Kiedy mnożymy liczbę przez nią samą, wówczas iloczyn nazywa się kwadratem tej liczby. Na przykład 5 × 5 = 25, kwadrat liczby 5 wynosi 25. Kwadrat liczby oznaczamy wpisując „2” jako indeks górny liczby jako 5 2 . Możemy to również powiedzieć jako „5 do potęgi 2”.
Kwadrat 5 = 5 2 = 5 × 5 = 25
Kwadrat 6 = 6 2 = 6 × 6 = 36
Pierwiastek kwadratowy z liczby jest przeciwieństwem kwadratu. Aby znaleźć pierwiastek kwadratowy z x, musimy znaleźć liczbę, powiedzmy „a”, której kwadrat wynosi x, tj. a 2 = x. Można powiedzieć, że pierwiastek kwadratowy z x to „a”.
Kwadrat liczby 5 to 5 2 = 25
Pierwiastek kwadratowy z 25 to
\(\sqrt{25} = \sqrt{5\times5} = 5\)
Pierwiastek kwadratowy z 36 to
\(\sqrt{36} = \sqrt{6\times6} = 6\)
Uwaga: podniesienie liczby ujemnej do kwadratu daje wynik dodatni, -5 × -5 = +25, zatem pierwiastek kwadratowy z 25 wynosi zarówno +5, jak i -5. W matematyce pierwiastek kwadratowy z liczby b jest liczbą x taką, że x 2 = b. Na przykład 3 i -3 są pierwiastkami kwadratowymi z 9. Dzieje się tak, ponieważ 3 2 lub (-3) 2 równa się 9. Główny pierwiastek kwadratowy to pierwiastek kwadratowy z liczby dodatniej. Są one oznaczone przez √a, gdzie √ określa się jako podstawę lub znak pierwiastka . Na przykład główny pierwiastek kwadratowy z 16 wynosi 4, co jest oznaczone przez √16 = 4, ponieważ 4 2 = 4 x 4 = 16 i 4 jest nieujemne. Liczba lub termin, którego pierwiastek kwadratowy jest brany pod uwagę, nazywa się radicandem . Radikandę można również opisać jako wyrażenie lub liczbę znajdującą się pod znakiem pierwiastka. W powyższym przykładzie radikand wynosi 16.
Liczby naturalne będące kwadratami innych liczb naturalnych nazywane są liczbami idealnymi kwadratowymi lub kwadratowymi . Aby sprawdzić, czy dana liczba jest idealnym kwadratem, można zastosować następującą metodę:
Znajdź rozkład na czynniki pierwsze liczby i utwórz pary jednakowych czynników. Jeśli wszystkie czynniki mogą tworzyć pary, jest to idealny kwadrat. Na przykład,
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
Ponieważ nie można sparować wszystkich czynników pierwszych, 120 nie jest idealnym kwadratem.
Weźmy inny przykład – sprawdź, czy 1296 jest idealnym kwadratem
Rozkład na czynniki pierwsze liczby 1296 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
Ponieważ wszystkie czynniki można sparować, 1296 jest idealnym kwadratem.
Pierwiastek kwadratowy z idealnego kwadratu można obliczyć w podobny sposób
\(\sqrt{1296} = \sqrt{2\times2\times2\times2\times3\times3\times3\times3} = 2\times2\times3\times3\) (biorąc po jednym współczynniku z każdej pary)
Liczby, które nie mają idealnych kwadratów, nazywane są liczbami niewymiernymi.
Sześcian liczby n jest jej trzecią potęgą, czyli wynikiem pomnożenia trzech wystąpień n razem ( n × n × n = n 3 ). Na przykład sześcian liczby 3 to 27 (3×3×3). Po podzieleniu 3 do sześcianu otrzymasz 27.
Sześcian liczby mnoży się trzykrotnie przez samą siebie.
Kostka 2 = 2 × 2 × 2 = 8, możemy powiedzieć, że „2 do potęgi 3 równa się 8”.
Kostka 5 = 5 3 =5 × 5 × 5 = 125
Kostka 6 = 6 3 = 6 × 6 × 6 = 216
Znajdź rozkład na czynniki pierwsze liczby. Jeśli wszystkie czynniki pierwsze można pogrupować w trójki równych czynników, wówczas liczba jest doskonałym sześcianem . Przykład-
1331 = 11 × 11 × 11
Ponieważ równe czynniki można pogrupować w trójki, jest to doskonały sześcian. Weźmy inny przykład 2916 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 2 × 2
ponieważ wszystkich czynników nie można pogrupować w trójki, 2916 nie jest idealną kostką.
