Back to the topics list

جبر

جبر از تمام قواعد حساب پیروی می کند. از همان چهار عملیاتی استفاده می کند که بر مبنای آنها حساب است، یعنی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم.

اما جبر یک عنصر جدید را معرفی می کند. عنصر "ناشناخته" . مقادیر ناشناخته با متغیرهایی در جبر جایگزین می شوند. متغیرها را می توان به صورت حروفی مانند x، y و z نمایش داد.

ثابت و متغیر

یک ثابت در طول زمان تغییر نمی کند و مقدار ثابتی دارد. به عنوان مثال، 2، 6، 1212، pi. متغیرها مقادیری هستند که می توانند در طول زمان تغییر کنند. به عنوان مثال، دما در ساعات مختلف روز یک متغیر را نشان می دهد. وزن یک دانش آموز در کلاس شما یک متغیر است، زیرا از دانش آموزی به دانش آموز دیگر متفاوت است.

مثال: در 2x، 2 یک ثابت و x یک متغیر است. در 4 + xy، 4 یک ثابت است و x و y متغیر هستند.

بیان جبری

یک عبارت جبری ترکیبی از ثابت ها و متغیرهایی است که توسط برخی یا همه چهار عمل اصلی (+، -، ×، ÷) به هم متصل شده اند. به عنوان مثال، 2x + 10y + 3 یک عبارت جبری است. بیایید سعی کنیم یک عبارت جبری برای عبارت زیر ایجاد کنیم:
"شما دیروز سوالات x ریاضی را حل کردید. امروز 10 سوال کمتر انجام دادید. امروز چند سوال را حل کردید؟"
عبارت جبری که تعداد سوالات حل شده توسط شما امروز را توضیح می دهد x-10.

اگر 4 یک ثابت و z یک متغیر است، - اگر 4 برابر z ضرب کنیم چه چیزی بدست می آید؟ اگر 4 را به z اضافه کنید چه چیزی به دست می آید؟ پاسخ: 4×z و 4+z نیز متغیر هستند. زیرا ترکیب ثابت و متغیر نیز متغیر است.

معادله جبری

در حساب می نویسیم 2 + 3 = ?

در جبر همان 2 + 3 = x نوشته می شود

اینجا ؟ با یک متغیر ناشناخته 'x' جایگزین می شود .

عبارت فوق '2 + 3 = x' ' معادله جبری ' نامیده می شود.

علامت مساوی نشان می دهد که مقدار سمت چپ برابر با سمت راست است یا می توان گفت معادله ای متعادل است.

در معادله جبری، مقدار یک متغیر را پیدا می کنیم. متغیر نماد عددی است که ما هنوز نمی دانیم. 'x' یک متغیر در معادله 2 + 3 = x است. و 2، 3 ثابت هستند.

بیایید با ذکر چند مثال متغیرها را درک کنیم.
دانش آموزان از کتابفروشی دفتر می خرند. قیمت یک نوت بوک 5 دلار است. اگر n تعداد دفترهایی است که دانش آموز می خواهد بخرد، n می تواند مقداری مانند 1، 2، 3 و غیره را بگیرد. و دانشجو باید \(5n\) قیمت برای n تعداد کتاب بپردازد. هزینه کل n نوت بوک با این قاعده ارائه می شود: هزینه کل n کتاب = 5 × n. اگر 3 نوت بوک بخرم، باید 15 دلار (5 × 3 دلار) بپردازم.

بگذارید یک مثال دیگر بزنیم. مری 10 سیب بیشتر از جری دارد. بنابراین اگر جری تعداد سیب های 'm' داشته باشد، مری '10+m ' سیب دارد.
در هر دو مورد، m یک متغیر است. با این حال، بیان جبری برای هر دو متفاوت است.
اجازه دهید همچنین ببینیم که چگونه قوانین رایج در ریاضیات که قبلاً آموخته ایم با استفاده از متغیرها بیان می شوند.

• محیط مربعی با طول هر ضلع l 4 لیتر است. محیط مربع = 4l، در اینجا l یک متغیر است.
• محیط یک مستطیل با طول l و عرض w به صورت بیان می شود محیط = 2l + 2w، در اینجا l و w متغیر هستند.
  

قوانینی از حساب

جابجایی جمع دو عدد
می دانیم که 3 + 4 = 4 + 3، بنابراین x + y = y + x
این قانون را به شکل عمومی با استفاده از متغیرهای x و y بیان می کند.

جابجایی ضرب دو عدد
3 × 4 = 4 × 3، 33 × 23 = 23 × 33 (ترتیب در ضرب نتیجه را تغییر نمی دهد)، بنابراین می توانیم این قانون را در متغیرهایی به صورت x × y = y × x یا xy = yx بنویسیم.

توزیع اعداد
7 × 42 را می توان به صورت \( 7\times(40 + 2) = 7 \times 40 + 7 \times 2 = 280 + 14 = 294\) نوشت، اگر اعداد با متغیرها جایگزین شوند، می توانیم آن را به صورت زیر بنویسیم:
\(x \times (y + z) = xy + xz\)

تداعی اعداد
به عنوان ( \(6+3) + 4 = 6 + (3 + 4)\) بنابراین، می توانیم به طور کلی بنویسیم \((x + y) + z = x + (y + z )\)
به طور مشابه، \((x \times y) \times z = x \times (y \times z)\)

حل یک معادله

برای حل معادله جبری ، مقادیر مجهول را به یک طرف و مقادیر شناخته شده را به سمت دیگر منتقل کنید. بیایید مثالی بزنیم و سعی کنیم مقدار x را پیدا کنیم.

مثال 1:
\(x -2 = 3\)
2 تا به هر دو طرف اضافه کنید. لطفاً توجه داشته باشید که جمع، تفریق، ضرب و تقسیم بر یک عدد در هر دو طرف معادله بر تعادل معادله تأثیری ندارد و '=' همچنان صادق است. یعنی سمت چپ = سمت راست

\(x - 2 + 2 = 3 + 2\)

⇒ \(x = 5\)

مثال 2:
معادله جبری زیر را برای x حل کنید: \(x + 2 = 6\)
از هر دو طرف 2 کم کنید. به این ترتیب ما از این قانون پیروی می کنیم که یک طرف فقط با مجهول و طرف دیگر با مقادیر معلوم باشد.

\(x + 2 - 2 = 6 - 2\)

⇒ \(x = 4\)

مثال 3:

\(4 \times x = 20\)

دو طرف را بر 4 تقسیم کنید

\(\frac{4 \times x}{4} = \frac{20}{4}\)

⇒ \(x = 5\)

مثال 4:

\( \frac{x}{3}\) = 5

هر دو طرف را در 3 ضرب کنید

\(\frac{x}{3} \times 3 = 5 \times 3\)

⇒ \(x = 15\)

لطفا توجه داشته باشید که یک معادله جبری می تواند بیش از یک متغیر داشته باشد.