A menudo se utilizan diferentes unidades para medir la misma entidad. La altura de una persona se expresa en metros, pies o pulgadas. La distancia entre lugares se expresa en kilómetros, millas o incluso años luz.
De manera similar, frecuentemente usamos grados y radianes para medir ángulos.
En este capítulo, exploraremos el radian como unidad para medir un ángulo. Además, veremos cómo se relacionan entre sí los radianes y los grados.
Digamos \(\angle{AOB} = \theta\) es el ángulo central (un ángulo formado en el centro del círculo) mientras se mueve a lo largo de la circunferencia desde el punto A al B.
La medida de θ en radianes es la relación entre la longitud del arco AB (arco AB = s) y el radio (radio = r).
θ = Longitud del arco ∕ Longitud del radio = s ∕ r radianes. Al ser una relación de dos mismas unidades de longitud, el radian no tiene unidad.
Ejemplo 1: Longitud de AB = 8 cm y radio r = 4 cm, entonces \(\theta = \frac{8}{4}=2 \textrm{ radianes}\) .
Ejemplo 2: Longitud de AB = π ∕ 4 cm y radio de 1 cm, entonces θ = π ∕ 4 radianes
Ejemplo 3: Ahora considere toda la circunferencia del círculo que es 2πr, donde r = radio del círculo.
El ángulo central que forma la circunferencia = \(\frac{2 \pi r }{r}\) = 2π radianes.
Al recorrer todo el círculo se forma un ángulo de \(360^{\circ}\) en el centro.
Por lo tanto, 2π radianes = 360° ⇒ π radianes = 180°.
La siguiente tabla muestra la conversión entre radianes y grados.
| Grado | Radianes |
| 360° | 2π |
| 180° | π |
| 90° | π ∕ 2 |
| 45° | π ∕ 4 |
