об'єму циліндра

Задача: Знайдіть об'єм циліндра з радіусом 2 одиниці та висотою 5 одиниць.

Рішення:

1. Запишіть формулу для обчислення об'єму циліндра:
   \( V = \pi r^2 h \)
2. Підставте значення у формулу:
   \( V = \pi \times (2)^2 \times 5 \)
3. Обчисліть квадрат радіуса:
   \( (2)^2 = 4 \)
4. Помножте на висоту:
   \( 4 \times 5 = 20 \)
5. Обсяг становить:
   \( V = 20\pi \)
6. Якщо використовувати наближення \(\pi \approx 3.14\) , об'єм приблизно дорівнює:
   \( V \approx 20 \times 3.14 = 62.8 \) кубічних одиниць.

Цей приклад показує нам, як використовувати формулу для циліндра. Він також вчить нас працювати з \(\pi\) у наших розрахунках.

Реальне застосування 3D-фігур

3D-фігури оточують нас. Ось кілька прикладів, які допоможуть вам зрозуміти, наскільки вони важливі:

• Куб і прямокутна призма: Багато коробок, будівельних блоків і навіть деякі кімнати мають ці форми. Коли ви граєтеся з іграшковими блоками або несете коробку, ви використовуєте ідею тривимірних фігур.
• Сфера: М'ячі, що використовуються в таких видах спорту, як футбол чи баскетбол, є сферами. Круглий фрукт, такий як апельсин, також можна розглядати як сферу, оскільки він круглий з усіх боків.
• Циліндр: Банки, склянки та багато контейнерів для зберігання мають форму циліндрів. Вигнута поверхня дозволяє легко котити та тримати їх у руках.
• Ріжок: Ріжки для морозива, дорожні конуси та святкові капелюхи – приклади ріжків. Загострена верхівка та кругла основа роблять їх унікальними.
• Піраміда: Окрім відомих пірамід у Єгипті, піраміди іноді можна побачити в сучасній архітектурі або в іграшках. Вони цікаві тим, що мають широку основу, яка загострюється.

Розуміння цих форм допомагає нам проектувати реальні об'єкти та навіть вирішувати повсякденні проблеми, такі як пакування, будівництво чи просто гра з іграшками.

Додаткові властивості та варіації

Хоча ми вивчили основні властивості поширених 3D-фігур, є й інші цікаві ідеї для вивчення:

• Симетрія: Багато тривимірних фігур мають симетричні властивості. Це означає, що їх можна розділити на рівні частини, які виглядають однаково. Наприклад, куб можна розділити на рівні половини багатьма різними способами.
• Обертання: Деякі фігури виглядають однаково, навіть якщо їх повернути або обернути. Наприклад, сфера виглядає однаково з будь-якого кута.
• Масштабування: Фігуру можна збільшити або зменшити. Якщо збільшити сторону куба, його об'єм збільшиться. Це вчить нас пропорційності та тому, як зміна одного виміру впливає на всю фігуру.

Ці властивості допомагають нам бачити красу та логіку у простих формах. Вони також допомагають у вирішенні практичних головоломок з математики та дизайну.

Повсякденні приклади та дії

Уявіть, що ви граєтеся з будівельними блоками. Кожен блок — це маленька прямокутна призма або куб. Коли ви будуєте вежу, ви складаєте тривимірні фігури. Озирніться навколо свого будинку. Багато предметів, таких як стільці, столи та навіть деякі іграшки, мають тривимірні форми. Ці приклади показують, що математика є не лише в книзі — вона всюди!

Ваш вчитель може принести на урок іграшки або прості інструменти, щоб допомогти вам побачити ці фігури наживо. Спостереження за повсякденними предметами може зробити вивчення 3D-фігур цікавим і легким. Звертаючи увагу, ви розпізнаєте ці фігури в супермаркетах, парках і навіть на дитячому майданчику.

Дослідження через малювання

Ви також можете потренуватися малювати ці 3D-фігури на папері. Почніть з малювання простого квадрата. Далі намалюйте ще один квадрат трохи далі від першого. Потім з'єднайте їхні кути лініями. Цей малюнок може перетворитися на куб! З'єднуючи різні фігури у своєму малюнку, ви зрозумієте, як грані поєднуються в 3D-об'єктах.

