Логарифм можна описати найпростішими термінами, щоб відповісти на запитання «скільки разів число множиться саме на себе, щоб отримати певне число?»
Наприклад, на скільки 3 помножимо, щоб отримати 27? Відповідь обчислюється так: 3 × 3 × 3 = 27. Отже, щоб отримати 27, три треба було помножити на себе тричі.
Написання журналів здійснюється певним чином. У наведеному вище прикладі, наприклад, журнал записується так:
Кількість трійок, які потрібні, щоб отримати 27, дорівнює 3. Тому це записується так:
\(\log_3 27 = 3\)
Інший приклад: на скільки двійок потрібно помножити, щоб отримати 16?
Відповідь: 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Отже, щоб отримати 16, потрібно було помножити чотири двійки. Таким чином, логарифм дорівнює 4. Це можна записати у вигляді \(\log_2 16 = 4\) . Це причина, чому вирази 2 × 2 × 2 × 2 = 16 і \(\log_2 16 = 4\) вважаються однаковими.
Число, яке множиться, називають основою. У наведеному вище випадку основа дорівнює 2. Отже, ми можемо сказати:
Якщо числа m, x і n відносяться так:
\(m^x = n\)
Тоді \(x\) називається логарифмом числа n за основою m і записується так:
\(\log_m n = x\)
Важливо зауважити, що тут грають три числа:
Отже, логарифм числа є значенням індексу. приклади:
4 3 = 64 | Логарифм числа 64 за основою 4 дорівнює 3 | \(\log_4 64 = 3\) |
5 -3 = \(\frac{1}{125}\) | Логарифм \(\frac{1}{125}\) за основою 5 = -3 | \(\log_5 \frac{1}{125} = -3\) |
a 0 = 1 | Логарифм 1 за основою a = 0 | \(\log_0 1 = a\) |
a 1 = a | Log a за основою a дорівнює 1 | \(\log_a a = 1\) |
Нижче наведено інші приклади того самого:
Приклад 1. Яка відповідь на \(\log_5 625\) ?
Розв’язання. Запитання полягає в тому, щоб запитати кількість 5, які потрібно помножити, щоб отримати 625. Кількість 5 дорівнює 4. Це тому, що якщо ви помножите чотири 5, ви отримаєте 625. Тобто 5 x 5 x 5 x 5 = 625. Тому відповідь можна записати так:
Відповідь: \(\log_5 625 = 4\)
Приклад 2. Яка відповідь на \(\log_2 64\) ?
Розв’язання. Запитання полягає в тому, щоб визначити кількість двійок, які потрібно помножити, щоб отримати 64. Число 2, які потрібно помножити, щоб отримати 64, дорівнює 6. Це тому, що якщо ви помножите шість двійок, ви отримаєте 64. Тобто 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64. Тому відповідь можна записати так:
Відповідь: \(\log_2 64 =6\)
Зверніть увагу, якщо логарифм записується без основи, вважайте основою «10»
\(\log_{10}1000 = 3\)
Значення журналу може бути від’ємним , подивіться на приклад нижче
\(\log_{10}0.1 = -1\)
чому? Оскільки це означає \(10^{-1} =0.1\)
\(\log_50.008 = -3 \text{ as } 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = 0.008\)
Якщо \(\log_zn = \log_zm = x \textrm{ then } z^x = n \textrm{ and } z^x = m\)
\(\therefore \log_zn = \log_zm \)
⇒ \(n = m\)
