जब हम किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा करते हैं तो गुणनफल को उस संख्या का वर्ग कहते हैं। उदाहरण के लिए, 5 × 5 = 25, 5 का वर्ग 25 है। हम किसी संख्या के वर्ग को 5 2 के रूप में '2' लिखकर दर्शाते हैं। हम इसे '5 की घात 2' भी कह सकते हैं।
5 का वर्ग = 5 2 = 5 × 5 = 25
6 का वर्ग = 6 2 = 6 × 6 = 36
किसी संख्या का वर्गमूल, वर्ग के ठीक विपरीत होता है। x का वर्गमूल निकालने के लिए, हमें एक संख्या, मान लीजिए 'a', जिसका वर्ग x है, यानी a 2 = x, ढूँढनी होगी। हम कह सकते हैं कि x का वर्गमूल 'a' है।
5 का वर्ग 5 2 = 25
25 का वर्गमूल है
\(\sqrt{25} = \sqrt{5\times5} = 5\)
36 का वर्गमूल है
\(\sqrt{36} = \sqrt{6\times6} = 6\)
नोट: ऋणात्मक संख्या का वर्ग करने पर धनात्मक परिणाम मिलता है, -5 × -5 = +25, इसलिए 25 का वर्गमूल +5 और -5 दोनों है। गणित में, किसी संख्या b का वर्गमूल एक संख्या x होती है जिससे x 2 = b. उदाहरण के लिए, 3 और -3, 9 के वर्गमूल हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि 3 2 या (-3) 2 बराबर 9 होता है। मुख्य वर्गमूल धनात्मक संख्या का वर्गमूल है। इन्हें √a से दर्शाया जाता है जहाँ √ को मूलांक या मूलांक चिह्न कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 16 का मुख्य वर्गमूल 4 है जिसे √16 = 4 से दर्शाया जाता है, इस तथ्य के कारण कि 4 2 = 4 x 4 = 16 और 4 ऋणात्मक नहीं है। वह संख्या या पद जिसके वर्गमूल पर विचार किया जा रहा है उसे मूलांक कहा जाता है उपरोक्त उदाहरण में मूलांक 16 है।
प्राकृतिक संख्याएँ जो अन्य प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग होती हैं उन्हें पूर्ण वर्ग या वर्ग संख्या कहा जाता है। यह पता लगाने के लिए कि दी गई संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, निम्न विधि का उपयोग किया जा सकता है:
संख्या का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें और समान गुणनखंडों के जोड़े बनाएँ। यदि सभी गुणनखंड जोड़े बना सकते हैं तो यह एक पूर्ण वर्ग है। उदाहरण के लिए,
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
चूँकि सभी अभाज्य गुणनखंडों को जोड़ा नहीं जा सकता, इसलिए 120 पूर्ण वर्ग नहीं है।
चलिए एक और उदाहरण लेते हैं - पता लगाएँ कि क्या 1296 एक पूर्ण वर्ग है
1296 का अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
चूंकि सभी कारकों को जोड़ा जा सकता है इसलिए 1296 एक पूर्ण वर्ग है।
एक पूर्ण वर्ग का वर्गमूल इसी प्रकार से निर्धारित किया जा सकता है
\(\sqrt{1296} = \sqrt{2\times2\times2\times2\times3\times3\times3\times3} = 2\times2\times3\times3\) (प्रत्येक जोड़ी से एक कारक लेते हुए)
जिन संख्याओं का पूर्ण वर्ग नहीं होता उन्हें अपरिमेय संख्याएँ कहते हैं।
किसी संख्या n का घन उसकी तीसरी घात है, अर्थात n के तीन उदाहरणों को एक साथ गुणा करने का परिणाम (n × n × n = n 3 )। उदाहरण के लिए, 3 का घन 27 (3×3×3) है। जब 3 का घन किया जाता है तो आपको 27 मिलता है।
किसी संख्या का घन स्वयं से तीन गुना गुणा किया जाता है।
2 का घन = 2 × 2 × 2 = 8, हम कह सकते हैं '2 की घात 3 = 8'।
5 का घन = 5 3 =5 × 5 × 5 = 125
6 का घन = 6 3 = 6 × 6 × 6 = 216
संख्या का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें। यदि सभी अभाज्य गुणनखंडों को समान गुणनखंडों वाले त्रिक में समूहीकृत किया जा सके तो संख्या एक पूर्ण घन होगी। उदाहरण-
1331 = 11 × 11 × 11
चूँकि समान गुणनखंडों को त्रिगुणों के रूप में समूहीकृत किया जा सकता है, इसलिए यह एक पूर्ण घन है। आइए एक और उदाहरण लेते हैं 2916 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 2 × 2
चूंकि सभी गुणनखंडों को त्रिगुणों में समूहीकृत नहीं किया जा सकता, इसलिए 2916 एक पूर्ण घन नहीं है।
