เมื่อเราคูณตัวเลขด้วยตัวมันเอง ผลคูณจะเรียกว่ากำลังสองของจำนวนนั้น ตัวอย่างเช่น 5 × 5 = 25 กำลังสองของ 5 คือ 25 เราแสดงกำลังสองของตัวเลขโดยเขียน '2' เป็นตัวยกของตัวเลขเป็น 5 2 เรายังบอกได้ว่า '5 ยกกำลัง 2' ก็ได้
กำลังสองของ 5 = 5 2 = 5 × 5 = 25
กำลังสองของ 6 = 6 2 = 6 × 6 = 36
รากที่สองของตัวเลขนั้นอยู่ตรงข้ามกับกำลังสอง ในการหารากที่สองของ x เราจำเป็นต้องค้นหาตัวเลข สมมติว่า 'a' ซึ่งมีกำลังสองคือ x เช่น 2 =x เราบอกได้ว่าสแควร์รูทของ x คือ 'a'
กำลังสองของ 5 คือ 5 2 = 25
สแควร์รูทของ 25 คือ
\(\sqrt{25} = \sqrt{5\times5} = 5\)
สแควร์รูทของ 36 คือ
\(\sqrt{36} = \sqrt{6\times6} = 6\)
หมายเหตุ: การยกกำลังสองของจำนวนลบจะให้ผลลัพธ์ที่เป็นบวก -5 × -5 = +25 ดังนั้น รากที่สองของ 25 จึงเป็นทั้ง +5 และ -5 ในทางคณิตศาสตร์ รากที่สองของตัวเลข b คือตัวเลข x โดยที่ x 2 = b ตัวอย่างเช่น 3 และ -3 เป็นรากที่สองของ 9 เนื่องจาก 3 2 หรือ (-3) 2 เท่ากับ 9 รากที่สองหลัก คือรากที่สองที่เป็นจำนวนบวก สิ่งเหล่านี้เขียนแทนด้วย √a โดยที่ √ เรียกว่า ฐาน หรือ เครื่องหมายกรณฑ์ ตัวอย่างเช่น รากที่สองหลักของ 16 คือ 4 ซึ่งเขียนแทนด้วย √16 = 4 เนื่องจาก 4 2 = 4 x 4 = 16 และ 4 ไม่เป็นลบ จำนวนหรือคำที่ใช้พิจารณารากที่สองนั้นเรียกว่า ตัวถูกถอดกรณฑ์ ตัวถอดกรณฑ์ยังสามารถอธิบายได้ว่าเป็นนิพจน์หรือตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์ ในตัวอย่างข้างต้น ตัวถูกถอดกรณฑ์คือ 16
จำนวนธรรมชาติที่เป็นกำลังสองของจำนวนธรรมชาติอื่นๆ เรียกว่า จำนวนกำลังสองสมบูรณ์หรือจำนวนกำลังสอง สามารถใช้วิธีการต่อไปนี้เพื่อค้นหาว่าตัวเลขที่กำหนดเป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่:
หาตัวประกอบเฉพาะของจำนวนแล้วสร้างคู่ของตัวประกอบที่เท่ากัน หากตัวประกอบทั้งหมดสามารถรวมกันเป็นคู่ได้ มันก็จะเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น,
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
เนื่องจากไม่สามารถจับคู่ตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดได้ 120 จึงไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์
ลองอีกตัวอย่างหนึ่ง – ค้นหาว่า 1296 เป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่
การแยกตัวประกอบเฉพาะของ 1296 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
เนื่องจากปัจจัยทั้งหมดสามารถจับคู่กันได้ ดังนั้น 1296 จึงเป็นกำลังสองสมบูรณ์
รากที่สองของกำลังสองสมบูรณ์สามารถหาได้ด้วยวิธีที่คล้ายกัน
\(\sqrt{1296} = \sqrt{2\times2\times2\times2\times3\times3\times3\times3} = 2\times2\times3\times3\) (นำหนึ่งตัวประกอบจากแต่ละคู่)
ตัวเลขที่ไม่มีกำลังสองสมบูรณ์เรียกว่าจำนวนอตรรกยะ
กำลังสาม ของตัวเลข n คือกำลังสามของมัน นั่นคือผลลัพธ์ของการคูณสามกรณีของ n เข้าด้วยกัน ( n × n × n = n 3 ) ตัวอย่างเช่น ลูกบาศก์ของ 3 คือ 27 ( 3×3×3) เมื่อ 3 ถูกยกกำลังสามคุณจะได้ 27
ลูกบาศก์ของตัวเลขคูณด้วยตัวมันเอง 3 เท่า
ลูกบาศก์ของ 2 = 2 × 2 × 2 = 8 เราสามารถพูดได้ว่า '2 ยกกำลัง 3 ได้ 8'
ลูกบาศก์ของ 5 = 5 3 =5 × 5 × 5 = 125
ลูกบาศก์ของ 6 = 6 3 = 6 × 6 × 6 = 216
หาตัวประกอบเฉพาะของจำนวน. ถ้าตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดสามารถจัดกลุ่มเป็นแฝดสามที่มีตัวประกอบเท่ากันได้ จำนวนนั้นจะเป็น กำลังสามสมบูรณ์ ตัวอย่าง-
1331 = 11 × 11 × 11
เนื่องจากสามารถจัดกลุ่มตัวประกอบที่เท่ากันเป็นแฝดได้ จึงเป็นลูกบาศก์ที่สมบูรณ์แบบ ลองอีกตัวอย่างหนึ่ง 2916 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 2 × 2
เนื่องจากปัจจัยทั้งหมดไม่สามารถจัดกลุ่มเป็นแฝดได้ 2916 จึงไม่ใช่ลูกบาศก์ที่สมบูรณ์แบบ
