प्रश्न का उत्तर देने के लिए एक लघुगणक को सबसे सरल शब्दों में वर्णित किया जा सकता है "एक निश्चित संख्या प्राप्त करने के लिए कितनी बार एक संख्या को स्वयं से गुणा किया जाता है?"
उदाहरण के लिए, 27 प्राप्त करने के लिए हम कितने 3 को गुणा करते हैं? उत्तर की गणना 3 × 3 × 3 = 27 द्वारा की जाती है। इसलिए, 27 प्राप्त करने के लिए तीन को स्वयं से तीन बार गुणा करना पड़ा।
लॉग का लेखन एक निश्चित तरीके से किया जाता है। उपरोक्त उदाहरण में, उदाहरण के लिए, लॉग इस प्रकार लिखा गया है:
27 प्राप्त करने के लिए आवश्यक तीन तीन है। इसलिए, इसे इस प्रकार लिखा जाता है:
\(\log_3 27 = 3\)
एक अन्य उदाहरण: 16 प्राप्त करने के लिए कितने 2 को गुणा किया जाता है?
उत्तर: 2 × 2 × 2 × 2 = 16। इसलिए, 16 प्राप्त करने के लिए चार 2 को गुणा करना पड़ा। इसलिए, लघुगणक 4 है। इसे इस रूप में लिखा जा सकता है, \(\log_2 16 = 4\) . यही कारण है कि व्यंजक 2 × 2 × 2 × 2 = 16 और \(\log_2 16 = 4\) को समान कहा जाता है।
जिस संख्या का गुणा किया जाता है उसे आधार कहते हैं। उपरोक्त मामले में आधार 2 है। इसलिए, हम कह सकते हैं:
यदि संख्याएँ m, x और n इस प्रकार संबंधित हैं:
\(m^x = n\)
तब \(x\) को आधार m पर संख्या n का लघुगणक कहा जाता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है:
\(\log_m n = x\)
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यहां खेलने के लिए तीन नंबर हैं:
इसलिए, किसी संख्या का लघुगणक सूचकांक का मान है। उदाहरण:
4 3 = 64 | 64 का 4 के आधार पर लघुगणक 3 है | \(\log_4 64 = 3\) |
5 -3 = \(\frac{1}{125}\) | \(\frac{1}{125}\) का आधार 5 = -3 का लॉग | \(\log_5 \frac{1}{125} = -3\) |
एक 0 = 1 | 1 का आधार a = 0 से लॉग करें | \(\log_0 1 = a\) |
एक 1 = एक | a को a के आधार पर लॉग करें 1 | \(\log_a a = 1\) |
निम्नलिखित उसी के और उदाहरण हैं:
उदाहरण 1. \(\log_5 625\) का उत्तर क्या है?
हल: प्रश्न 5 की वह संख्या पूछ रहा है जिसे 625 प्राप्त करने के लिए गुणा करने की आवश्यकता है। 5s की संख्या 4 है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि यदि आप चार 5 को गुणा करते हैं तो आपको 625 प्राप्त होता है। अर्थात, 5 x 5 x 5 x 5 = 625. इसलिए, उत्तर को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
उत्तर: \(\log_5 625 = 4\)
उदाहरण 2. \(\log_2 64\) का उत्तर क्या है?
हल: प्रश्न 2 की संख्या के बारे में पूछ रहा है जिसे 64 प्राप्त करने के लिए गुणा करने की आवश्यकता है। 64 प्राप्त करने के लिए 2 की संख्या 6 है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि यदि आप छह 2 को गुणा करते हैं, तो आपको मिलता है 64. अर्थात, 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64। इसलिए, उत्तर को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
उत्तर: \(\log_2 64 =6\)
कृपया ध्यान दें कि यदि कोई लघुगणक आधार के बिना लिखा गया है, तो आधार को '10' मानें
\(\log_{10}1000 = 3\)
लॉग मान ऋणात्मक हो सकता है , नीचे दिए गए उदाहरण को देखें
\(\log_{10}0.1 = -1\)
क्यों? क्योंकि इसका मतलब है \(10^{-1} =0.1\)
\(\log_50.008 = -3 \text{ as } 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = 0.008\)
अगर \(\log_zn = \log_zm = x \textrm{ then } z^x = n \textrm{ and } z^x = m\)
\(\therefore \log_zn = \log_zm \)
⇒ \(n = m\)
