Ein Logarithmus kann mit den einfachsten Worten beschrieben werden, um die Frage zu beantworten : „Wie oft wird eine Zahl mit sich selbst multipliziert, um eine bestimmte Zahl zu erhalten?“
Wie viele Dreien multiplizieren wir beispielsweise, um 27 zu erhalten? Die Antwort ergibt sich aus 3 × 3 × 3 = 27. Drei musste also dreimal mit sich selbst multipliziert werden, um 27 zu erhalten.
Das Schreiben von Protokollen erfolgt auf eine bestimmte Art und Weise. Im obigen Beispiel wird das Protokoll beispielsweise wie folgt geschrieben:
Die Anzahl der Dreien, die erforderlich sind, um 27 zu erhalten, beträgt 3. Daher wird es wie folgt geschrieben:
\(\log_3 27 = 3\)
Ein weiteres Beispiel: Wie viele 2er werden multipliziert, um 16 zu erhalten?
Antwort: 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Es mussten also vier 2er multipliziert werden, um 16 zu erhalten. Daher ist der Logarithmus 4. Dies kann in der Form \(\log_2 16 = 4\) geschrieben werden. . Aus diesem Grund werden die Ausdrücke 2 × 2 × 2 × 2 = 16 und \(\log_2 16 = 4\) als gleich bezeichnet.
Die Zahl, die multipliziert wird, wird als Basis bezeichnet. Im obigen Fall ist die Basis 2. Wir können also sagen:
Wenn die Zahlen m, x und n wie folgt zusammenhängen:
\(m^x = n\)
Dann heißt \(x\) der Logarithmus der Zahl n zur Basis m und wird wie folgt geschrieben:
\(\log_m n = x\)
Es ist wichtig zu beachten, dass hier drei Zahlen im Spiel sind:
Daher ist der Logarithmus einer Zahl der Wert des Index. Beispiele:
4 3 = 64 | Der Logarithmus von 64 zur Basis von 4 ist 3 | \(\log_4 64 = 3\) |
5 -3 = \(\frac{1}{125}\) | Logarithmus von \(\frac{1}{125}\) zur Basis 5 = -3 | \(\log_5 \frac{1}{125} = -3\) |
a 0 = 1 | Logarithmus von 1 zur Basis a = 0 | \(\log_0 1 = a\) |
ein 1 = ein | Der Logarithmus von a zur Basis von a ist 1 | \(\log_a a = 1\) |
Im Folgenden finden Sie weitere Beispiele dafür:
Beispiel 1. Wie lautet die Antwort auf \(\log_5 625\) ?
Lösung: Bei der Frage geht es darum, wie viele 5er multipliziert werden müssen, um 625 zu erhalten. Die Anzahl der 5er ist 4. Das liegt daran, dass man 625 erhält, wenn man vier 5er multipliziert. Das heißt, 5 x 5 x 5 x 5 = 625. Daher kann die Antwort wie folgt geschrieben werden:
Antwort: \(\log_5 625 = 4\)
Beispiel 2. Wie lautet die Antwort auf \(\log_2 64\) ?
Lösung: Bei der Frage geht es um die Anzahl der Zweien, die multipliziert werden müssen, um 64 zu erhalten. Die Anzahl der Zweien, die multipliziert werden, um 64 zu erhalten, ist 6. Das liegt daran, dass man sechs Zweien multipliziert, wenn man sechs Zweien multipliziert 64. Das heißt, 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64. Daher kann die Antwort wie folgt geschrieben werden:
Antwort: \(\log_2 64 =6\)
Bitte beachten Sie, wenn ein Logarithmus ohne Basis geschrieben wird, betrachten Sie die Basis als „10“.
\(\log_{10}1000 = 3\)
Der Protokollwert kann negativ sein . Sehen Sie sich das folgende Beispiel an
\(\log_{10}0.1 = -1\)
Warum? Denn das bedeutet \(10^{-1} =0.1\)
\(\log_50.008 = -3 \text{ as } 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = 0.008\)
Wenn \(\log_zn = \log_zm = x \textrm{ then } z^x = n \textrm{ and } z^x = m\)
\(\therefore \log_zn = \log_zm \)
⇒ \(n = m\)
