Back to the topics list

बीजगणित

बीजगणितले अंकगणितका सबै नियमहरू पछ्याउँछ। यसले उही चार अपरेशनहरू प्रयोग गर्दछ जसमा अंकगणित आधारित छ, जस्तै जोड, घटाउ, गुणन र भाग।

तर बीजगणितले एउटा नयाँ तत्वको परिचय दिन्छ। "अज्ञात" को तत्व । अज्ञात मानहरू बीजगणितमा चरहरूद्वारा प्रतिस्थापित हुन्छन्। चरहरूलाई x, y, र z जस्ता अक्षरहरूको रूपमा प्रस्तुत गर्न सकिन्छ।

स्थिर र चर

एक स्थिर समय संग परिवर्तन गर्दैन र एक निश्चित मान छ। उदाहरणका लागि, 2, 6, 1212, pi। चरहरू मानहरू हुन् जुन समयसँगै परिवर्तन हुन सक्छ। उदाहरण को लागी, दिन को विभिन्न समयमा तापमान एक चर प्रतिनिधित्व गर्दछ। तपाइँको ग्रेड मा एक विद्यार्थी को वजन एक चर हो, किनकि यो विद्यार्थी देखि विद्यार्थी फरक हुन्छ।

उदाहरण: 2x मा, 2 एक स्थिर र x एक चर हो। 4 + xy मा, 4 एक स्थिर छ, र x र y चर हुन्।

बीजगणितीय अभिव्यक्ति

बीजगणितीय अभिव्यक्ति भनेको कुनै वा सबै चारवटा आधारभूत कार्यहरू (+, −, ×, ÷) द्वारा जडान गरिएका स्थिरांकहरू र चरहरूको संयोजन हो। उदाहरणका लागि, 2x + 10y + 3 एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति हो। निम्न कथनको लागि बीजगणितीय अभिव्यक्ति सिर्जना गर्ने प्रयास गरौं:
"तिमीले हिजो x गणितका प्रश्नहरू हल गर्नुभयो। आज तपाईंले 10 प्रश्नहरू कम गर्नुभयो। आज कतिवटा प्रश्नहरू हल गर्नुभयो?"
बीजगणितीय अभिव्यक्ति जसले तपाइँले आज समाधान गरेको प्रश्नहरूको संख्या बताउँछ x−10।

यदि 4 स्थिर छ र z चर हो भने - 4 पटक z गुणन गर्दा के पाउनु हुन्छ? 4 मा z जोड्दा के पाउनुहुन्छ? उत्तर: 4×z र 4+z पनि चर हुन्। किनभने स्थिर र चरको संयोजन पनि चर हो।

बीजगणितीय समीकरण

अंकगणित मा हामी 2 + 3 = ?

बीजगणितमा 2 + 3 = x को रूपमा लेखिनेछ

यहाँ ? अज्ञात चल 'x' द्वारा प्रतिस्थापन गरिएको छ ।

माथिको अभिव्यक्ति '2 + 3 = x' लाई ' बीजगणितीय समीकरण ' भनिन्छ।

बराबर चिन्हले देब्रे हात छेउको मान दायाँ-हात पक्षको बराबर छ वा हामी यसलाई सन्तुलित समीकरण भन्न सक्छौं।

बीजगणितीय समीकरणमा, हामीले चरको मान फेला पार्छौं। चर एउटा सङ्ख्याको प्रतीक हो जुन हामीले अहिलेसम्म थाहा छैन। 'x' समीकरण 2 + 3 = x मा एक चर हो। र 2, 3 स्थिर छन्।

केही उदाहरणहरू लिएर चरहरू बुझौं।
विद्यार्थीहरूले पुस्तक पसलबाट नोटबुकहरू किन्छन्। एउटा नोटबुकको लागत $5। यदि n विद्यार्थीले किन्न चाहने नोटबुकहरूको संख्या हो भने, n ले 1, 2, 3, र यस्तै मान लिन सक्छ। र विद्यार्थीले n संख्यामा पुस्तकहरूको मूल्य \(5n\) तिर्नु पर्छ। n नोटबुकहरूको कुल लागत नियमद्वारा दिइएको छ: n पुस्तकहरूको कुल लागत = 5 × n। यदि मैले ३ वटा नोटबुक किन्छु भने मैले $१५ ($५ × ३) तिर्नुपर्छ।

