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algebra

Die Algebra folgt allen Regeln der Arithmetik. Sie verwendet dieselben vier Rechenoperationen, auf denen die Arithmetik basiert, nämlich Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Aber die Algebra führt ein neues Element ein. Das Element des „Unbekannten“ . Unbekannte Werte werden in der Algebra durch Variablen ersetzt. Variablen können als Buchstaben wie x, y und z dargestellt werden.

Konstant und variabel

Eine Konstante ändert sich im Laufe der Zeit nicht und hat einen festen Wert. Beispiel: 2, 6, 1212, Pi. Variablen sind Werte, die sich im Laufe der Zeit ändern können. Beispielsweise stellt die Temperatur zu verschiedenen Tageszeiten eine Variable dar. Das Gewicht eines Schülers in Ihrer Klasse ist eine Variable, da es von Schüler zu Schüler unterschiedlich ist.

Beispiel: In 2x ist 2 eine Konstante und x eine Variable. In 4 + xy ist 4 eine Konstante und x und y sind Variablen.

Algebraischer Ausdruck

Ein algebraischer Ausdruck ist eine Kombination aus Konstanten und Variablen, die durch einige oder alle der vier Grundoperationen (+, −, ×, ÷) verbunden sind. Beispielsweise ist 2x + 10y + 3 ein algebraischer Ausdruck. Versuchen wir, einen algebraischen Ausdruck für die folgende Aussage zu erstellen:
„Du hast gestern x Mathefragen gelöst. Heute hast du 10 Fragen weniger gelöst. Wie viele Fragen hast du heute gelöst?“
Der algebraische Ausdruck, der die Anzahl der von Ihnen heute gelösten Fragen erklärt, lautet x−10.

Wenn 4 eine Konstante und z eine Variable ist, dann - Was erhält man, wenn man 4 mit z multipliziert? Was erhält man, wenn man 4 zu z addiert? Antwort: 4×z und 4+z sind auch Variablen. Denn eine Kombination aus einer Konstanten und einer Variablen ist auch eine Variable.

Algebraische Gleichung

In der Arithmetik schreiben wir 2 + 3 = ?

In der Algebra wird dies als 2 + 3 = x geschrieben.

Hier wird ? durch eine unbekannte Variable 'x' ersetzt .

Der obige Ausdruck '2 + 3 = x' wird ' Algebraische Gleichung ' genannt.

Ein Gleichheitszeichen bedeutet, dass der Wert auf der linken Seite gleich dem auf der rechten Seite ist. Oder wir können sagen, es handelt sich um eine ausgeglichene Gleichung.

In der algebraischen Gleichung finden wir den Wert einer Variablen. Eine Variable ist ein Symbol für eine Zahl, die wir noch nicht kennen. „x“ ist eine Variable in der Gleichung 2 + 3 = x. Und 2, 3 sind konstant.

Lassen Sie uns die Variablen anhand einiger Beispiele verstehen.
Studenten kaufen Notizbücher in einem Buchladen. Ein Notizbuch kostet 5 $. Wenn n die Anzahl der Notizbücher ist, die der Student kaufen möchte, kann n die Werte 1, 2, 3 usw. annehmen. Und der Student muss für n Bücher den Preis \(5n\) bezahlen. Die Gesamtkosten für n Notizbücher ergeben sich aus der Regel: Gesamtkosten von n Büchern = 5 × n. Wenn ich 3 Notizbücher kaufe, muss ich 15 $ bezahlen (5 $ × 3).

Nehmen wir noch ein weiteres Beispiel. Mary hat 10 Äpfel mehr als Jerry. Wenn Jerry also 'm' Äpfel hat, hat Mary '10+m ' Äpfel.
In beiden Fällen ist m eine Variable . Der algebraische Ausdruck ist jedoch für beide unterschiedlich.
Sehen wir uns auch an, wie allgemeine mathematische Regeln, die wir bereits gelernt haben, mithilfe von Variablen ausgedrückt werden.

• Der Umfang eines Quadrats mit jeder Seitenlänge l beträgt 4l. Der Umfang des Quadrats = 4l, wobei l eine Variable ist.
• Der Umfang eines Rechtecks mit der Länge l und der Breite w wird ausgedrückt als Umfang = 2l + 2w, wobei l und w Variablen sind.
  

Regeln aus der Arithmetik

Kommutativität der Addition zweier Zahlen
Wir wissen, dass 3 + 4 = 4 + 3, also x + y = y + x
Dadurch wird die Regel in allgemeiner Form unter Verwendung der Variablen x und y ausgedrückt.

Kommutativität der Multiplikation zweier Zahlen
3 × 4 = 4 × 3, 33 × 23 = 23 × 33 (die Reihenfolge der Multiplikation ändert das Ergebnis nicht), daher können wir diese Regel in Variablen als x × y = y × x oder xy = yx schreiben.

Distributivität von Zahlen
7 × 42 kann auch als \( 7\times(40 + 2) = 7 \times 40 + 7 \times 2 = 280 + 14 = 294\) geschrieben werden, Wenn Zahlen durch Variablen ersetzt werden, können wir es wie folgt schreiben:
\(x \times (y + z) = xy + xz\)

Assoziativität von Zahlen
Da ( \(6+3) + 4 = 6 + (3 + 4)\) gilt, können wir allgemein \((x + y) + z = x + (y + z )\) schreiben.
Ähnlich gilt \((x \times y) \times z = x \times (y \times z)\)

Lösung einer Gleichung

Um die algebraische Gleichung zu lösen, verschieben Sie unbekannte Werte auf die eine Seite und bekannte Werte auf die andere Seite. Nehmen wir ein Beispiel und versuchen wir, den Wert von x zu finden.

Beispiel 1:
\(x -2 = 3\)
Addieren Sie 2 zu beiden Seiten. Bitte beachten Sie, dass Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durch dieselbe Zahl auf beiden Seiten der Gleichung keinen Einfluss auf den Ausgleich der Gleichung haben und '=' weiterhin gilt. D. h. Linke Seite = Rechte Seite

\(x - 2 + 2 = 3 + 2\)

⇒ \(x = 5\)

Beispiel 2:
Lösen Sie die folgende algebraische Gleichung nach x: \(x + 2 = 6\)
Von beiden Seiten 2 abziehen. Auf diese Weise befolgen wir die Regel, dass nur eine Seite unbekannte und die andere Seite bekannte Werte hat.

\(x + 2 - 2 = 6 - 2\)

⇒ \(x = 4\)

Beispiel 3:

\(4 \times x = 20\)

Teilen Sie beide Seiten durch 4

\(\frac{4 \times x}{4} = \frac{20}{4}\)

⇒ \(x = 5\)

Beispiel 4:

\( \frac{x}{3}\) = 5

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 3

\(\frac{x}{3} \times 3 = 5 \times 3\)

⇒ \(x = 15\)

Bitte beachten Sie, dass eine algebraische Gleichung mehr als eine Variable haben kann.