Back to the topics list

3 o'lchovli raqamlar

3 o'lchovli figuralar

Ushbu darsda biz 3 o'lchovli (3D) figuralar bilan tanishamiz. Bular uzunligi, kengligi va balandligi bo'lgan shakllardir. Siz bu shakllarga tegishingiz mumkin, chunki ular joy egallaydi. Biz kundalik hayotimizda ko'plab 3D raqamlarni ko'ramiz. Masalan, muz kublari, sharlar, qutilar va qutilar.

Kirish

3D figura tekis bo'lmagan shakldir. Qog'ozdagi chizmadan farqli o'laroq, bu shakllar chuqurlikka ega. 3D shakllar haqida gapirganda, biz yuzlar, qirralar va cho'qqilar kabi qismlar haqida bilib olamiz. Ular bizga shakl qanday qurilganligini tushunishga yordam beradi.

Har kuni siz 3D shaklli ko'plab ob'ektlarni ko'rasiz. O'yinchoq bloki, sho'rva qutisi yoki to'p kundalik misollardir. Ushbu shakllar haqida bilib, biz ularning qismlarini sanashimiz va hatto ular ichidagi hajm yoki bo'sh joy kabi oddiy hisob-kitoblarni amalga oshirishimiz mumkin. Ushbu shakllar haqida bilish atrofimizdagi dunyoni tushunishimizga yordam beradi.

Asosiy 3D shakllar

Keling, ba'zi umumiy 3D shakllarni ko'rib chiqaylik va ularning har biri haqida bir oz bilib olaylik.

• Kub : kubning 6 ta yuzi bor. Barcha yuzlar kvadrat shaklida va bir xil o'lchamda. Shuningdek, uning 12 ta qirrasi va 8 ta uchi bor. Siz o'ynagan zar yoki blokdagi kubni ko'rishingiz mumkin.
• To'rtburchak prizma : Bu shakl kubga o'xshaydi, lekin uning yuzlari to'rtburchaklardir. Uning 6 ta yuzi, 12 ta qirrasi va 8 ta uchi bor. Poyafzal qutisi yoki g'isht to'rtburchaklar prizmaning yaxshi namunasidir.
• Sfera : Sfera to'pga o'xshash yumaloq. Uning bitta egri yuzasi bor. Uning qirralari yoki uchlari yo'q. Ko'pgina sport to'plari va pufakchalari sharsimon shaklga ega.
• Tsilindr : Tsilindrda ikki dumaloq asos mavjud bo'lib, uning atrofida aylanadigan egri sirt mavjud. Bir banka sho'rva yoki rulon - bu silindr. U jami 3 ta sirtga ega.
• Konus : Konusning asosi dumaloq va tepasi uchli. Muzqaymoq konisi keng tarqalgan misoldir. Bundan tashqari, kavisli sirt va bitta tekis asosga ega.
• Piramida : Piramidaning asosi sifatida ko'pburchak, odatda kvadrat va bir nuqtada uchrashadigan uchburchak yuzlar mavjud. Piramida o'yinchoqlari yoki Misrdagi mashhur piramidalar bunga mukammal misoldir.

Ushbu shakllarning har biri o'ziga xos xususiyatlarga ega. Ularning barchasi 3D figuralar bo'lsa ham, ular haqiqiy dunyoda turli xil ko'rinishda va ishlaydi.

3D figuralarning qismlarini tushunish

3D raqamlarni o'rganayotganda biz uchta muhim qismni bilib olamiz:

• Yuzlar : Bu shaklning tashqi qismini tashkil etuvchi tekis yoki kavisli yuzalardir. Masalan, kubning 6 kvadrat yuzi bor.
• Qirralar : Bular ikki yuz uchrashadigan chiziqlar. Bir kubda 12 ta qirra bor.
• Vertices : Bu qirralarning uchrashadigan nuqtalari. Bir kubning 8 ta uchi bor.

Bu qismlarni bilish turli shakllarni tasvirlash va ular bilan ishlashni osonlashtiradi.

3D raqamlardagi hajm va bo'sh joy

Ovoz 3D shakli ichida qancha bo'sh joy borligini ko'rsatadi. Shaklni kichik kublar bilan to'ldirishni tasavvur qiling. Ichkariga qo'yishingiz mumkin bo'lgan kublar soni - bu shaklning hajmi. Har bir shaklda hajm uchun o'z formulasi mavjud.

