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álgebra

El álgebra sigue todas las reglas de la aritmética. Utiliza las mismas cuatro operaciones en las que se basa la aritmética, es decir, suma, resta, multiplicación y división.

Pero el álgebra introduce un elemento nuevo: el elemento de lo "desconocido" . En álgebra, los valores desconocidos se reemplazan por variables. Las variables se pueden representar con letras como x, y y z.

Constante y variable

Una constante no cambia con el tiempo y tiene un valor fijo. Por ejemplo, 2, 6, 1212, pi. Las variables son valores que pueden cambiar con el tiempo. Por ejemplo, la temperatura en diferentes momentos del día representa una variable. El peso de un estudiante de tu grado es una variable, ya que varía de un estudiante a otro.

Ejemplo: En 2x, 2 es una constante y x es una variable. En 4 + xy, 4 es una constante y x e y son variables.

Expresión algebraica

Una expresión algebraica es una combinación de constantes y variables conectadas por alguna o todas las cuatro operaciones fundamentales (+, −, ×, ÷). Por ejemplo, 2x + 10y + 3 es una expresión algebraica. Intentemos crear una expresión algebraica para la siguiente afirmación:
"Ayer resolviste x preguntas de matemáticas. Hoy resolviste 10 preguntas menos. ¿Cuántas preguntas resolviste hoy?"
La expresión algebraica que explica el número de preguntas resueltas por ti hoy es x−10.

Si 4 es una constante y z es una variable entonces - ¿Qué obtienes si multiplicas 4 por z? ¿Qué obtienes si sumas 4 a z? Respuesta: 4×z y 4+z también son variables, porque la combinación de una constante y una variable también es una variable.

Ecuación algebraica

En aritmética escribimos 2 + 3 = ?

En álgebra lo mismo se escribirá como 2 + 3 = x

Aquí ? se reemplaza por una variable desconocida 'x' .

La expresión anterior '2 + 3 = x' se llama ' ecuación algebraica '.

Un signo igual denota que el valor del lado izquierdo es igual al del lado derecho o podemos decir que es una ecuación balanceada.

En la ecuación algebraica, encontramos el valor de una variable. Una variable es un símbolo de un número que aún no conocemos. 'x' es una variable en la ecuación 2 + 3 = x. Y 2, 3 son constantes.

Entendamos las variables tomando algunos ejemplos.
Los estudiantes compran cuadernos en una librería. Un cuaderno cuesta $5. Si n es la cantidad de cuadernos que el estudiante quiere comprar, entonces n puede tomar valores como 1, 2, 3, etc. Y el estudiante tiene que pagar un precio \(5n\) por n cantidad de libros. El costo total de n cuadernos está dado por la regla: Costo total de n libros = 5 × n. Si compro 3 cuadernos, entonces tengo que pagar $15 ($5 × 3).

Tomemos otro ejemplo. María tiene 10 manzanas más que Jerry. Por lo tanto, si Jerry tiene 'm' número de manzanas, María tiene '10+m ' manzanas.
En ambos casos, m es una variable . Sin embargo, la expresión algebraica para ambos es diferente.
Veamos también cómo se expresan mediante variables las reglas comunes en matemáticas que ya hemos aprendido.

• El perímetro de un cuadrado con cada lado de longitud l es 4l. El perímetro del cuadrado = 4l, donde l es una variable.
• El perímetro de un rectángulo con longitud l y ancho w se expresa como Perímetro = 2l + 2w, aquí l y w son variables.
  

Reglas de la aritmética

Conmutatividad de la suma de dos números
Sabemos que 3 + 4 = 4 + 3, por lo tanto x + y = y + x
Esto expresa la regla en forma genérica utilizando las variables x e y.

Conmutatividad de la multiplicación de dos números
3 × 4 = 4 × 3, 33 × 23 = 23 × 33 (el orden en la multiplicación no cambia el resultado), por lo tanto, podemos escribir esta regla en variables como x × y = y × x o xy = yx

Distributividad de números
7 × 42 también se puede escribir como \( 7\times(40 + 2) = 7 \times 40 + 7 \times 2 = 280 + 14 = 294\) , Si los números se reemplazan por variables, podemos escribirlo como:
\(x \times (y + z) = xy + xz\)

Asociatividad de números
Como ( \(6+3) + 4 = 6 + (3 + 4)\) por lo tanto, podemos escribir genéricamente \((x + y) + z = x + (y + z )\)
De manera similar, \((x \times y) \times z = x \times (y \times z)\)

Solución de una ecuación

Para resolver la ecuación algebraica , mueva los valores desconocidos a un lado y los valores conocidos al otro lado. Tomemos un ejemplo e intentemos hallar el valor de x.

Ejemplo 1:
\(x -2 = 3\)
Suma 2 a ambos lados. Ten en cuenta que la suma, la resta, la multiplicación y la división por el mismo número en ambos lados de la ecuación no afectan el equilibrio de la ecuación y el signo "=" sigue siendo válido, es decir, lado izquierdo = lado derecho.

\(x - 2 + 2 = 3 + 2\)

⇒ \(x = 5\)

Ejemplo 2:
Resuelva la siguiente ecuación algebraica para x: \(x + 2 = 6\)
Restando 2 de ambos lados. De esta manera seguimos la regla de tener un lado solo con valores desconocidos y el otro lado con valores conocidos.

\(x + 2 - 2 = 6 - 2\)

⇒ \(x = 4\)

Ejemplo 3:

\(4 \times x = 20\)

Dividir ambos lados por 4

\(\frac{4 \times x}{4} = \frac{20}{4}\)

⇒ \(x = 5\)

Ejemplo 4:

\( \frac{x}{3}\) = 5

Multiplica ambos lados por 3

\(\frac{x}{3} \times 3 = 5 \times 3\)

⇒ \(x = 15\)

Tenga en cuenta que una ecuación algebraica puede tener más de una variable.