Bir sayıyı kendisiyle çarptığımızda ortaya çıkan ürüne o sayının karesi denir. Örneğin 5 × 5 = 25, 5'in karesi 25'tir. Bir sayının karesini, sayının üst simgesi olarak 5 2 olarak '2' yazarak gösteririz. '5 üssü 2' diye de söyleyebiliriz.
5'in karesi = 5 2 = 5 × 5 = 25
6'nın karesi = 6 2 = 6 × 6 = 36
Bir sayının karekökü karenin tam tersidir. X'in karekökünü bulmak için karesi x olan 'a' diyelim, yani a 2 =x olan bir sayı bulmamız gerekiyor. X'in karekökünün 'a' olduğunu söyleyebiliriz.
5'in karesi 5 2 = 25'tir
25'in karekökü
\(\sqrt{25} = \sqrt{5\times5} = 5\)
36'nın karekökü
\(\sqrt{36} = \sqrt{6\times6} = 6\)
Not: Negatif bir sayının karesi pozitif sonuç verir, -5 × -5 = +25, dolayısıyla 25'in karekökü hem +5 hem de -5'tir. Matematikte b sayısının karekökü, x 2 = b olacak şekilde bir x sayısıdır. Örneğin, 3 ve -3, 9'un karekökleridir. Bunun nedeni, 3 2 veya (-3) 2'nin 9'a eşit olmasıdır. Ana karekök, pozitif sayının kareköküdür. Bunlar √a ile gösterilir; burada √'ye taban veya kök işareti denir. Örneğin, 16'nın temel karekökü 4'tür ve 4 2 = 4 x 4 = 16 olması ve 4'ün negatif olmaması nedeniyle √16 = 4 ile gösterilir. Karekökü dikkate alınan sayı veya terime radicand denir. Radicand, radikal işaretinin altındaki ifade veya sayı olarak da tanımlanabilir. Yukarıdaki örnekte kök sayısı 16'dır.
Diğer doğal sayıların kareleri olan doğal sayılara tam kare veya kare sayı denir. Belirli bir sayının tam kare olup olmadığını bulmak için aşağıdaki yöntem kullanılabilir:
Sayının asal çarpanlarına ayrılmasını bulun ve eşit çarpanların çiftlerini oluşturun. Eğer tüm faktörler çift oluşturabiliyorsa bu tam karedir. Örneğin,
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
Tüm asal çarpanlar eşleştirilemediği için 120 tam kare değildir.
Başka bir örnek alalım – 1296'nın tam kare olup olmadığını bulun
1296'nın asal çarpanlara ayrılması = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
Tüm faktörler eşleşebildiğinden 1296 tam karedir.
Tam bir karenin karekökü benzer şekilde belirlenebilir.
\(\sqrt{1296} = \sqrt{2\times2\times2\times2\times3\times3\times3\times3} = 2\times2\times3\times3\) (her çiftten bir faktör alınır)
Tam karesi olmayan sayılara irrasyonel sayılar denir.
Bir n sayısının küpü onun üçüncü kuvvetidir, yani n'nin üç örneğinin birlikte çarpılmasının sonucudur (n × n × n = n 3 ). Örneğin 3'ün küpü 27'dir (3×3×3). 3'ün küpü olunca 27 olur.
Bir sayının küpü kendisiyle üç kere çarpılır.
2'nin küpü = 2 × 2 × 2 = 8, '2 üssü 3 eşittir 8' diyebiliriz.
5'in küpü = 5 3 =5 × 5 × 5 = 125
6'nın küpü = 6 3 = 6 × 6 × 6 = 216
Sayının asal çarpanlarına ayrılmasını bulun. Tüm asal çarpanlar eşit çarpanlardan oluşan üçlüler halinde gruplandırılabiliyorsa, o zaman sayı mükemmel bir küp olur. Örnek-
1331 = 11 × 11 × 11
Eşit çarpanlar üçlü olarak gruplanabildiğinden mükemmel bir küptür. Başka bir örnek verelim 2916 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 2 × 2
tüm faktörler üçlü olarak gruplandırılamadığı için 2916 mükemmel bir küp değildir.