Малювання допомагає нашому розуму побачити, як працює простір. Коли ви малюєте прямокутник і додаєте трохи більше для глибини, ви показуєте 3D-коробку. Використовуйте кольорові олівці, щоб кожна грань виділялася більше. Ця вправа може допомогти вам запам'ятати частини 3D-фігур, такі як грані, ребра та вершини.

Порівняння 2D та 3D фігур

Важливо знати різницю між двовимірними (2D) та тривимірними (3D) фігурами. Двовимірна фігура, така як квадрат або коло, має лише довжину та ширину. Вона плоска, як малюнок на папері. Натомість, тривимірна фігура має додатковий вимір – висоту. Цей додатковий вимір робить фігуру реальною та тактильною.

Наприклад, малюнок кола на папері є двовимірним. Однак м'яч — це тривимірна сфера. М'яч можна тримати в руці. Цей додатковий вимір допомагає об'єктам мати об'єм і простір всередині них.

Розуміння важливості тривимірних фігур у геометрії

Тривимірні фігури є важливою частиною геометрії. Геометрія допомагає нам зрозуміти форми, розміри та властивості простору. Вивчаючи тривимірні фігури, ми дізнаємося не лише про те, як виглядають об'єкти, але й як вони працюють. Ці знання дуже корисні для будівництва, проектування та створення мистецтва.

Інженери та архітектори використовують 3D-фігури для проектування будівель. Художники використовують їх для створення скульптур. Навіть комп'ютерні ігри використовують 3D-фігури, щоб оживити персонажів та світи. Вивчення цих форм у молодому віці закладає основу для багатьох цікавих кар'єр у майбутньому.

Короткий зміст ключових моментів

Сьогодні ми дізналися про кілька важливих ідей, пов'язаних з тривимірними фігурами:

• Визначення: 3D-фігури мають довжину, ширину та висоту. Вони займають простір і їх можна торкатися.
• Поширені форми: Куб, прямокутна призма, сфера, циліндр, конус і піраміда – це приклади тривимірних фігур, які ми бачимо щодня.
• Частини 3D-фігур: Грані, ребра та вершини описують структуру фігури. Наприклад, куб має 6 граней, 12 ребер та 8 вершин.
• Об'єм: Об'єм показує, скільки місця знаходиться всередині тривимірної фігури. Ми вивчили такі формули, як \( V = a^3 \) для куба та \( V = l \times w \times h \) для прямокутної призми.
• Площа поверхні: Площа поверхні — це сумарна площа всіх граней фігури. Для куба формула така: \( SA = 6a^2 \) .
• Розв'язані приклади: Ми розв'язали приклади для куба, прямокутної призми та циліндра. Ці приклади показали покрокові методи обчислення об'єму.
• Застосування в реальному світі: Повсякденні предмети, такі як коробки, м'ячі та банки, є прикладами 3D-форм. Ми бачимо їх у наших будинках, школах та на дитячих майданчиках.
• Додаткові поняття: Такі поняття, як симетрія, обертання та масштабування, допомагають нам краще зрозуміти, як працюють та змінюються фігури.
• Порівняння з 2D-фігурами: На відміну від 2D-фігур, 3D-фігури мають глибину. Це робить їх реальними та тактильними.

Вивчивши ці моменти, ви тепер маєте міцну основу в об'ємних фігурах. Пам'ятайте, що математика навколо вас, а спостереження за фігурами в повсякденному житті робить навчання цікавим і корисним.

Продовжуйте практикувати вивчене, розглядаючи об'єкти навколо вас. Зверніть увагу на те, як куб, сфера або циліндр використовуються по-різному. Це допоможе вам побачити красу геометрії та покращить ваше розв'язання задач.

Цей урок – лише початок. У міру того, як ви будете зростати та вивчати більше математики, ви відкриєте для себе ще більше захопливих речей про тривимірні фігури та геометрію. Насолоджуйтесь дослідженнями та підтримуйте свою допитливість!