Логарифм можно описать в простейших терминах, чтобы ответить на вопрос «сколько раз нужно умножить число само на себя, чтобы получить определенное число?»
Например, сколько троек нужно умножить, чтобы получить 27? Ответ вычисляется как 3 × 3 × 3 = 27. Итак, три нужно было умножить само на себя три раза, чтобы получить 27.
Запись логов производится определенным образом. Например, в приведенном выше примере журнал записывается следующим образом:
Количество троек, необходимых для получения 27, равно 3. Следовательно, это записывается так:
\(\log_3 27 = 3\)
Другой пример: сколько двоек нужно умножить, чтобы получить 16?
Ответ: 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Итак, чтобы получить 16, нужно было умножить четыре двойки. Следовательно, логарифм равен 4. Это можно записать в виде \(\log_2 16 = 4\) . По этой причине выражения 2 × 2 × 2 × 2 = 16 и \(\log_2 16 = 4\) считаются одинаковыми.
Число, которое умножается, называется основанием. В приведенном выше случае основание равно 2. Итак, мы можем сказать:
Если числа m, x и n связаны следующим образом:
\(m^x = n\)
Тогда \(x\) называется логарифмом числа n по основанию m и записывается как:
\(\log_m n = x\)
Важно отметить, что здесь задействованы три числа:
Следовательно, логарифм числа является значением индекса. Примеры:
4 3 = 64 | Лог 64 по основанию 4 равно 3 | \(\log_4 64 = 3\) |
5 -3 = \(\frac{1}{125}\) | Логарифм \(\frac{1}{125}\) по основанию 5 = -3 | \(\log_5 \frac{1}{125} = -3\) |
0 = 1 | Лог 1 по основанию а = 0 | \(\log_0 1 = a\) |
а 1 = а | Логарифм а по основанию а равен 1 | \(\log_a a = 1\) |
Ниже приведены еще примеры того же:
Пример 1. Каков ответ на \(\log_5 625\) ?
Решение: Вопрос заключается в том, сколько пятерок нужно умножить, чтобы получить 625. Число пятерок равно 4. Это потому, что если вы умножите четыре пятерки, вы получите 625. То есть 5 x 5 x 5 х 5 = 625. Следовательно, ответ можно записать в виде:
Ответ: \(\log_5 625 = 4\)
Пример 2. Каков ответ на \(\log_2 64\) ?
Решение: Вопрос заключается в том, сколько двоек нужно умножить, чтобы получить 64. Число двоек, которые нужно умножить, чтобы получить 64, равно 6. Это потому, что если вы умножите шесть двоек, вы получите 64. То есть 2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 2 = 64. Следовательно, ответ можно записать так:
Ответ: \(\log_2 64 =6\)
Обратите внимание, если логарифм записывается без основания, считайте основание равным «10».
\(\log_{10}1000 = 3\)
Значение журнала может быть отрицательным , посмотрите на пример ниже.
\(\log_{10}0.1 = -1\)
почему? Потому что это означает \(10^{-1} =0.1\)
\(\log_50.008 = -3 \text{ as } 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = 0.008\)
Если \(\log_zn = \log_zm = x \textrm{ then } z^x = n \textrm{ and } z^x = m\)
\(\therefore \log_zn = \log_zm \)
⇒ \(n = m\)
