اس سوال کا جواب دینے کے لیے ایک لوگارتھم کو آسان ترین الفاظ میں بیان کیا جا سکتا ہے "ایک عدد کو حاصل کرنے کے لیے خود سے کتنی بار ضرب کیا جاتا ہے؟"
مثال کے طور پر، 27 حاصل کرنے کے لیے ہم کتنے 3s کو ضرب دیتے ہیں؟ جواب کا حساب 3 × 3 × 3 = 27 سے کیا جاتا ہے۔ لہذا، 27 حاصل کرنے کے لیے تین کو خود سے تین بار ضرب کرنا ہوگا۔
نوشتہ جات کی تحریر ایک خاص طریقے سے کی جاتی ہے۔ مندرجہ بالا مثال میں، مثال کے طور پر، لاگ اس طرح لکھا گیا ہے:
27 حاصل کرنے کے لیے جن تینوں کی تعداد درکار ہے وہ 3 ہے۔ اس لیے اسے اس طرح لکھا جاتا ہے:
\(\log_3 27 = 3\)
ایک اور مثال: 16 حاصل کرنے کے لیے کتنے 2s کو ضرب دیا جاتا ہے؟
جواب: 2 × 2 × 2 × 2 = 16۔ لہذا، 16 حاصل کرنے کے لیے چار 2s کو ضرب دینا پڑے گا۔ اس لیے لاگرتھم 4 ہے۔ اسے فارم میں لکھا جا سکتا ہے، \(\log_2 16 = 4\) . یہی وجہ ہے کہ اظہار 2 × 2 × 2 × 2 = 16 اور \(\log_2 16 = 4\) کو ایک جیسا کہا جاتا ہے۔
جس نمبر کو ضرب دیا جاتا ہے اسے بنیاد کہا جاتا ہے۔ مندرجہ بالا صورت میں، بنیاد 2 ہے۔ لہذا، ہم کہہ سکتے ہیں:
اگر نمبر m، x، اور n اس طرح سے متعلق ہیں:
\(m^x = n\)
پھر \(x\) کو بیس m کے نمبر n کا لوگارتھم کہا جاتا ہے اور اس طرح لکھا جاتا ہے:
\(\log_m n = x\)
یہ نوٹ کرنا ضروری ہے کہ یہاں کھیل میں تین نمبر ہیں:
لہذا، ایک عدد کا لوگارتھم انڈیکس کی قدر ہے۔ مثالیں:
4 3 = 64 | 4 کی بنیاد سے 64 کا لاگ 3 ہے۔ | \(\log_4 64 = 3\) |
5 -3 = \(\frac{1}{125}\) | بیس 5 = -3 پر \(\frac{1}{125}\) کا لاگ | \(\log_5 \frac{1}{125} = -3\) |
a 0 = 1 | بیس a = 0 پر 1 کا لاگ | \(\log_0 1 = a\) |
a 1 = a | a 1 کی بنیاد پر لاگ اے کریں۔ | \(\log_a a = 1\) |
اسی کی مزید مثالیں درج ذیل ہیں:
مثال 1۔ \(\log_5 625\) کا جواب کیا ہے؟
حل: سوال 5s کی تعداد پوچھ رہا ہے جنہیں 625 حاصل کرنے کے لیے ضرب کرنے کی ضرورت ہے۔ 5s کی تعداد 4 ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ اگر آپ چار 5s کو ضرب دیں گے تو آپ کو 625 ملے گا۔ یعنی 5 x 5 x 5 x 5 = 625۔ لہٰذا، جواب اس طرح لکھا جا سکتا ہے:
جواب: \(\log_5 625 = 4\)
مثال 2۔ \(\log_2 64\) کا جواب کیا ہے؟
حل: سوال 2s کی تعداد کے بارے میں پوچھ رہا ہے جو 64 حاصل کرنے کے لیے ضرب کرنے کی ضرورت ہے۔ 64 حاصل کرنے کے لیے جن 2 کو ضرب دیا جائے وہ 6 ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ اگر آپ چھ 2s کو ضرب دیتے ہیں تو آپ کو حاصل ہوتا ہے۔ 64. یعنی 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64. اس لئے جواب اس طرح لکھا جا سکتا ہے:
جواب: \(\log_2 64 =6\)
براہ کرم نوٹ کریں کہ اگر لوگارتھم بیس کے بغیر لکھا جاتا ہے تو بیس کو '10' سمجھیں۔
\(\log_{10}1000 = 3\)
لاگ ویلیو منفی ہو سکتی ہے ، نیچے دی گئی مثال کو دیکھیں
\(\log_{10}0.1 = -1\)
کیوں کیونکہ اس کا مطلب ہے \(10^{-1} =0.1\)
\(\log_50.008 = -3 \text{ as } 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = 0.008\)
اگر \(\log_zn = \log_zm = x \textrm{ then } z^x = n \textrm{ and } z^x = m\)
\(\therefore \log_zn = \log_zm \)
⇒ \(n = m\)
