یک لگاریتم را می توان با ساده ترین عبارت برای پاسخ به این سوال توصیف کرد که "یک عدد چند بار در خودش ضرب می شود تا یک عدد مشخص به دست آید؟"
مثلاً چند عدد 3 ضرب کنیم تا 27 به دست بیاید؟ پاسخ با 3 × 3 × 3 = 27 محاسبه می شود. بنابراین، سه باید در خود سه برابر ضرب می شد تا 27 به دست آید.
نوشتن لاگ ها به روش خاصی انجام می شود. به عنوان مثال، در مثال بالا، لاگ به صورت زیر نوشته شده است:
تعداد سه تایی که برای بدست آوردن 27 مورد نیاز است 3 است بنابراین به صورت زیر نوشته می شود:
\(\log_3 27 = 3\)
مثال دیگر: چند 2 ضرب می شود تا 16 به دست آید؟
پاسخ: 2 × 2 × 2 × 2 = 16. پس باید چهار 2 ضرب می شد تا 16 به دست آید. بنابراین لگاریتم 4 است. این را می توان به شکل \(\log_2 16 = 4\) نوشت. . به همین دلیل است که عبارات 2 × 2 × 2 × 2 = 16 و \(\log_2 16 = 4\) یکسان هستند.
عددی که ضرب می شود را مبنا می گویند. در مورد بالا، پایه 2 است. بنابراین، می توان گفت:
اگر اعداد m، x و n به صورت زیر مرتبط باشند:
\(m^x = n\)
سپس \(x\) لگاریتم عدد n به پایه m گفته می شود و به صورت زیر نوشته می شود:
\(\log_m n = x\)
لازم به ذکر است که در اینجا سه عدد در بازی وجود دارد:
بنابراین، لگاریتم یک عدد، مقدار شاخص است. مثال ها:
4 3 = 64 | لگ 64 تا پایه 4 برابر 3 است | \(\log_4 64 = 3\) |
5 -3 = \(\frac{1}{125}\) | ورود \(\frac{1}{125}\) به پایه 5 = -3 | \(\log_5 \frac{1}{125} = -3\) |
a 0 = 1 | ورود از 1 به پایه a = 0 | \(\log_0 1 = a\) |
a 1 = a | Log a به پایه a برابر 1 است | \(\log_a a = 1\) |
موارد زیر نمونه های بیشتری از همین موارد است:
مثال 1. جواب \(\log_5 625\) چیست؟
راه حل: سوال پرسیدن تعداد 5هایی است که برای بدست آوردن 625 باید ضرب شوند. x 5 = 625. بنابراین، پاسخ را می توان به صورت زیر نوشت:
پاسخ: \(\log_5 625 = 4\)
مثال 2. جواب \(\log_2 64\) چیست؟
راه حل: سوال این است که تعداد 2 هایی که برای بدست آوردن 64 باید ضرب شوند. 64. یعنی 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64. بنابراین، پاسخ را می توان به صورت زیر نوشت:
پاسخ: \(\log_2 64 =6\)
لطفاً توجه داشته باشید که اگر لگاریتمی بدون پایه نوشته شده است، پایه را 10 در نظر بگیرید.
\(\log_{10}1000 = 3\)
مقدار گزارش می تواند منفی باشد ، به مثال زیر نگاه کنید
\(\log_{10}0.1 = -1\)
چرا؟ زیرا این یعنی \(10^{-1} =0.1\)
\(\log_50.008 = -3 \text{ as } 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = 0.008\)
اگر \(\log_zn = \log_zm = x \textrm{ then } z^x = n \textrm{ and } z^x = m\)
\(\therefore \log_zn = \log_zm \)
⇒ \(n = m\)
