En logaritm kan beskrivas i de enklaste termerna för att svara på frågan "hur många gånger multipliceras ett tal med sig självt för att få ett visst tal?"
Till exempel, hur många 3:or multiplicerar vi för att få 27? Svaret beräknas med 3 × 3 × 3 = 27. Så tre måste multipliceras med sig själv tre gånger för att få 27.
Skrivningen av loggar görs på ett visst sätt. I exemplet ovan, till exempel, skrivs loggen enligt följande:
Antalet treor som krävs för att få 27 är 3. Därför skrivs det som:
\(\log_3 27 = 3\)
Ett annat exempel: Hur många 2:or multipliceras för att få 16?
Svar: 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Så fyra 2:or måste multipliceras för att få 16. Därför är logaritmen 4. Detta kan skrivas i formen \(\log_2 16 = 4\) . Detta är anledningen till att uttrycken 2 × 2 × 2 × 2 = 16 och \(\log_2 16 = 4\) sägs vara desamma.
Talet som multipliceras kallas basen. I fallet ovan är basen 2. Så vi kan säga:
Om talen m, x och n är relaterade till:
\(m^x = n\)
Då sägs \(x\) vara logaritmen för talet n till basen m och skrivs som:
\(\log_m n = x\)
Det är viktigt att notera att det finns tre nummer på spel här:
Därför är logaritmen för ett tal värdet på indexet. Exempel:
4 3 = 64 | Log av 64 till basen av 4 är 3 | \(\log_4 64 = 3\) |
5 -3 = \(\frac{1}{125}\) | Logg av \(\frac{1}{125}\) till basen 5 = -3 | \(\log_5 \frac{1}{125} = -3\) |
a 0 = 1 | Log av 1 till basen a = 0 | \(\log_0 1 = a\) |
a 1 = a | Logga a till basen av a är 1 | \(\log_a a = 1\) |
Följande är fler exempel på detsamma:
Exempel 1. Vad är svaret på \(\log_5 625\)
Lösning: Frågan är att fråga antalet 5:or som behövs för att multipliceras för att få 625. Antalet 5:or är 4. Detta beror på att om du multiplicerar fyra 5:or får du 625. Det vill säga 5 x 5 x 5 x 5 = 625. Därför kan svaret skrivas som:
Svar: \(\log_5 625 = 4\)
Exempel 2. Vad är svaret på \(\log_2 64\)
Lösning: Frågan frågar efter antalet 2:or som behövs för att multipliceras för att få 64. Antalet 2 som multipliceras för att få 64 är 6. Detta beror på att om du multiplicerar sex 2:or, får du 64. Det vill säga 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64. Därför kan svaret skrivas som:
Svar: \(\log_2 64 =6\)
Observera att om en logaritm skrivs utan en bas, betrakta basen som '10'
\(\log_{10}1000 = 3\)
Loggvärdet kan vara negativt , titta på exemplet nedan
\(\log_{10}0.1 = -1\)
Varför? Eftersom detta betyder \(10^{-1} =0.1\)
\(\log_50.008 = -3 \text{ as } 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = 0.008\)
Om \(\log_zn = \log_zm = x \textrm{ then } z^x = n \textrm{ and } z^x = m\)
\(\therefore \log_zn = \log_zm \)
⇒ \(n = m\)
