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algèbre

L'algèbre suit toutes les règles de l'arithmétique. Elle utilise les mêmes quatre opérations sur lesquelles repose l'arithmétique, à savoir l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.

Mais l'algèbre introduit un élément nouveau : l'élément de « l'inconnu » . En algèbre, les valeurs inconnues sont remplacées par des variables. Les variables peuvent être représentées par des lettres telles que x, y et z.

Constante et variable

Une constante ne change pas au fil du temps et a une valeur fixe. Par exemple, 2, 6, 1212, pi. Les variables sont des valeurs qui peuvent changer au fil du temps. Par exemple, la température à différents moments de la journée représente une variable. Le poids d'un élève dans votre classe est une variable, car il varie d'un élève à l'autre.

Exemple : Dans 2x, 2 est une constante et x est une variable. Dans 4 + xy, 4 est une constante et x et y sont des variables.

Expression algébrique

Une expression algébrique est une combinaison de constantes et de variables reliées par certaines ou toutes les quatre opérations fondamentales (+, −, ×, ÷). Par exemple, 2x + 10y + 3 est une expression algébrique. Essayons de créer une expression algébrique pour l'énoncé suivant :
« Tu as résolu x questions de mathématiques hier. Aujourd'hui, tu as fait 10 questions de moins. Combien de questions as-tu résolues aujourd'hui ? »
L'expression algébrique qui explique le nombre de questions résolues par vous aujourd'hui est x−10.

Si 4 est une constante et z est une variable alors - Qu'obtenez-vous si vous multipliez 4 fois z ? Qu'obtenez-vous si vous ajoutez 4 à z ? Réponse : 4×z et 4+z sont également des variables. En effet, une combinaison d’une constante et d’une variable est également une variable.

Équation algébrique

En arithmétique, on écrit 2 + 3 = ?

En algèbre, cela s'écrira comme 2 + 3 = x

Ici ? est remplacé par une variable inconnue 'x' .

L'expression ci-dessus « 2 + 3 = x » est appelée « équation algébrique ».

Un signe égal indique que la valeur du côté gauche est égale à celle du côté droit ou nous pouvons dire qu'il s'agit d'une équation équilibrée.

Dans l'équation algébrique, nous trouvons la valeur d'une variable. Une variable est un symbole pour un nombre que nous ne connaissons pas encore. « x » est une variable dans l'équation 2 + 3 = x. Et 2, 3 sont constantes.

Comprenons les variables en prenant quelques exemples.
Les étudiants achètent des cahiers dans une librairie. Un cahier coûte 5 $. Si n est le nombre de cahiers que l'étudiant souhaite acheter, alors n peut prendre la valeur 1, 2, 3, etc. Et l'étudiant doit payer \(5n\) prix pour n nombre de livres. Le coût total de n cahiers est donné par la règle : Coût total de n livres = 5 × n. Si j’achète 3 cahiers, je dois payer 15 $ (5 $ × 3).

Prenons un autre exemple. Marie a 10 pommes de plus que Jerry. Donc si Jerry a « m » pommes, Marie a « 10+m » pommes.
Dans les deux cas, m est une variable . Cependant, l' expression algébrique des deux cas est différente.
Voyons également comment les règles courantes en mathématiques que nous avons déjà apprises sont exprimées à l’aide de variables.

• Le périmètre d'un carré dont chaque côté a pour longueur l est 4l. Le périmètre du carré = 4l, ici l est une variable.
• Le périmètre d'un rectangle de longueur l et de largeur w est exprimé comme Périmètre = 2l + 2w, ici l et w sont des variables.
  

Règles de l'arithmétique

Commutativité de l'addition de deux nombres
Nous savons que 3 + 4 = 4 + 3, donc x + y = y + x
Il s’agit d’exprimer la règle sous forme générique en utilisant les variables x et y.

Commutativité de la multiplication de deux nombres
3 × 4 = 4 × 3, 33 × 23 = 23 × 33 (l'ordre de multiplication ne change pas le résultat), nous pouvons donc écrire cette règle dans des variables comme x × y = y × x ou xy = yx

Distributivité des nombres
7 × 42 peut également s'écrire comme \( 7\times(40 + 2) = 7 \times 40 + 7 \times 2 = 280 + 14 = 294\) , si les nombres sont remplacés par des variables alors nous pouvons l'écrire comme :
\(x \times (y + z) = xy + xz\)

Associativité des nombres
Comme ( \(6+3) + 4 = 6 + (3 + 4)\) donc, on peut écrire de manière générique \((x + y) + z = x + (y + z )\)
De même, \((x \times y) \times z = x \times (y \times z)\)

Solution d'une équation

Pour résoudre l' équation algébrique , déplacez les valeurs inconnues d'un côté et les valeurs connues de l'autre côté. Prenons un exemple et essayons de trouver la valeur de x.

Exemple 1 :
\(x -2 = 3\)
Ajoutez 2 des deux côtés. Veuillez noter que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division par le même nombre des deux côtés de l'équation n'affectent pas l'équilibrage de l'équation, et « = » reste vrai. Par exemple, côté gauche = côté droit

\(x - 2 + 2 = 3 + 2\)

⇒ \(x = 5\)

Exemple 2 :
Résolvez l'équation algébrique ci-dessous pour x : \(x + 2 = 6\)
Soustraire 2 des deux côtés. De cette façon, nous suivons la règle selon laquelle un côté seulement contient des valeurs inconnues et l'autre côté contient des valeurs connues.

\(x + 2 - 2 = 6 - 2\)

⇒ \(x = 4\)

Exemple 3 :

\(4 \times x = 20\)

Divisez les deux côtés par 4

\(\frac{4 \times x}{4} = \frac{20}{4}\)

⇒ \(x = 5\)

Exemple 4 :

\( \frac{x}{3}\) = 5

Multipliez les deux côtés par 3

\(\frac{x}{3} \times 3 = 5 \times 3\)

⇒ \(x = 15\)

Veuillez noter qu'une équation algébrique peut avoir plus d'une variable.