対数は、「ある数値を得るために数値を何回掛けるか?」という質問に答えるための最も簡単な言葉で説明できます。
たとえば、3 をいくつ掛けると 27 になりますか?答えは 3 × 3 × 3 = 27 で計算されます。つまり、27 を得るには 3 を 3 回掛ける必要があります。
ログの書き込みは特定の方法で行われます。たとえば、上記の例では、ログは次のように書き込まれます。
27 を得るために必要な 3 の数は 3 です。したがって、次のように書きます。
\(\log_3 27 = 3\)
別の例: 2 をいくつ掛けると 16 になりますか?
答え: 2 × 2 × 2 × 2 = 16。つまり、16 を得るには 4 つの 2 を掛ける必要があります。したがって、対数は 4 になります。これは\(\log_2 16 = 4\)の形式で書くことができます。 。 2 × 2 × 2 × 2 = 16 と\(\log_2 16 = 4\)同じであると言われるのはこのためです。
乗算される数を「底」と呼びます。上記の場合、底は 2 です。したがって、次のように言えます。
数値 m、x、n が次のように関係しているとします。
\(m^x = n\)
この場合、 \(x\)は数値 n の底を m にした対数であると言われ、次のように書かれます。
\(\log_m n = x\)
ここでは 3 つの数字が関係していることに注意することが重要です。
したがって、数値の対数がインデックスの値となります。例:
4 3 = 64 | 64 の 4 の底の対数は 3 | \(\log_4 64 = 3\) |
5 -3 = \(\frac{1}{125}\) | \(\frac{1}{125}\)の底 5 への対数 = -3 | \(\log_5 \frac{1}{125} = -3\) |
0 = 1 | 1 の底 a = 0 への対数 | \(\log_0 1 = a\) |
a 1 = a | a の底までのログは 1 です | \(\log_a a = 1\) |
以下に同じ例をさらに示します。
例 1. \(\log_5 625\)の答えは何ですか?
解決策: 問題は、625 を得るために乗算する必要がある 5 の数を尋ねています。5 の数は 4 です。これは、4 つの 5 を乗算すると 625 が得られるためです。つまり、5 x 5 x 5 x 5 = 625。したがって、答えは次のように書くことができます。
答え: \(\log_5 625 = 4\)
例 2. \(\log_2 64\)の答えは何ですか?
解決策: この質問は、64 を得るために乗算する必要がある 2 の数を尋ねています。64 を得るために乗算される 2 の数は 6 です。これは、6 つの 2 を乗算すると、次のようになります。 64. つまり、2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64。したがって、答えは次のように書くことができます。
答え: \(\log_2 64 =6\)
対数が底なしで書かれている場合は、底を「10」とみなすことに注意してください。
\(\log_{10}1000 = 3\)
ログ値は負の値になる場合があります。以下の例を見てください。
\(\log_{10}0.1 = -1\)
なぜ？これは\(10^{-1} =0.1\)を意味するためです。
\(\log_50.008 = -3 \text{ as } 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = 0.008\)
もしも \(\log_zn = \log_zm = x \textrm{ then } z^x = n \textrm{ and } z^x = m\)
\(\therefore \log_zn = \log_zm \)
⇒ \(n = m\)
