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逆三角関数

6 つの三角関数は sin、cos、tan、cosec、sec、cot です。

与えられた三角形の中で\(\angle A\)を見つけてみましょう。

\(\tan A = \frac{6}{10}\)

しかし、これは\(\angle A\)の測定値を見つけるのに役立ちません。

このような問題を解決するには、新しい数学的なツールを見つける必要があります。正弦関数、余弦関数、正接関数は角度を取り、辺の比を与えます。しかし、辺の比を取り、角度を与える関数が必要なので、逆三角関数が導入されます。

\(\tan A = \frac{6}{10}\)

\( \therefore A = \tan^{-1}\frac{3}{5} = \arctan\frac{3}{5}\)

A = 30.96° [計算機で計算]

2 辺の長さがわかっている場合は、逆三角関数を使用して角度の測定値を決定できます。

\(\sin^{-1}x \textrm{ または } \arcsin x\)逆正弦関数です。

\(\cos^{-1}x \textrm{ または } \arccos x \)逆cos関数です。

\(\tan^{-1}x \textrm{ または } \arctan x\)逆正接関数です。

\(\csc^{-1}x \)または arccsc x は逆 csc 関数です。

\(\sec^{-1}x \)または arcsec x は逆 sec 関数です。

\(cot^{-1}x \)または arccot x は逆 cot 関数です。

三角関数と逆三角関数の関係

三角形では\(\sin \theta = x\)とします。

⇒ \(\sin \theta = {x \over 1}\) [ \(\sin\theta = \)垂線∕ 斜辺として]

\({x \over 1} = \frac{AB}{AC}\)と書くことができます。

\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)

⇒ \(1^2 = x^2 + BC^2 \therefore BC^2 = 1 - x^2 \implies BC = \sqrt{(1-x^2)}\)

\(\theta\)以下の表に従って逆数として与えられた場合、三角比の値を導くことができます。
1. \(\theta = \sin^{-1}x\)

2. \(\theta = \cos^{-1}x\)

3. \(\theta = \tan^{-1}x\)

では、 \(\csc^{-1} x\) 、 \(\sec^{-1}x\) 、 \(\cot^{-1}x\)の値を導出できますか?

逆三角関数の関係:

\(\sin^{-1}(-x) = - \sin^{-1} x\)

\(\tan^{-1}(-x) = - \tan^{-1} x\)

\(\csc^{-1}(-x) = - \csc^{-1} x\)

\(\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x\)

\(\sec^{-1}(-x) = \pi - \sec^{-1} x\)

\(\cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1} x\)

\(\sin^{-1}x = \csc^{-1}({1\over x}), x \in [−1,1]−\{0\}\)

\(\cos^{-1}x = \sec^{-1}({1\over x}), x \in [−1,1]−\{0\}\)

\(\tan^{-1}x = \cot^{-1}({1\over x}), x \gt 0\)

\(\cot^{-1}x = \tan^{-1}({1\over x}), x \gt 0\)

\(\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = {\pi \over 2}\)

\(\tan^{-1}x + \cot^{-1}x = {\pi \over 2}\)

\(\csc^{-1}x + \sec^{-1}x = {\pi \over 2}\)

例:

例 1: はしごが壁に立てかけられ、地面と角度 θ をなしています。はしごの土台は壁から 3 メートル離れており、はしごの長さは 5 メートルです。θ を求めます。

解決：
斜辺（5 m）と隣接辺（3 m）があるので、余弦関数を使用します。

\(\cos \theta = {3 \over 5}\)

\(\theta = \cos^{-1} ({3 \over 5})\)計算機を使用して θ の値を導出します。 \(\theta \approx 53.13^{\circ}\)

例2: \(cos⁡^{−1}(\frac{-1}{2}) \)を評価する

解決：

反射特性を使用する: \(\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x\)

\( x=\frac{1}{2} \)を代入すると

\(\cos^{-1}(\frac{-1}{2}) = \pi - \cos^{-1} (\frac{1}{2})\) ⇒ \(\cos^{-1}(\frac{-1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \)

例3: \(\sin^{-1} 0.6 + \cos^{-1} 0.6 \)を評価する

解決：

等式を使用する: \(\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = {\pi \over 2}\)

\(\therefore \sin^{-1} 0.6 + \cos^{-1} 0.6 = \frac {\pi}{2}\)

逆三角関数の定義域と値域

逆三角関数では、定義域は関数が定義される入力値 (x 値) のセットを指し、範囲は関数が取ることのできる出力値 (y 値) のセットを指します。

6 つの逆三角関数の定義域と値域は次のとおりです。