Masalan, kub hajmini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

\( V = a^3 \)

Bu erda \( a \) kubning bir tomonining uzunligini bildiradi. To'rtburchaklar prizmaning hajmi quyidagicha hisoblanadi:

\( V = l \times w \times h \)

Bu erda \( l \) - uzunlik, \( w \) - kenglik va \( h \) - balandlik.

Tsilindr uchun hajm quyidagicha ifodalanadi:

\( V = \pi r^2 h \)

Bu erda \( r \) aylana asosning radiusi, \( h \) esa balandlikdir. Shakllarimiz ichida qancha bo'sh joy borligini bilish uchun ushbu formulalardan foydalanishimiz mumkin.

3D figuralarning sirt maydoni

Sirt maydoni - bu 3D shaklining barcha yuzlarining umumiy maydoni. Shaklning tashqi qismini qoplash uchun qancha material kerakligini aytadi. Misol uchun, agar siz qutini qog'oz bilan o'rashni istasangiz, uning sirtini qoplashingiz kerak.

Sirt maydoni uchun formulalar murakkabroq bo'lishi mumkin bo'lsa-da, g'oya oddiy: har bir yuzning maydonini qo'shing. Yon \( a \) bo'lgan kub uchun sirt maydoni:

\( SA = 6a^2 \)

Buning sababi, oltita yuzning har biri \( a^2 \) maydonga ega.

Yechilgan 1-misol: Kub hajmini topish

Masala: Yon uzunligi 3 birlik bo‘lgan kub hajmini toping.

Yechim:

1. Kub hajmining formulasini yozing:
   \( V = a^3 \)
2. Yon uzunligini formulaga almashtiring:
   \( V = (3)^3 \)
3. Ovozni hisoblang:
   \( V = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)
4. Kubning hajmi 27 kub birlik.

Ushbu misol bizga oddiy formuladan foydalanish kubning qancha bo'sh joy borligini bilishimizga yordam beradi.

Yechilgan 2-misol: To‘rtburchak prizmaning hajmini topish

Masala: Uzunligi 4 birlik, eni 3 birlik, balandligi 2 birlik bo‘lgan to‘rtburchak prizmaning hajmini toping.

Yechim:

1. To'rtburchaklar prizmaning hajmi formulasini yozing:
   \( V = l \times w \times h \)
2. Qiymatlarni formulaga almashtiring:
   \( V = 4 \times 3 \times 2 \)
3. Raqamlarni bosqichma-bosqich ko'paytiring:
   Birinchidan, 12 ni olish uchun 4 va 3 ni ko'paytiring.
   Keyin 24 ni olish uchun 12 ni 2 ga ko'paytiring.
4. To'rtburchaklar prizmaning hajmi 24 kub birlik.

Ushbu misol qutiga o'xshash shakl ichidagi bo'sh joyni topish uchun uchta raqamni qanday ko'paytirish kerakligini aytadi.

Yechilgan 3-misol: Silindr hajmini topish

Masala: Radiusi 2 birlik va balandligi 5 birlik silindrning hajmini toping.

Yechim:

1. Tsilindr hajmining formulasini yozing:
   \( V = \pi r^2 h \)
2. Qiymatlarni formulaga almashtiring:
   \( V = \pi \times (2)^2 \times 5 \)
3. Radius kvadratini hisoblang:
   \( (2)^2 = 4 \)
4. Balandlikka ko'paytiring:
   \( 4 \times 5 = 20 \)
5. Hajmi:
   \( V = 20\pi \)
6. Agar biz \(\pi \approx 3.14\) yaqinlikdan foydalansak, hajm taxminan:
   \( V \approx 20 \times 3.14 = 62.8 \) kub birlik.

Ushbu misol silindr uchun formuladan qanday foydalanishni ko'rsatadi. Shuningdek, u bizning hisobimizda \(\pi\) bilan qanday ishlashni o'rgatadi.

