Un logaritmo può essere descritto nei termini più semplici per rispondere alla domanda "quante volte un numero viene moltiplicato per se stesso per ottenere un certo numero?"
Ad esempio, quanti 3 moltiplichiamo per ottenere 27? La risposta è calcolata da 3 × 3 × 3 = 27. Quindi, tre doveva essere moltiplicato per se stesso tre volte per ottenere 27.
La scrittura dei log avviene in un certo modo. Nell'esempio precedente, ad esempio, il registro è scritto come segue:
Il numero di tre necessari per ottenere 27 è 3. Pertanto, è scritto come:
\(\log_3 27 = 3\)
Un altro esempio: quanti 2 vengono moltiplicati per ottenere 16?
Risposta: 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Quindi, quattro 2 dovevano essere moltiplicati per ottenere 16. Pertanto, il logaritmo è 4. Questo può essere scritto nella forma, \(\log_2 16 = 4\) . Questo è il motivo per cui si dice che le espressioni 2 × 2 × 2 × 2 = 16 e \(\log_2 16 = 4\) sono uguali.
Il numero che viene moltiplicato è indicato come base. Nel caso precedente, la base è 2. Quindi, possiamo dire:
Se i numeri m, x e n sono correlati come:
\(m^x = n\)
Allora si dice che \(x\) è il logaritmo del numero n in base m e si scrive come:
\(\log_m n = x\)
È importante notare che ci sono tre numeri in gioco qui:
Pertanto, il logaritmo di un numero è il valore dell'indice. Esempi:
4 3 = 64 | Logaritmo di 64 in base di 4 è 3 | \(\log_4 64 = 3\) |
5 -3 = \(\frac{1}{125}\) | Logaritmo di \(\frac{1}{125}\) in base 5 = -3 | \(\log_5 \frac{1}{125} = -3\) |
uno 0 = 1 | Logaritmo di 1 in base a = 0 | \(\log_0 1 = a\) |
un 1 = un | Logaritmo a in base di a è 1 | \(\log_a a = 1\) |
I seguenti sono altri esempi dello stesso:
Esempio 1. Qual è la risposta a \(\log_5 625\) ?
Soluzione: la domanda chiede il numero di 5 che devono essere moltiplicati per ottenere 625. Il numero di 5 è 4. Questo perché, se si moltiplicano quattro 5 si ottiene 625. Cioè, 5 x 5 x 5 x 5 = 625. Pertanto, la risposta può essere scritta come:
Risposta: \(\log_5 625 = 4\)
Esempio 2. Qual è la risposta a \(\log_2 64\) ?
Soluzione: la domanda chiede il numero di 2 che è necessario moltiplicare per ottenere 64. Il numero di 2 che viene moltiplicato per ottenere 64 è 6. Questo perché, se si moltiplicano sei 2, si ottiene 64. Cioè, 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64. Pertanto, la risposta può essere scritta come:
Risposta: \(\log_2 64 =6\)
Nota se un logaritmo è scritto senza base, considera la base come '10'
\(\log_{10}1000 = 3\)
Il valore del registro può essere negativo , guarda l'esempio seguente
\(\log_{10}0.1 = -1\)
Perché? Perché questo significa \(10^{-1} =0.1\)
\(\log_50.008 = -3 \text{ as } 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = 0.008\)
Se \(\log_zn = \log_zm = x \textrm{ then } z^x = n \textrm{ and } z^x = m\)
\(\therefore \log_zn = \log_zm \)
⇒ \(n = m\)
