Zur Messung derselben Entität werden häufig unterschiedliche Einheiten verwendet. Die Größe einer Person wird in Metern, Fuß oder Zoll ausgedrückt. Die Entfernung zwischen Orten wird in Kilometern, Meilen oder sogar Lichtjahren ausgedrückt.
Ebenso verwenden wir häufig Grad und Bogenmaß, um Winkel zu messen.
In diesem Kapitel werden wir das Bogenmaß als Einheit zur Messung eines Winkels untersuchen. Außerdem werden wir sehen, wie Bogenmaß und Grad miteinander zusammenhängen.
Nehmen wir an \(\angle{AOB} = \theta\) ist der Mittelpunktswinkel (ein Winkel, der in der Mitte des Kreises gebildet wird), während er sich entlang des Umfangs von Punkt A nach B bewegt.
Das Maß für θ im Bogenmaß ist das Verhältnis der Länge des Bogens AB (Bogen AB = s) zum Radius (Radius = r).
θ = Bogenlänge ∕ Radiuslänge = s ∕ r Bogenmaß. Da es sich um ein Verhältnis zweier gleicher Längeneinheiten handelt, hat das Bogenmaß keine Einheit.
Beispiel 1: Länge von AB = 8 cm und Radius r = 4 cm, dann \(\theta = \frac{8}{4}=2 \textrm{ Radiant}\) .
Beispiel 2: Länge von AB = π ∕ 4 cm und Radius 1 cm, dann θ = π ∕ 4 Bogenmaß
Beispiel 3: Betrachten Sie nun den gesamten Umfang des Kreises, der 2πr beträgt, wobei r = Radius des Kreises.
Der zentrale Winkel, den der Umfang bildet = \(\frac{2 \pi r }{r}\) = 2π Bogenmaß.
Wenn man den gesamten Kreis umrundet, entsteht in der Mitte ein Winkel von \(360^{\circ}\) .
Daher ist 2π Bogenmaß = 360° ⇒ π Bogenmaß = 180°.
Die folgende Tabelle zeigt die Umrechnung zwischen Bogenmaß und Grad.
| Grad | Bogenmaß |
| 360° | 2π |
| 180° | π |
| 90° | π ∕ 2 |
| 45° | π ∕ 4 |