3D figuralarning real dunyo ilovalari

3D figuralar bizning atrofimizda. Ular qanchalik muhimligini tushunishga yordam beradigan ba'zi misollar:

• Kub va to'rtburchak prizma: Ko'pgina qutilar, qurilish bloklari va hatto ba'zi xonalarda bu shakllar mavjud. O'yinchoq bloklari bilan o'ynaganingizda yoki qutini olib yurganingizda, siz 3D shakllar g'oyasidan foydalanasiz.
• Sfera: Futbol yoki basketbol kabi sport turlarida ishlatiladigan to'plar shardir. Apelsin kabi yumaloq mevani ham shar shaklida ko'rish mumkin, chunki u butunlay yumaloq bo'ladi.
• Silindr: qutilar, ichimlik stakanlari va ko'plab saqlash idishlari silindr shaklida. Egri sirt ularni aylantirish va ushlab turishni osonlashtiradi.
• Konus: Muzqaymoq konuslari, transport konuslari va ziyofat shlyapalari konuslarga misoldir. Yuqori uchli va yumaloq taglik ularni noyob qiladi.
• Piramida: Misrdagi mashhur piramidalardan tashqari, ba'zan zamonaviy arxitekturada yoki o'yinchoqlarda piramidalarni ko'rishingiz mumkin. Ular qiziqarli, chunki ular bir nuqtaga keladigan keng bazaga ega.

Ushbu shakllarni tushunish bizga haqiqiy ob'ektlarni loyihalashda yordam beradi va hatto o'rash, qurish yoki oddiygina o'yinchoqlar bilan o'ynash kabi kundalik muammolarni hal qilishga yordam beradi.

Qo'shimcha xususiyatlar va o'zgarishlar

Umumiy 3D shakllarning asosiy xususiyatlarini o'rgangan bo'lsak-da, o'rganish uchun boshqa qiziqarli g'oyalar mavjud:

• Simmetriya: Ko'pgina 3D shakllar nosimmetrik xususiyatlarga ega. Bu ularni bir xil ko'rinishdagi teng qismlarga bo'lish mumkinligini anglatadi. Misol uchun, kub turli xil usullar bilan teng yarmiga bo'linishi mumkin.
• Aylanish: Ba'zi shakllar hatto aylantirilganda yoki aylantirilganda ham bir xil ko'rinadi. Masalan, shar har tomondan bir xil ko'rinadi.
• Masshtablash: Shaklni kattaroq yoki kichikroq qilish mumkin. Agar kubning yon tomonini kattalashtirsangiz, uning hajmi ortadi. Bu bizga mutanosiblik va bitta o'lchovning o'zgarishi butun shaklga qanday ta'sir qilishini o'rgatadi.

Bu xususiyatlar bizga go'zallik va mantiqni oddiy shakllarda ko'rishga yordam beradi. Shuningdek, ular matematika va dizayndagi amaliy jumboqlarni hal qilishda yordam beradi.

Kundalik misollar va harakatlar

Qurilish bloklari bilan o'ynashni tasavvur qiling. Har bir blok kichik to'rtburchaklar prizma yoki kubdir. Minora qurayotganingizda, siz 3D raqamlarni to'playsiz. Uyingizning atrofiga qarang. Kreslolar, stollar va hatto ba'zi o'yinchoqlar kabi ko'plab narsalar 3D shakllariga ega. Bu misollar shuni ko'rsatadiki, matematika shunchaki kitobda emas, u hamma joyda mavjud!

O'qituvchingiz bu shakllarni shaxsan ko'rishga yordam berish uchun sinfga o'yinchoqlar yoki oddiy asboblarni olib kelishi mumkin. Kundalik ob'ektlarni kuzatish 3D figuralarni o'rganishni qiziqarli va oson qilishi mumkin. E'tibor berib, siz ushbu shakllarni supermarketlarda, parklarda va hatto o'yin maydonchasida ham taniysiz.

Chizish orqali o'rganish

Shuningdek, siz ushbu 3D shakllarni qog'ozga chizishni mashq qilishingiz mumkin. Oddiy kvadrat chizish bilan boshlang. Keyin, birinchisidan bir oz uzoqroqda yana bir kvadrat chizing. Keyin, ularning burchaklarini chiziqlar bilan bog'lang. Bu chizma kubga aylanishi mumkin! Chizmangizdagi turli shakllarni birlashtirib, siz 3D obyektlarda yuzlar qanday birlashishini tushunasiz.

Chizish ongimizga fazo qanday ishlashini ko'rishga yordam beradi. To'rtburchak chizib, chuqurlik uchun biroz qo'shimcha qo'shsangiz, siz 3D qutisini ko'rsatasiz. Har bir yuz ko'proq ajralib turishi uchun rangli qalamlardan foydalaning. Ushbu faoliyat 3D shakllarning yuzlar, qirralar va cho'qqilar kabi qismlarini eslab qolishingizga yordam beradi.

