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बीजगणित

बीजगणित अंकगणित के सभी नियमों का पालन करता है। इसमें उन्हीं चार संक्रियाओं का उपयोग किया जाता है जिन पर अंकगणित आधारित है, यानी जोड़, घटाव, गुणा और भाग।

लेकिन बीजगणित एक नए तत्व का परिचय देता है। "अज्ञात" का तत्व । बीजगणित में अज्ञात मानों को चरों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। चरों को x, y, और z जैसे अक्षरों के रूप में दर्शाया जा सकता है।

स्थिर एवं परिवर्तनशील

एक स्थिरांक समय के साथ नहीं बदलता है और इसका एक निश्चित मान होता है। उदाहरण के लिए, 2, 6, 1212, पाई। चर वे मान हैं जो समय के साथ बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, दिन के अलग-अलग समय पर तापमान एक चर का प्रतिनिधित्व करता है। आपकी कक्षा में एक छात्र का वजन एक चर है, क्योंकि यह छात्र दर छात्र अलग-अलग होता है।

उदाहरण: 2x में, 2 एक स्थिरांक है और x एक चर है। 4 + xy में, 4 एक स्थिरांक है, और x और y चर हैं।

बीजीय अभिव्यक्ति

बीजीय व्यंजक स्थिरांकों और चरों का संयोजन होता है जो चार मूलभूत संक्रियाओं (+, −, ×, ÷) में से कुछ या सभी द्वारा जुड़े होते हैं। उदाहरण के लिए, 2x + 10y + 3 एक बीजीय व्यंजक है। आइए निम्नलिखित कथन के लिए एक बीजीय व्यंजक बनाने का प्रयास करें:
"आपने कल x गणित के प्रश्न हल किए थे। आज आपने 10 प्रश्न कम हल किए। आज आपने कितने प्रश्न हल किए?"
आज आपके द्वारा हल किये गये प्रश्नों की संख्या को बताने वाला बीजगणितीय व्यंजक है एक्स−10.

यदि 4 एक स्थिरांक है और z एक चर है तो - यदि आप 4 को z से गुणा करें तो आपको क्या मिलेगा? यदि आप z में 4 जोड़ दें तो आपको क्या मिलेगा? उत्तर: 4×z और 4+z भी चर हैं। क्योंकि एक स्थिरांक और एक चर का संयोजन भी एक चर है।

बीजीय समीकरण

अंकगणित में हम लिखते हैं 2 + 3 = ?

बीजगणित में इसे 2 + 3 = x लिखा जाएगा

यहाँ ? को अज्ञात चर 'x' से प्रतिस्थापित किया गया है ।

उपरोक्त व्यंजक '2 + 3 = x' को ' बीजीय समीकरण ' कहा जाता है।

बराबर का चिह्न यह दर्शाता है कि बायीं ओर का मान दायीं ओर के मान के बराबर है या हम कह सकते हैं कि यह एक संतुलित समीकरण है।

बीजीय समीकरण में, हम एक चर का मान ज्ञात करते हैं। चर एक ऐसी संख्या का प्रतीक है जिसे हम अभी तक नहीं जानते हैं। समीकरण 2 + 3 = x में 'x' एक चर है। तथा 2, 3 स्थिर हैं।

आइये कुछ उदाहरणों से चरों को समझें।
छात्र एक किताब की दुकान से नोटबुक खरीदते हैं। एक नोटबुक की कीमत $5 है। यदि n नोटबुक की वह संख्या है जिसे छात्र खरीदना चाहता है, तो n का मान 1, 2, 3, इत्यादि हो सकता है। और छात्र को n पुस्तकों के लिए \(5n\) मूल्य चुकाना पड़ता है। n नोटबुक की कुल कीमत इस नियम द्वारा दी गई है: n पुस्तकों की कुल लागत = 5 × n. यदि मैं 3 नोटबुक खरीदता हूं, तो मुझे $15 ($5 × 3) का भुगतान करना होगा।

