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algebra

L'algebra segue tutte le regole dell'aritmetica. Utilizza le stesse quattro operazioni su cui si basa l'aritmetica, ovvero addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

Ma l'Algebra introduce un nuovo elemento. L'elemento dell'"ignoto" . I valori sconosciuti vengono sostituiti da variabili in Algebra. Le variabili possono essere rappresentate da lettere come x, y e z.

Costante e variabile

Una costante non cambia nel tempo e ha un valore fisso. Ad esempio, 2, 6, 1212, pi greco. Le variabili sono valori che possono cambiare nel tempo. Ad esempio, la temperatura in diversi momenti della giornata rappresenta una variabile. Il peso di uno studente nel tuo anno è una variabile, poiché varia da studente a studente.

Esempio: In 2x, 2 è una costante e x è una variabile. In 4 + xy, 4 è una costante e x e y sono variabili.

Espressione algebrica

Un'espressione algebrica è una combinazione di costanti e variabili collegate da alcune o tutte le quattro operazioni fondamentali (+, −, ×, ÷). Ad esempio, 2x + 10y + 3 è un'espressione algebrica. Proviamo a creare un'espressione algebrica per la seguente affermazione:
"Ieri hai risolto x quesiti di matematica. Oggi ne hai risolti 10 in meno. Quanti quesiti hai risolto oggi?"
L'espressione algebrica che spiega il numero di domande da te risolte oggi è x−10.

Se 4 è una costante e z è una variabile allora - Cosa ottieni se moltiplichi z per 4? Cosa ottieni se aggiungi 4 a z? Risposta: 4×z e 4+z sono anche variabili. Perché una combinazione di una costante e di una variabile è anche una variabile.

Equazione algebrica

In aritmetica scriviamo 2 + 3 = ?

In algebra lo stesso sarà scritto come 2 + 3 = x

Qui ? è sostituito da una variabile sconosciuta 'x' .

L'espressione sopra '2 + 3 = x' è chiamata ' Equazione algebrica '.

Un segno di uguale indica che il valore del lato sinistro è uguale al lato destro, ovvero possiamo dire che si tratta di un'equazione bilanciata.

Nell'equazione algebrica, troviamo il valore di una variabile. Una variabile è un simbolo per un numero che non conosciamo ancora. 'x' è una variabile nell'equazione 2 + 3 = x. E 2, 3 sono costanti.

Cerchiamo di capire le variabili prendendo alcuni esempi.
Gli studenti acquistano i quaderni in una libreria. Un quaderno costa 5 $. Se n è il numero di quaderni che lo studente desidera acquistare, allora n può assumere il valore 1, 2, 3 e così via. E lo studente deve pagare il prezzo \(5n\) per un numero n di libri. Il costo totale di n quaderni è dato dalla regola: Costo totale di n libri = 5 × n. Se acquisto 3 quaderni, devo pagare 15$ (5$ × 3).

Prendiamo un altro esempio. Mary ha 10 mele in più di Jerry. Quindi se Jerry ha 'm' numero di mele, Mary ha '10 +m ' mele.
In entrambi i casi, m è una variabile . Tuttavia, l' espressione algebrica per entrambi è diversa.
Vediamo anche come le regole comuni della matematica che abbiamo già imparato vengono espresse utilizzando le variabili.

• Il perimetro di un quadrato con ogni lato di lunghezza l è 4l. Il perimetro del quadrato = 4l, qui l è una variabile.
• Il perimetro di un rettangolo di lunghezza l e larghezza w è espresso come Perimetro = 2l + 2w, qui l e w sono variabili.
  

Regole dell'aritmetica

Commutatività dell'addizione di due numeri
Sappiamo che 3 + 4 = 4 + 3, quindi x + y = y + x
In questo modo la regola viene espressa in forma generica utilizzando le variabili x e y.

Commutatività della moltiplicazione di due numeri
3 × 4 = 4 × 3, 33 × 23 = 23 × 33 (l'ordine nella moltiplicazione non cambia il risultato), quindi possiamo scrivere questa regola nelle variabili come x × y = y × x o xy = yx

Distributività dei numeri
7 × 42 può anche essere scritto come \( 7\times(40 + 2) = 7 \times 40 + 7 \times 2 = 280 + 14 = 294\) , se i numeri vengono sostituiti da variabili allora possiamo scriverlo come:
\(x \times (y + z) = xy + xz\)

Associatività dei numeri
Poiché ( \(6+3) + 4 = 6 + (3 + 4)\) quindi, possiamo scrivere genericamente \((x + y) + z = x + (y + z )\)
Allo stesso modo, \((x \times y) \times z = x \times (y \times z)\)

Soluzione di un'equazione

Per risolvere l' equazione algebrica , sposta i valori sconosciuti da una parte e i valori noti dall'altra. Prendiamo un esempio e proviamo a trovare il valore di x.

Esempio 1:
\(x -2 = 3\)
Aggiungi 2 a entrambi i lati. Nota che l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione per lo stesso numero su entrambi i lati dell'equazione non influenzano il bilanciamento dell'equazione e '=' è ancora vero. ovvero Lato sinistro = Lato destro

\(x - 2 + 2 = 3 + 2\)

⇒ \(x = 5\)

Esempio 2:
Risolvi l'equazione algebrica sottostante per x: \(x + 2 = 6\)
Sottraendo 2 da entrambi i lati. In questo modo stiamo seguendo la regola di avere un solo lato con valori sconosciuti e l'altro lato con valori noti.

\(x + 2 - 2 = 6 - 2\)

⇒ \(x = 4\)

Esempio 3:

\(4 \times x = 20\)

Dividi entrambi i lati per 4

\(\frac{4 \times x}{4} = \frac{20}{4}\)

⇒ \(x = 5\)

Esempio 4:

\( \frac{x}{3}\) = 5

Moltiplica entrambi i lati per 3

\(\frac{x}{3} \times 3 = 5 \times 3\)

⇒ \(x = 15\)

Si prega di notare che un'equazione algebrica può avere più di una variabile.