Back to the topics list

বীজগণিত

বীজগণিত পাটিগণিতের সমস্ত নিয়ম অনুসরণ করে। এটি একই চারটি ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করে যার উপর পাটিগণিত ভিত্তি করে, যেমন যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ।

কিন্তু বীজগণিত একটি নতুন উপাদান প্রবর্তন করে। "অজানা" এর উপাদান । অজানা মানগুলি বীজগণিতের ভেরিয়েবল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। ভেরিয়েবলগুলিকে x, y, এবং z এর মতো অক্ষর হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

ধ্রুবক এবং পরিবর্তনশীল

একটি ধ্রুবক সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না এবং একটি নির্দিষ্ট মান আছে। উদাহরণস্বরূপ, 2, 6, 1212, pi. ভেরিয়েবল হল এমন মান যা সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, দিনের বিভিন্ন সময়ে তাপমাত্রা একটি পরিবর্তনশীল প্রতিনিধিত্ব করে। আপনার গ্রেডে একজন শিক্ষার্থীর ওজন একটি পরিবর্তনশীল, কারণ এটি শিক্ষার্থী থেকে শিক্ষার্থীতে পরিবর্তিত হয়।

উদাহরণ: 2x এ, 2 একটি ধ্রুবক এবং x একটি পরিবর্তনশীল। 4 + xy-এ, 4 হল একটি ধ্রুবক, এবং x এবং y হল ভেরিয়েবল।

বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি

একটি বীজগণিতীয় রাশি হল ধ্রুবক এবং চারটি মৌলিক ক্রিয়াকলাপের (+, −, ×, ÷) কিছু বা সমস্ত দ্বারা সংযুক্ত ভেরিয়েবলের সংমিশ্রণ। উদাহরণস্বরূপ, 2x + 10y + 3 একটি বীজগণিতীয় রাশি। আসুন নিম্নলিখিত বিবৃতিটির জন্য একটি বীজগণিতিক রাশি তৈরি করার চেষ্টা করি:
"আপনি গতকাল x গণিত প্রশ্ন সমাধান করেছেন। আজ আপনি 10টি প্রশ্ন কম করেছেন। আপনি আজ কতটি প্রশ্ন সমাধান করেছেন?"
বীজগাণিতিক রাশি যা আজকে আপনার দ্বারা সমাধান করা প্রশ্নের সংখ্যা ব্যাখ্যা করে x−10।

যদি 4 একটি ধ্রুবক এবং z একটি পরিবর্তনশীল হয় তবে - 4 বার z গুণ করলে কি পাবেন? 4 এর সাথে z যোগ করলে কি পাবেন? উত্তর: 4×z এবং 4+zও ভেরিয়েবল। কারণ একটি ধ্রুবক এবং একটি চলকের সমন্বয়ও একটি পরিবর্তনশীল।

বীজগণিতীয় সমীকরণ

পাটিগণিত আমরা লিখি 2 + 3 = ?

বীজগণিতে একই লেখা হবে 2 + 3 = x

এখানে ? একটি অজানা পরিবর্তনশীল 'x' দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় ।

উপরের রাশি '2 + 3 = x' কে ' বীজগণিতীয় সমীকরণ ' বলা হয়।

একটি সমান চিহ্ন নির্দেশ করে যে বাম দিকের মান ডানদিকের সমান বা আমরা বলতে পারি এটি একটি সুষম সমীকরণ।

বীজগণিত সমীকরণে, আমরা একটি চলকের মান খুঁজে পাই। একটি পরিবর্তনশীল একটি সংখ্যার প্রতীক যা আমরা এখনও জানি না। 'x' হল 2 + ​​3 = x সমীকরণের একটি চলক। এবং 2, 3 ধ্রুবক।

চলুন কয়েকটি উদাহরণ গ্রহণ করে চলকগুলি বুঝতে পারি।
শিক্ষার্থীরা বইয়ের দোকান থেকে নোটবুক কেনে। একটি নোটবুকের দাম $5। যদি n হয় সেই নোটবুকের সংখ্যা যা শিক্ষার্থী কিনতে চায়, তাহলে n মান নিতে পারে 1, 2, 3 ইত্যাদি। এবং শিক্ষার্থীকে n সংখ্যক বইয়ের জন্য \(5n\) মূল্য দিতে হবে। n নোটবুকের মোট খরচ নিয়ম দ্বারা দেওয়া হয়: n বইয়ের মোট খরচ = 5 × n। যদি আমি 3টি নোটবুক কিনি, তাহলে আমাকে $15 ($5 × 3) দিতে হবে।