अर्को एउटा उदाहरण लिऔं। मेरीसँग जेरी भन्दा १० बढी स्याउ छन्। त्यसोभए यदि जेरीसँग स्याउको 'm' संख्या छ भने, मेरीसँग '10+m ' स्याउहरू छन्।
दुबै अवस्थामा, m एक चर हो। यद्यपि, दुवैको लागि बीजगणितीय अभिव्यक्ति फरक छ।
हामीले पहिले नै सिकेका गणितका सामान्य नियमहरू चर प्रयोग गरेर कसरी अभिव्यक्त हुन्छन् भन्ने कुरा पनि हेरौं।

• लम्बाइ l को प्रत्येक पक्ष भएको वर्गको परिधि 4l हो। वर्गको परिधि = 4l, यहाँ l एक चर हो।
• लम्बाइ l र चौडाइ w भएको आयतको परिधिलाई यस रूपमा व्यक्त गरिन्छ परिधि = 2l + 2w, यहाँ l र w चर हुन्।
  

अंकगणितबाट नियमहरू

दुई संख्याको जोडको कम्युटेटिभिटी
हामीलाई थाहा छ 3 + 4 = 4 + 3, त्यसैले x + y = y + x
यसले चर x र y प्रयोग गरेर जेनेरिक फारममा नियम व्यक्त गरिरहेको छ।

दुई संख्याको गुणन को कम्युटेटिभिटी
3 × 4 = 4 × 3, 33 × 23 = 23 × 33 (गुनमा क्रमले परिणाम परिवर्तन गर्दैन), त्यसैले हामी यो नियमलाई चरहरूमा x × y = y × x वा xy = yx रूपमा लेख्न सक्छौं।

संख्याहरूको वितरण
7 × 42 \( 7\times(40 + 2) = 7 \times 40 + 7 \times 2 = 280 + 14 = 294\) को रूपमा पनि लेख्न सकिन्छ। यदि संख्याहरू चरद्वारा प्रतिस्थापन गरिएको छ भने हामी यसलाई निम्न रूपमा लेख्न सक्छौं:
\(x \times (y + z) = xy + xz\)

संख्याहरूको सहयोगीता
( \(6+3) + 4 = 6 + (3 + 4)\) त्यसैले, हामी सामान्य रूपमा \((x + y) + z = x + (y + z )\) लेख्न सक्छौं।
त्यस्तै, \((x \times y) \times z = x \times (y \times z)\)

एक समीकरण को समाधान

बीजगणितीय समीकरण हल गर्न, अज्ञात मानहरूलाई एक तर्फ र ज्ञात मानहरूलाई अर्को तर्फ सार्नुहोस्। एउटा उदाहरण लिनुहोस् र x को मान पत्ता लगाउने प्रयास गरौं।

उदाहरण १:
\(x -2 = 3\)
दुवै पक्षमा 2 थप्नुहोस्। कृपया ध्यान दिनुहोस् कि समीकरणको दुबै छेउमा एउटै संख्याद्वारा जोड, घटाउ, गुणन र भागले समीकरणको सन्तुलनलाई असर गर्दैन, र '=' अझै पनि सत्य हो। अर्थात् बायाँ हात साइड = दाहिने हात पक्ष

\(x - 2 + 2 = 3 + 2\)

⇒ \(x = 5\)

उदाहरण २:
x को लागि तलको बीजगणितीय समीकरण हल गर्नुहोस्: \(x + 2 = 6\)
दुबै तर्फबाट २ घटाउदै। यसरी हामीले एउटा पक्षलाई अज्ञात र अर्को पक्षलाई ज्ञात मानहरू मात्र राख्ने नियम पछ्याइरहेका छौं।

\(x + 2 - 2 = 6 - 2\)

⇒ \(x = 4\)

उदाहरण ३:

\(4 \times x = 20\)

दुवै पक्षलाई ४ ले विभाजन गर्नुहोस्

\(\frac{4 \times x}{4} = \frac{20}{4}\)

⇒ \(x = 5\)

उदाहरण ४:

\( \frac{x}{3}\) = ५

दुवै पक्षलाई ३ ले गुणन गर्नुहोस्

\(\frac{x}{3} \times 3 = 5 \times 3\)

⇒ \(x = 15\)

कृपया ध्यान दिनुहोस् एक बीजगणितीय समीकरणमा एक भन्दा बढी चर हुन सक्छ।