चलिए एक और उदाहरण लेते हैं। मैरी के पास जेरी से 10 सेब ज़्यादा हैं। इसलिए अगर जेरी के पास 'm' संख्या में सेब हैं, तो मैरी के पास '10+m ' सेब हैं।
दोनों मामलों में, m एक चर है। हालाँकि, दोनों के लिए बीजीय व्यंजक अलग है।
आइए यह भी देखें कि गणित में सामान्य नियम जिन्हें हम पहले ही सीख चुके हैं, उन्हें चरों का उपयोग करके कैसे व्यक्त किया जाता है।

• प्रत्येक भुजा की लंबाई l वाले वर्ग का परिमाप 4l है। वर्ग का परिमाप = 4l, यहाँ l एक चर है।
• लंबाई l और चौड़ाई w वाले एक आयत का परिमाप इस प्रकार व्यक्त किया जाता है परिमाप = 2l + 2w, यहाँ l और w चर हैं।
  

अंकगणित के नियम

दो संख्याओं के योग की विनिमेयता
हम जानते हैं कि 3 + 4 = 4 + 3, इसलिए x + y = y + x
यह नियम को x और y चरों का उपयोग करके सामान्य रूप में व्यक्त करता है।

दो संख्याओं के गुणन की विनिमेयता
3 × 4 = 4 × 3, 33 × 23 = 23 × 33 (गुणन में क्रम से परिणाम नहीं बदलता), इसलिए हम इस नियम को चरों में x × y = y × x या xy = yx के रूप में लिख सकते हैं

संख्याओं का वितरण
7 × 42 \( 7\times(40 + 2) = 7 \times 40 + 7 \times 2 = 280 + 14 = 294\) के रूप में भी लिखा जा सकता है, यदि संख्याओं को चरों से प्रतिस्थापित किया जाए तो हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
\(x \times (y + z) = xy + xz\)

संख्याओं की साहचर्यता
चूँकि ( \(6+3) + 4 = 6 + (3 + 4)\) इसलिए, हम सामान्यतः लिख सकते हैं \((x + y) + z = x + (y + z )\)
इसी प्रकार, \((x \times y) \times z = x \times (y \times z)\)

समीकरण का हल

बीजीय समीकरण को हल करने के लिए, अज्ञात मानों को एक तरफ़ और ज्ञात मानों को दूसरी तरफ़ ले जाएँ। आइए एक उदाहरण लेते हैं और x का मान ज्ञात करने का प्रयास करते हैं।

उदाहरण 1:
\(x -2 = 3\)
दोनों पक्षों में 2 जोड़ें। कृपया ध्यान दें कि समीकरण के दोनों पक्षों पर समान संख्या से जोड़, घटाव, गुणा और भाग करने से समीकरण के संतुलन पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, और '=' अभी भी सत्य है। यानी बायाँ हाथ = दायाँ हाथ

\(x - 2 + 2 = 3 + 2\)

⇒ \(x = 5\)

उदाहरण 2:
x के लिए नीचे दिए गए बीजीय समीकरण को हल करें: \(x + 2 = 6\)
दोनों पक्षों से 2 घटाना। इस तरह हम एक पक्ष में केवल अज्ञात मान रखने तथा दूसरे पक्ष में ज्ञात मान रखने के नियम का पालन कर रहे हैं।

\(x + 2 - 2 = 6 - 2\)

⇒ \(x = 4\)

उदाहरण 3:

\(4 \times x = 20\)

दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करें

\(\frac{4 \times x}{4} = \frac{20}{4}\)

⇒ \(x = 5\)

उदाहरण 4:

\( \frac{x}{3}\) = 5

दोनों पक्षों को 3 से गुणा करें

\(\frac{x}{3} \times 3 = 5 \times 3\)

⇒ \(x = 15\)

कृपया ध्यान दें कि एक बीजीय समीकरण में एक से अधिक चर हो सकते हैं।