আরও একটি উদাহরণ নেওয়া যাক। মেরির জেরির চেয়ে 10টি বেশি আপেল রয়েছে। সুতরাং জেরির যদি 'm' সংখ্যার আপেল থাকে, মেরির কাছে '10+m ' আপেল থাকে।
উভয় ক্ষেত্রেই, m একটি পরিবর্তনশীল । যাইহোক, উভয়ের জন্য বীজগণিতের অভিব্যক্তি ভিন্ন।
আসুন আমরা আরও দেখি যে গণিতের সাধারণ নিয়মগুলি যা আমরা ইতিমধ্যে শিখেছি তা ভেরিয়েবল ব্যবহার করে প্রকাশ করা হয়।

• l দৈর্ঘ্যের প্রতিটি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের পরিধি হল 4l। বর্গক্ষেত্রের পরিধি = 4l, এখানে l একটি পরিবর্তনশীল।
• দৈর্ঘ্য l এবং প্রস্থ w সহ একটি আয়তক্ষেত্রের পরিধিকে প্রকাশ করা হয় পরিধি = 2l + 2w, এখানে l এবং w চলক।
  

পাটিগণিত থেকে নিয়ম

দুটি সংখ্যা যোগের কম্যুটেটিভিটি
আমরা জানি যে 3 + 4 = 4 + 3, তাই x + y = y + x
এটি x এবং y ভেরিয়েবল ব্যবহার করে জেনেরিক আকারে নিয়ম প্রকাশ করছে।

দুটি সংখ্যার গুণের বিনিময়তা
3 × 4 = 4 × 3, 33 × 23 = 23 × 33 (গুণের ক্রম ফলাফল পরিবর্তন করে না), তাই আমরা এই নিয়মটিকে চলকগুলিতে লিখতে পারি x × y = y × x বা xy = yx হিসাবে

সংখ্যার বন্টন
7 × 42 এভাবেও লেখা যেতে পারে \( 7\times(40 + 2) = 7 \times 40 + 7 \times 2 = 280 + 14 = 294\) , সংখ্যাগুলি যদি ভেরিয়েবল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় তবে আমরা এটি লিখতে পারি:
\(x \times (y + z) = xy + xz\)

সংখ্যার সহযোগীতা
যেহেতু ( \(6+3) + 4 = 6 + (3 + 4)\) তাই, আমরা সাধারণভাবে লিখতে পারি \((x + y) + z = x + (y + z )\)
একইভাবে, \((x \times y) \times z = x \times (y \times z)\)

একটি সমীকরণের সমাধান

বীজগণিত সমীকরণ সমাধান করতে, অজানা মানগুলিকে একদিকে এবং পরিচিত মানগুলিকে অন্য দিকে সরান। আসুন একটি উদাহরণ গ্রহণ করি এবং x এর মান বের করার চেষ্টা করি।

উদাহরণ 1:
\(x -2 = 3\)
উভয় পাশে 2 যোগ করুন। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন সমীকরণের উভয় পাশে একই সংখ্যা দ্বারা যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ সমীকরণের ভারসাম্যকে প্রভাবিত করে না এবং '=' এখনও সত্য ধারণ করে। অর্থাৎ বাম হাতের দিক = ডান হাতের দিক

\(x - 2 + 2 = 3 + 2\)

⇒ \(x = 5\)

উদাহরণ 2:
x এর জন্য নিচের বীজগণিতীয় সমীকরণ সমাধান করুন: \(x + 2 = 6\)
উভয় দিক থেকে 2 বিয়োগ করা হচ্ছে। এইভাবে আমরা নিয়মটি অনুসরণ করছি শুধুমাত্র অজানা এবং অন্য দিকটি পরিচিত মান সহ।

\(x + 2 - 2 = 6 - 2\)

⇒ \(x = 4\)

উদাহরণ 3:

\(4 \times x = 20\)

উভয় পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করুন

\(\frac{4 \times x}{4} = \frac{20}{4}\)

⇒ \(x = 5\)

উদাহরণ 4:

\( \frac{x}{3}\) = 5

উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করুন

\(\frac{x}{3} \times 3 = 5 \times 3\)

⇒ \(x = 15\)

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন একটি বীজগণিত সমীকরণে একাধিক পরিবর্তনশীল থাকতে পারে।