2D va 3D raqamlarni solishtirish

2 o'lchovli (2D) va 3 o'lchovli (3D) shakllar o'rtasidagi farqni bilish muhimdir. Kvadrat yoki doira kabi 2D shakl faqat uzunlik va kenglikka ega. U qog'ozga chizilgan rasmga o'xshaydi. Aksincha, 3D shakli qo'shimcha o'lchovga ega - balandlik. Ushbu qo'shimcha o'lcham shaklni haqiqiy va teginish imkonini beradi.

Masalan, qog'ozga aylana chizilgani 2D. Biroq, to'p 3D shardir. To'pni qo'lingizda ushlab turishingiz mumkin. Ushbu qo'shimcha o'lcham ob'ektlarning ichida hajm va bo'sh joyga ega bo'lishiga yordam beradi.

Geometriyada 3D figuralarning ahamiyatini tushunish

3D raqamlar geometriyaning katta qismidir. Geometriya bizga kosmosning shakllari, o'lchamlari va xususiyatlarini tushunishga yordam beradi. 3D raqamlarni o'rganish orqali biz nafaqat ob'ektlar qanday ko'rinishini, balki ular qanday ishlashini ham o'rganamiz. Bu bilim qurish, loyihalash va san'at yaratishda juda foydali.

Muhandislar va arxitektorlar binolarni loyihalashda 3D shakllardan foydalanadilar. Rassomlar ulardan haykallar yaratish uchun foydalanadilar. Hatto kompyuter o'yinlari qahramonlar va dunyolarni jonlantirish uchun 3D raqamlardan foydalanadi. Ushbu shakllarni yoshligida o'rganish kelajakda ko'plab ajoyib martaba uchun zamin yaratadi.

Asosiy fikrlarning qisqacha mazmuni

Bugun biz 3 o'lchovli raqamlar bilan bog'liq bir nechta muhim g'oyalarni bilib oldik:

• Ta'rif: 3D shakllar uzunligi, kengligi va balandligiga ega. Ular bo'sh joy egallaydi va teginish mumkin.
• Umumiy shakllar: kub, to'rtburchak prizma, shar, silindr, konus va piramida biz har kuni ko'radigan 3D figuralarga misoldir.
• 3D figuralarning qismlari: Yuzlar, qirralar va uchlari shakl tuzilishini tavsiflaydi. Masalan, kubning 6 ta yuzi, 12 ta qirrasi va 8 ta uchi bor.
• Ovoz: Ovoz 3D shakli ichida qancha bo'sh joy borligini ko'rsatadi. Biz kub uchun \( V = a^3 \) va to'rtburchaklar prizma uchun \( V = l \times w \times h \) kabi formulalarni o'rgandik.
• Sirt maydoni: Sirt maydoni - bu shaklning barcha yuzlarining umumiy maydoni. Kub uchun formula \( SA = 6a^2 \) bo'ladi.
• Yechilgan misollar: Biz kub, to'rtburchak prizma va silindrga misollar yechdik. Ushbu misollar hajmni hisoblashning bosqichma-bosqich usullarini ko'rsatdi.
• Haqiqiy dunyo ilovalari: qutilar, to'plar va qutilar kabi kundalik narsalar 3D shakllarga misoldir. Biz ularni uylarimizda, maktablarimizda va o'yin maydonchalarida ko'ramiz.
• Qo'shimcha tushunchalar: Simmetriya, aylanish va masshtablash kabi tushunchalar bizga shakllar qanday ishlashi va o'zgarishi haqida ko'proq tushunishga yordam beradi.
• 2D raqamlar bilan taqqoslash: 2D shakllardan farqli o'laroq, 3D raqamlar chuqurlikka ega. Bu ularni haqiqiy va teginish imkonini beradi.

Ushbu fikrlarni o'rganish orqali siz endi 3 o'lchovli raqamlarda mustahkam poydevorga egasiz. Esda tutingki, matematika sizning atrofingizda va kundalik hayotda shakllarni kuzatish o'rganishni qiziqarli va foydali qiladi.

Atrofingizdagi narsalarga qarab, o'rganganlaringizni mashq qilishni davom eting. Kub, shar yoki tsilindrning turli yo'llar bilan ishlatilishiga e'tibor bering. Bu sizga geometriyadagi go'zallikni ko'rishga yordam beradi va sizni muammoni yaxshiroq hal qiladi.

Bu dars faqat boshlanishi. O'sib ulg'aygan sari va ko'proq matematikani o'rgansangiz, 3D figuralar va geometriya haqida yanada qiziqarli narsalarni kashf etasiz. Tadqiq qilishdan rohatlaning va qiziqishingizni saqlang!