Wenn wir die Zahl mit sich selbst multiplizieren, nennt man das Produkt das Quadrat dieser Zahl. Beispiel: 5 × 5 = 25, das Quadrat von 5 ist 25. Wir bezeichnen das Quadrat einer Zahl, indem wir „2“ als hochgestellte Zahl schreiben, also 5 2 . Wir können es auch als „5 hoch 2“ ausdrücken.
Das Quadrat von 5 = 5 2 = 5 × 5 = 25
Das Quadrat von 6 = 6 2 = 6 × 6 = 36
Die Quadratwurzel einer Zahl ist das Gegenteil von Quadrat. Um die Quadratwurzel von x zu finden, müssen wir eine Zahl finden, sagen wir „a“, deren Quadrat x ist, also a 2 = x. Wir können sagen, die Quadratwurzel von x ist „a“.
Das Quadrat von 5 ist 5 2 = 25
Die Quadratwurzel von 25 ist
\(\sqrt{25} = \sqrt{5\times5} = 5\)
Die Quadratwurzel von 36 ist
\(\sqrt{36} = \sqrt{6\times6} = 6\)
Hinweis: Das Quadrieren einer negativen Zahl ergibt ein positives Ergebnis, -5 × -5 = +25. Deshalb ist die Quadratwurzel von 25 sowohl +5 als auch -5. In der Mathematik ist die Quadratwurzel einer Zahl b eine Zahl x, sodass x 2 = b. Beispielsweise sind 3 und -3 Quadratwurzeln von 9. Das liegt daran, dass 3 2 oder (-3) 2 gleich 9 ist. Die Hauptquadratwurzel ist die Quadratwurzel einer positiven Zahl. Diese werden durch √a gekennzeichnet, wobei √ als Basis oder Wurzelzeichen bezeichnet wird. Beispielsweise ist die Hauptquadratwurzel von 16 4, was durch √16 = 4 gekennzeichnet wird, da 4 2 = 4 x 4 = 16 und 4 nicht negativ ist. Die Zahl oder der Term, dessen Quadratwurzel betrachtet wird, wird als Radikand bezeichnet. Der Radikand kann auch als der Ausdruck oder die Zahl beschrieben werden, die unter dem Wurzelzeichen steht. Im obigen Beispiel ist der Radikand 16.
Natürliche Zahlen, die Quadrate anderer natürlicher Zahlen sind, heißen Quadratzahl oder Quadratzahl . Mit der folgenden Methode kann man herausfinden, ob eine gegebene Zahl eine Quadratzahl ist oder nicht:
Finden Sie die Primfaktorzerlegung der Zahl und bilden Sie Paare gleicher Faktoren. Wenn alle Faktoren Paare bilden können, handelt es sich um eine Quadratzahl. Zum Beispiel:
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
Da nicht alle Primfaktoren gepaart werden können, ist 120 keine Quadratzahl.
Nehmen wir ein weiteres Beispiel – Finden Sie heraus, ob 1296 eine Quadratzahl ist
Primfaktorzerlegung von 1296 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
Da alle Faktoren gepaart werden können, ist 1296 eine Quadratzahl.
Die Quadratwurzel einer Quadratzahl kann auf ähnliche Weise bestimmt werden
\(\sqrt{1296} = \sqrt{2\times2\times2\times2\times3\times3\times3\times3} = 2\times2\times3\times3\) (ein Faktor aus jedem Paar nehmen)
Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, heißen irrationale Zahlen.
Die dritte Potenz einer Zahl n ist ihre dritte Potenz, also das Ergebnis der Multiplikation von drei Instanzen von n (n × n × n = n 3 ). Die dritte Potenz von 3 ist beispielsweise 27 (3×3×3). Wenn man 3 hoch drei setzt, erhält man 27.
Die dritte Potenz einer Zahl wird dreimal mit sich selbst multipliziert.
Kubus von 2 = 2 × 2 × 2 = 8, wir können also sagen: „2 hoch 3 ist 8“.
Kubus von 5 = 5 3 =5 × 5 × 5 = 125
Würfel von 6 = 6 3 = 6 × 6 × 6 = 216
Finden Sie die Primfaktorzerlegung der Zahl. Wenn alle Primfaktoren in Tripel gleicher Faktoren gruppiert werden können, ist die Zahl eine perfekte dritte Potenz . Beispiel:
1331 = 11 × 11 × 11
Da gleiche Faktoren als Drillinge gruppiert werden können, handelt es sich um eine perfekte Kubus-Zahl. Nehmen wir ein weiteres Beispiel: 2916 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 2 × 2
Da nicht alle Faktoren in Tripel gruppiert werden können, ist 2916 keine perfekte dritte Zahl.
