Een logaritme kan in de eenvoudigste bewoordingen worden beschreven om de vraag te beantwoorden "hoe vaak een getal met zichzelf wordt vermenigvuldigd om een bepaald getal te krijgen?"
Hoeveel 3s moeten we bijvoorbeeld vermenigvuldigen om 27 te krijgen? Het antwoord wordt berekend met 3 × 3 × 3 = 27. Drie moest dus drie keer met zichzelf worden vermenigvuldigd om 27 te krijgen.
Het schrijven van logs gebeurt op een bepaalde manier. In het bovenstaande voorbeeld wordt het logboek bijvoorbeeld als volgt geschreven:
Het aantal drieën dat nodig is om 27 te krijgen is 3. Daarom wordt het geschreven als:
\(\log_3 27 = 3\)
Nog een voorbeeld: hoeveel 2-en worden vermenigvuldigd om 16 te krijgen?
Antwoord: 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Er moesten dus vier 2-en worden vermenigvuldigd om 16 te krijgen. Daarom is de logaritme 4. Dit kan worden geschreven in de vorm \(\log_2 16 = 4\) . Dit is de reden waarom wordt gezegd dat de uitdrukkingen 2 × 2 × 2 × 2 = 16 en \(\log_2 16 = 4\) hetzelfde zijn.
Het getal dat wordt vermenigvuldigd, wordt het grondtal genoemd. In het bovenstaande geval is de basis 2. We kunnen dus zeggen:
Als de getallen m, x en n gerelateerd zijn als:
\(m^x = n\)
Dan heet \(x\) de logaritme van het getal n tot het grondtal m en wordt geschreven als:
\(\log_m n = x\)
Het is belangrijk op te merken dat er hier drie getallen in het spel zijn:
Daarom is de logaritme van een getal de waarde van de index. Voorbeelden:
4 3 = 64 | Logboek van 64 tot het grondtal van 4 is 3 | \(\log_4 64 = 3\) |
5 -3 = \(\frac{1}{125}\) | Log van \(\frac{1}{125}\) naar het grondtal 5 = -3 | \(\log_5 \frac{1}{125} = -3\) |
een 0 = 1 | Logboek van 1 naar het grondtal a = 0 | \(\log_0 1 = a\) |
een 1 = een | Log a naar het grondtal van a is 1 | \(\log_a a = 1\) |
De volgende zijn meer voorbeelden van hetzelfde:
Voorbeeld 1. Wat is het antwoord op \(\log_5 625\) ?
Oplossing: de vraag is het aantal 5-en dat moet worden vermenigvuldigd om 625 te krijgen. Het aantal 5-en is 4. Dit komt omdat als je vier 5-en vermenigvuldigt, je 625 krijgt. Dat wil zeggen, 5 x 5 x 5 x 5 = 625. Daarom kan het antwoord worden geschreven als:
Antwoord: \(\log_5 625 = 4\)
Voorbeeld 2. Wat is het antwoord op \(\log_2 64\) ?
Oplossing: De vraag is om het aantal 2-en te vragen dat moet worden vermenigvuldigd om 64 te krijgen. Het aantal 2 dat wordt vermenigvuldigd om 64 te krijgen, is 6. Dit komt omdat, als je zes 2-en vermenigvuldigt, je krijgt 64. Dat wil zeggen, 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64. Daarom kan het antwoord worden geschreven als:
Antwoord: \(\log_2 64 =6\)
Let op: als een logaritme zonder grondtal wordt geschreven, beschouw het grondtal dan als '10'
\(\log_{10}1000 = 3\)
Logwaarde kan negatief zijn , kijk naar het onderstaande voorbeeld
\(\log_{10}0.1 = -1\)
Waarom? Omdat dit betekent \(10^{-1} =0.1\)
\(\log_50.008 = -3 \text{ as } 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = 0.008\)
Als \(\log_zn = \log_zm = x \textrm{ then } z^x = n \textrm{ and } z^x = m\)
\(\therefore \log_zn = \log_zm \)
⇒ \(n = m\)
